空間幾何體的表面積和體積課件

1.3簡單幾何體的表面積和體積1.3簡單幾何體的表面積和體積1.3.1柱體、錐體、臺體1、表面積：幾何體表面的大小2、體積：幾何體所占空間的大小。1.3.1柱體、錐體、臺體1、表面積：幾何體表面的表面積、全面積和側(cè)面積表面積：立體圖形的所能觸摸到的面積之和叫做它的表面積。（每個面的面積相加）全面積：全面積是立體幾何里的概念，相對于截面積（“截面積”即切面的面積）來說的，就是表面積總和側(cè)面積：指立體圖形的各個側(cè)面的面積之和（除去底面）表面積、全面積和側(cè)面積表面積：立體圖形的所能觸摸到的面積之和棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積側(cè)面積所指的對象分別如下：棱柱----直棱柱。棱錐----正棱錐。棱臺----正棱臺棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積側(cè)面積所指的對象分別如下：2.幾何體的表面積（1）棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是

.（2）圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是

、

、

；它們的表面積等于

.各面面積之和矩形扇形扇環(huán)形側(cè)面積與底面面積之和精品2.幾何體的表面積各面面積之和矩形扇形扇環(huán)形側(cè)面積與底面面積5有關(guān)概念1、直棱柱：2、正棱柱：3、正棱錐：4、正棱臺：側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫正棱臺精品有關(guān)概念1、直棱柱：2、正棱柱：3、正棱錐：4、正棱臺：側(cè)棱6作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個，找出斜高COBAPD斜高的概念精品作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個，找出COBAPD斜高的72、分別作出一個圓柱、圓錐、圓臺，并找出旋轉(zhuǎn)軸分別經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸作一個平面，觀察得到的軸截面是什么形狀的圖形.ABCDABCABCD矩形等腰三角形等腰梯形精品2、分別作出一個圓柱、圓錐、圓臺，并找出旋轉(zhuǎn)軸分別經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸8①直棱柱：設(shè)棱柱的高為h，底面多邊形的周長為c，則S直棱柱側(cè)＝

.（類比矩形的面積）②圓柱：如果圓柱的底面半徑為r，母線長為l，那么S圓柱側(cè)＝

.（類比矩形的面積）ch2πrl知識點一：柱、錐、臺、球的表面積與側(cè)面積(1)柱體的側(cè)面積①直棱柱：設(shè)棱柱的高為h，底面多邊形的周長為c，則ch2πr把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？精品把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？精品10棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？h正棱柱的側(cè)面展開圖2.棱柱、棱錐、棱臺的展開圖及表面積求法棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？h正棱柱的側(cè)面展思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖有什么關(guān)系？寬＝長方形精品思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線寬＝長方形精品12圓柱的側(cè)面展開圖是矩形3.圓柱、圓錐、圓臺的展開圖及表面積求法圓柱O圓柱的側(cè)面展開圖是矩形3.圓柱、圓錐、圓臺的展開圖及表面積求①正棱錐：設(shè)正棱錐底面正多邊形的周長為c，斜高為h′，則S正棱錐側(cè)＝

.（類比三角形的面積）②圓錐：如果圓錐的底面半徑為r，母線長為l，那么S圓錐側(cè)＝

.（類比三角形的面積）1∕2ch′πrl(2)錐體的側(cè)面積①正棱錐：設(shè)正棱錐底面正多邊形的周長為c，斜高為h′，則1∕把正三棱錐側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？精品把正三棱錐側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？精品15棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？正三棱錐的側(cè)面展開圖棱錐的展開圖棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？正三棱錐的側(cè)面展側(cè)面展開正五棱錐的側(cè)面展開圖棱錐的展開圖側(cè)面展開正五棱錐的側(cè)面展開圖棱錐的展開圖思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖有什么關(guān)系？扇形精品思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線扇形精品18圓錐的側(cè)面展開圖是扇形O圓錐圓錐的側(cè)面展開圖是扇形O圓錐

①正棱臺：設(shè)正n棱臺的上底面、下底面周長分別為c′、c，斜高為h′，則正n棱臺的側(cè)面積公式：S正棱臺側(cè)＝

.②圓臺：如果圓臺的上、下底面半徑分別為r′、r，母線長為l，則S圓臺側(cè)＝

．

1∕2(c＋c′)h′πl(wèi)(r′＋r)(3)臺體的側(cè)面積注：表面積＝側(cè)面積＋底面積．1∕2(c＋c′)h′πl(wèi)(r′＋r)(3把正三棱臺側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？（類比梯形的面積）精品把正三棱臺側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？精品21側(cè)面展開h'h'正四棱臺的側(cè)面展開圖棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱臺的展開圖側(cè)面展開h'h'正四棱臺的側(cè)面展開圖棱臺的側(cè)面展開圖是什么？參照圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺的側(cè)面展開圖是什么．OO’圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)圓臺參照圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺的側(cè)面展開圖是思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖有什么關(guān)系？扇環(huán)精品思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線扇環(huán)精品24OO’側(cè)圓臺側(cè)面積公式的推導OO’側(cè)圓臺側(cè)面積公式的推導OO’圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？Or’＝r上底擴大Or’＝0上底縮小OO’圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？Or’棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，h'棱柱、棱錐、棱臺的表面積它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，h'例1：一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱臺的側(cè)面積.分析：關(guān)鍵是求出斜高，注意圖中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E精品例1：一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3cm和6cm，高是28例3：圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，高為，求其側(cè)面展開圖扇環(huán)所對的圓心角分析：抓住相似三角形中的相似比是解題的關(guān)鍵小結(jié)：1、抓住側(cè)面展開圖的形狀，用好相應(yīng)的計算公式，注意逆向用公式；

2、圓臺問題恢復成圓錐圖形在圓錐中解決圓臺問題，注意相似比.答：1800精品例3：圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，高為，29例：圓臺的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是1800，那么圓臺的側(cè)面積是多少？（結(jié)果中保留π）精品例：圓臺的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開30小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺的側(cè)面展開圖的形狀是關(guān)鍵；

2、對應(yīng)的面積公式C’=0C’=CS圓柱側(cè)=2πrlS圓錐側(cè)=πrlS圓臺側(cè)=π（r1+r2)lr1=0r1=r2精品小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺的側(cè)面展開圖的形狀是關(guān)鍵；C’=031例1：一個正三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側(cè)棱長為4，則其側(cè)面積為______;答：60例2：正四棱錐底面邊長為6,高是4，中截面把棱錐截成一個小棱錐和一個棱臺，求棱臺的側(cè)面積精品例1：一個正三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側(cè)棱長為4，則32

例3已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積．DBCAS

分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形組成．因為BC=a，所以：因此，四面體S-ABC

的表面積．交BC于點D．解：先求的面積，過點S作，精品例3已知棱長為a，各面均為等邊三角形的33例4(2010年廣東省惠州市高三調(diào)研)如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長是2，D，E是CC1，BC的中點，AE＝DE.(1)求此正三棱柱的側(cè)棱長；(2)正三棱柱ABC－A1B1C1的表面積．【思路點撥】

(1)證明△AED為直角三角形，然后求側(cè)棱長；(2)分別求出側(cè)面積與底面積．例4(2010年廣東省惠州市高三調(diào)研)如圖，已知正三棱柱AB空間幾何體的表面積和體積課件【點評】求表面積應(yīng)分別求各部分面的面積，所以應(yīng)弄清圖形的形狀，利用相應(yīng)的公式求面積，規(guī)則的圖形可直接求，不規(guī)則的圖形往往要再進行轉(zhuǎn)化，常分割成幾部分來求．【點評】求表面積應(yīng)分別求各部分面的面積，所以應(yīng)弄清圖形的形思考：怎樣求斜棱柱的側(cè)面積？

1）側(cè)面展開圖是——

平行四邊形

2）S斜棱柱側(cè)=直截面周長×側(cè)棱長

3）S側(cè)=所有側(cè)面面積之和精品思考：怎樣求斜棱柱的側(cè)面積？精品371．高考中對幾何體的表面積的考查一般在客觀題中，借以考查空間想象能力和運算能力，只要正確把握幾何體的結(jié)構(gòu)，準確應(yīng)用面積公式，就可以順利解決．幾何體的表面積問題小結(jié)2．多面體的表面積是各個面的面積之和．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．3．幾何體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．1．高考中對幾何體的表面積的考查一般在客觀題中，借以考查空間幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積一、體積的概念與公理:幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積一、體積的概念與公理:公理1、長方體的體積等于它的長、寬、高的積。V長方體=abc推論1、長方體的體積等于它的底面積s和高h的積。V長方體=sh推論2、正方體的體積等于它的棱長a的立方。V正方體=a3公理1、長方體的體積等于它的長、寬、高的積。V長方體=ab公理2、夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。PQ冪勢既同，則積不容異祖暅原理公理2、夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的定理1：柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積s和高h的積。V柱體=sh二：柱體的體積推論：底面半徑為r，高為h圓柱的體積是V圓柱=r2h定理1：柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積s和高三:錐體體積例2：

如圖：三棱柱AD1C1-BDC,底面積為S,高為h.ABD

C

D1C1CDABCD1ADCC1D1A答:可分成棱錐A-D1DC,

棱錐A-D1C1C,

棱錐A-BCD.問：（1）從A點出發(fā)棱柱能分割成幾個三棱錐？三:錐體體積例2：如圖：三棱柱AD1C1-BDC,底面積為3.1．錐體（棱錐、圓錐）的體積（底面積S，高h）

注意：三棱錐的頂點和底面可以根據(jù)需要變換，四面體的每一個面都可以作為底面，可以用來求點到面的距離問題:錐體(棱錐、圓錐）的體積精品3.1．錐體（棱錐、圓錐）的體積注意：三棱錐的頂點和底面可以44定理︰如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面積是Ｓ，高是ｈ，那么它的體積是：推論：如果圓錐的底面半徑是ｒ，高是ｈ，那么它的體積是：

hSSＶ錐體＝ＳｈＶ圓錐＝πｒ２ｈSh定理︰如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面推論：如果圓錐的底面半ss/ss/hx四.臺體的體積V臺體=上下底面積分別是s/,s,高是h，則ss/ss/hx四.臺體的體積V臺體=上下底面積分別是s/,推論：如果圓臺的上,下底面半徑是r1.r2,高是ｈ，那么它的體積是：

Ｖ圓臺＝πh推論：如果圓臺的上,下底面半徑是r1.r2,高是ｈ，那么它的五.柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？S為底面面積，h為柱體高S分別為上、下底面面積，h為臺體高S為底面面積，h為錐體高上底擴大上底縮小五.柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？S為底面面積，(1)長方體的體積V長方體＝abc＝

.(其中a、b、c為長、寬、高，S為底面積，h為高)(2)柱體(圓柱和棱柱)的體積V柱體＝Sh.其中，V圓柱＝πr2h(其中r為底面半徑)．Sh知識點二．柱、錐、臺、球的體積(1)長方體的體積Sh知識點二．柱、錐、臺、球的體積(3)錐體(圓錐和棱錐)的體積V錐體＝Sh.其中V圓錐＝

，r為底面半徑．1∕3πr2h(3)錐體(圓錐和棱錐)的體積1∕3πr2h(4)臺體的體積公式V臺＝h(S＋＋S′)．注：h為臺體的高，S′和S分別為上下兩個底面的面積．其中V圓臺＝

．注：h為臺體的高，r′、r分別為上、下兩底的半徑．(5)球的體積V球＝

.1∕3πh(r2＋rr′＋r′2)1∕3πR3(4)臺體的體積公式1∕3πh(r2＋rr′＋r′2)1∕3例從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐A－BCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？精品例從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱521．求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算問題的常用方法．幾何體的體積小結(jié)2．計算柱體、錐體、臺體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．1．求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補體法、RR球的體積：一個半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個半徑為R的半球的體積相等。探究精品RR球的體積：一個半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個探究精品54RR精品RR精品55第一步：分割O球面被分割成n個網(wǎng)格，表面積分別為：則球的表面積：則球的體積為：設(shè)“小錐體”的體積為：O知識點三、球的表面積和體積（精品第一步：分割O球面被分割成n個網(wǎng)格，則球的表面積：則球的體積56O第二步：求近似和O由第一步得：精品O第二步：求近似和O由第一步得：精品57第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積

如果網(wǎng)格分的越細,則:①

由①②得:②

球的體積:的值就趨向于球的半徑RO“小錐體”就越接近小棱錐。精品第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積如果網(wǎng)格分的越細,則:①由①②58設(shè)球的半徑為R，則球的體積公式為V球＝

.4∕3πR3例1．(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面積之比＝4，則它們的半徑之比＝______.設(shè)球的半徑為R，則球的體積公式為4∕3πR3例1．(2009(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼摹丁?2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼摹丁?3)若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是———。(4)若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是———。例2：精品(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼摹?。?60例3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。略解：變題1.如果球O和這個正方體的六個面都相切，則有S=——。變題2.如果球O和這個正方體的各條棱都相切，則有S=——。關(guān)鍵：找正方體的棱長a與球半徑R之間的關(guān)系精品例3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的61OABC例4已知過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的體積，表面積．解：如圖，設(shè)球O半徑為R，截面⊙O′的半徑為r，精品OABC例4已知過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離等62例5、有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比.作軸截面精品例5、有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱63規(guī)律方法總結(jié)1．直棱柱的側(cè)面展開圖是一些矩形，正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，正棱臺的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形．2．斜棱柱的側(cè)面積等于它的直截面(垂直于側(cè)棱并與每條側(cè)棱都相交的截面)的周長與側(cè)棱長的乘積．3．如果直棱柱的底面周長是c，高是h，那么它的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)＝ch.4．應(yīng)注意各個公式的推導過程，不要死記硬背公式本身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺體中的直角梯形等特征圖形在公式推導中的作用．規(guī)律方法總結(jié)1．直棱柱的側(cè)面展開圖是一些矩形，正棱錐的側(cè)面展規(guī)律方法總結(jié)5．如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺，在求其側(cè)面積或全面積時，應(yīng)對每一個側(cè)面的面積分別求解后再相加．6．求球的體積和表面積的關(guān)鍵是求出球的半徑．反之，若已知球的表面積或體積，那么就可以得出其半徑的大小．7．計算組合體的體積時，首先要弄清楚它是由哪些基本幾何體構(gòu)成，然后再通過軸截面分析和解決問題．8．計算圓柱、圓錐、圓臺的體積時，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解．規(guī)律方法總結(jié)5．如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺，在求其側(cè)面積題型一幾何體的展開與折疊有一根長為3πcm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端,則鐵絲的最短長度為多少？

把圓柱沿這條母線展開，將問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的最短距離.題型分類深度剖析精品題型一幾何體的展開與折疊題型分類深度剖析精品66解把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD（如圖所示），由題意知BC=3πcm，AB=4πcm，點A與點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度.故鐵絲的最短長度為5πcm.精品解把圓柱側(cè)面及纏繞其上精品67

求立體圖形表面上兩點的最短距離問題，是立體幾何中的一個重要題型.這類題目的特點是：立體圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分散在立體圖形的幾個平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上.為了便于發(fā)現(xiàn)它們圖形間性質(zhì)與數(shù)量上的相互關(guān)系，必須將圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者將曲面展開為平面，使問題得到解決.其基本步驟是：展開（有時全部展開，有時部分展開）為平面圖形，找出表示最短距離的線段，再計算此線段的長.精品求立體圖形表面上兩點的最短距離精品68題型二旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的表面積(其中∠BAC=30°)及其體積.

先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的形狀,再求表面積.精品題型二旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積精品69解如圖所示,過C作CO1⊥AB于O1,在半圓中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,∴AC=

,BC=R,∴S球=4πR2,精品解如圖所示,精品70

解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進行合理的分割，然后利用有關(guān)公式進行計算.精品精品71知能遷移2已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個內(nèi)接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？解如圖為軸截面.設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，側(cè)面積為S，則精品知能遷移2已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個內(nèi)精品72知能遷移2已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個內(nèi)接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？解如圖為軸截面.設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，側(cè)面積為S，則精品知能遷移2已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個內(nèi)精品73題型三多面體的表面積及其體積一個正三棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為，求這個三棱錐的體積.

本題為求棱錐的體積問題.已知底面邊長和側(cè)棱長，可先求出三棱錐的底面面積和高，再根據(jù)體積公式求出其體積.解如圖所示，正三棱錐S—ABC.設(shè)H為正△ABC的中心，連接SH，則SH的長即為該正三棱錐的高.精品題型三多面體的表面積及其體積精品74連接AH并延長交BC于E，則E為BC的中點，且AH⊥BC.∵△ABC是邊長為6的正三角形，精品連接AH并延長交BC于E，精品75

求錐體的體積，要選擇適當?shù)牡酌婧透?，然后?yīng)用公式進行計算即可.常用方法：割補法和等積變換法.（1）割補法：求一個幾何體的體積可以將這個幾何體分割成幾個柱體、錐體，分別求出錐體和柱體的體積，從而得出幾何體的體積.（2）等積變換法：利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面.①求體積時，可選擇容易計算的方式來計算；②利用“等積性”可求“點到面的距離”.精品求錐體的體積，要選擇適當?shù)牡酌婧途?6題型四組合體的表面積及其體積(12分)如圖所示,在等腰梯形ABCD中,

AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合,求形成的三棱錐的外接球的體積.

易知折疊成的幾何體是棱長為1的正四面體，要求外接球的體積只要求出外接球的半徑即可.解由已知條件知，平面圖形中

AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.∴折疊后得到一個正四面體.2分精品題型四組合體的表面積及其體積精品77方法一作AF⊥平面DEC，垂足為F，F(xiàn)即為△DEC的中心.取EC的中點G，連接DG、AG，過球心O作OH⊥平面AEC.則垂足H為△AEC的中心.4分∴外接球半徑可利用△OHA∽△GFA求得.在△AFG和△AHO中，根據(jù)三角形相似可知，6分10分12分精品方法一作AF⊥平面DEC，垂足為F，6分10分12分精品78方法二如圖所示，把正四面體放在正方體中.顯然，正四面體的外接球就是正方體的外接球.3分∵正四面體的棱長為1，∴正方體的棱長為，6分9分12分精品方法二如圖所示，把正四面體放在正9分12分精品79方法與技巧1.對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點與平面幾何知識來解決.2.要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.3.當給出的幾何體比較復雜，有關(guān)的計算公式無法運用，或者雖然幾何體并不復雜，但條件中的已知元素彼此離散時,我們可采用“割”、“補”的技巧，化復雜幾何體為簡單幾何體（柱、錐、臺），或化離散為集中，給解題提供便利.思想方法感悟提高精品思想方法感悟提高精品80（1）幾何體的“分割”幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求,分割成若干個易求體積的幾何體,進而求之.(2)幾何體的“補形”與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等.另外補臺成錐是常見的解決臺體側(cè)面積與體積的方法,由臺體的定義，我們在有些情況下，可以將臺體補成錐體研究體積.（3）有關(guān)柱、錐、臺、球的面積和體積的計算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素.精品（1）幾何體的“分割”精品81失誤與防范1.將幾何體展開為平面圖形時,要注意在何處剪開，多面體要選擇一條棱剪開，旋轉(zhuǎn)體要沿一條母線剪開.2.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心,正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進行解題,球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖.精品失誤與防范精品821.3簡單幾何體的表面積和體積1.3簡單幾何體的表面積和體積1.3.1柱體、錐體、臺體1、表面積：幾何體表面的大小2、體積：幾何體所占空間的大小。1.3.1柱體、錐體、臺體1、表面積：幾何體表面的表面積、全面積和側(cè)面積表面積：立體圖形的所能觸摸到的面積之和叫做它的表面積。（每個面的面積相加）全面積：全面積是立體幾何里的概念，相對于截面積（“截面積”即切面的面積）來說的，就是表面積總和側(cè)面積：指立體圖形的各個側(cè)面的面積之和（除去底面）表面積、全面積和側(cè)面積表面積：立體圖形的所能觸摸到的面積之和棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積側(cè)面積所指的對象分別如下：棱柱----直棱柱。棱錐----正棱錐。棱臺----正棱臺棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積側(cè)面積所指的對象分別如下：2.幾何體的表面積（1）棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是

.（2）圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是

、

、

；它們的表面積等于

.各面面積之和矩形扇形扇環(huán)形側(cè)面積與底面面積之和精品2.幾何體的表面積各面面積之和矩形扇形扇環(huán)形側(cè)面積與底面面積87有關(guān)概念1、直棱柱：2、正棱柱：3、正棱錐：4、正棱臺：側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫正棱臺精品有關(guān)概念1、直棱柱：2、正棱柱：3、正棱錐：4、正棱臺：側(cè)棱88作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個，找出斜高COBAPD斜高的概念精品作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個，找出COBAPD斜高的892、分別作出一個圓柱、圓錐、圓臺，并找出旋轉(zhuǎn)軸分別經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸作一個平面，觀察得到的軸截面是什么形狀的圖形.ABCDABCABCD矩形等腰三角形等腰梯形精品2、分別作出一個圓柱、圓錐、圓臺，并找出旋轉(zhuǎn)軸分別經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸90①直棱柱：設(shè)棱柱的高為h，底面多邊形的周長為c，則S直棱柱側(cè)＝

.（類比矩形的面積）②圓柱：如果圓柱的底面半徑為r，母線長為l，那么S圓柱側(cè)＝

.（類比矩形的面積）ch2πrl知識點一：柱、錐、臺、球的表面積與側(cè)面積(1)柱體的側(cè)面積①直棱柱：設(shè)棱柱的高為h，底面多邊形的周長為c，則ch2πr把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？精品把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？精品92棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？h正棱柱的側(cè)面展開圖2.棱柱、棱錐、棱臺的展開圖及表面積求法棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？h正棱柱的側(cè)面展思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖有什么關(guān)系？寬＝長方形精品思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線寬＝長方形精品94圓柱的側(cè)面展開圖是矩形3.圓柱、圓錐、圓臺的展開圖及表面積求法圓柱O圓柱的側(cè)面展開圖是矩形3.圓柱、圓錐、圓臺的展開圖及表面積求①正棱錐：設(shè)正棱錐底面正多邊形的周長為c，斜高為h′，則S正棱錐側(cè)＝

.（類比三角形的面積）②圓錐：如果圓錐的底面半徑為r，母線長為l，那么S圓錐側(cè)＝

.（類比三角形的面積）1∕2ch′πrl(2)錐體的側(cè)面積①正棱錐：設(shè)正棱錐底面正多邊形的周長為c，斜高為h′，則1∕把正三棱錐側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？精品把正三棱錐側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？精品97棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？正三棱錐的側(cè)面展開圖棱錐的展開圖棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？正三棱錐的側(cè)面展側(cè)面展開正五棱錐的側(cè)面展開圖棱錐的展開圖側(cè)面展開正五棱錐的側(cè)面展開圖棱錐的展開圖思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖有什么關(guān)系？扇形精品思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線扇形精品100圓錐的側(cè)面展開圖是扇形O圓錐圓錐的側(cè)面展開圖是扇形O圓錐

①正棱臺：設(shè)正n棱臺的上底面、下底面周長分別為c′、c，斜高為h′，則正n棱臺的側(cè)面積公式：S正棱臺側(cè)＝

.②圓臺：如果圓臺的上、下底面半徑分別為r′、r，母線長為l，則S圓臺側(cè)＝

．

1∕2(c＋c′)h′πl(wèi)(r′＋r)(3)臺體的側(cè)面積注：表面積＝側(cè)面積＋底面積．1∕2(c＋c′)h′πl(wèi)(r′＋r)(3把正三棱臺側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？（類比梯形的面積）精品把正三棱臺側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？精品103側(cè)面展開h'h'正四棱臺的側(cè)面展開圖棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱臺的展開圖側(cè)面展開h'h'正四棱臺的側(cè)面展開圖棱臺的側(cè)面展開圖是什么？參照圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺的側(cè)面展開圖是什么．OO’圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)圓臺參照圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺的側(cè)面展開圖是思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖有什么關(guān)系？扇環(huán)精品思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線扇環(huán)精品106OO’側(cè)圓臺側(cè)面積公式的推導OO’側(cè)圓臺側(cè)面積公式的推導OO’圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？Or’＝r上底擴大Or’＝0上底縮小OO’圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？Or’棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，h'棱柱、棱錐、棱臺的表面積它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，h'例1：一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱臺的側(cè)面積.分析：關(guān)鍵是求出斜高，注意圖中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E精品例1：一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3cm和6cm，高是110例3：圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，高為，求其側(cè)面展開圖扇環(huán)所對的圓心角分析：抓住相似三角形中的相似比是解題的關(guān)鍵小結(jié)：1、抓住側(cè)面展開圖的形狀，用好相應(yīng)的計算公式，注意逆向用公式；

2、圓臺問題恢復成圓錐圖形在圓錐中解決圓臺問題，注意相似比.答：1800精品例3：圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，高為，111例：圓臺的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是1800，那么圓臺的側(cè)面積是多少？（結(jié)果中保留π）精品例：圓臺的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開112小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺的側(cè)面展開圖的形狀是關(guān)鍵；

2、對應(yīng)的面積公式C’=0C’=CS圓柱側(cè)=2πrlS圓錐側(cè)=πrlS圓臺側(cè)=π（r1+r2)lr1=0r1=r2精品小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺的側(cè)面展開圖的形狀是關(guān)鍵；C’=0113例1：一個正三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側(cè)棱長為4，則其側(cè)面積為______;答：60例2：正四棱錐底面邊長為6,高是4，中截面把棱錐截成一個小棱錐和一個棱臺，求棱臺的側(cè)面積精品例1：一個正三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側(cè)棱長為4，則114

例3已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積．DBCAS

分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形組成．因為BC=a，所以：因此，四面體S-ABC

的表面積．交BC于點D．解：先求的面積，過點S作，精品例3已知棱長為a，各面均為等邊三角形的115例4(2010年廣東省惠州市高三調(diào)研)如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長是2，D，E是CC1，BC的中點，AE＝DE.(1)求此正三棱柱的側(cè)棱長；(2)正三棱柱ABC－A1B1C1的表面積．【思路點撥】

(1)證明△AED為直角三角形，然后求側(cè)棱長；(2)分別求出側(cè)面積與底面積．例4(2010年廣東省惠州市高三調(diào)研)如圖，已知正三棱柱AB空間幾何體的表面積和體積課件【點評】求表面積應(yīng)分別求各部分面的面積，所以應(yīng)弄清圖形的形狀，利用相應(yīng)的公式求面積，規(guī)則的圖形可直接求，不規(guī)則的圖形往往要再進行轉(zhuǎn)化，常分割成幾部分來求．【點評】求表面積應(yīng)分別求各部分面的面積，所以應(yīng)弄清圖形的形思考：怎樣求斜棱柱的側(cè)面積？

1）側(cè)面展開圖是——

平行四邊形

2）S斜棱柱側(cè)=直截面周長×側(cè)棱長

3）S側(cè)=所有側(cè)面面積之和精品思考：怎樣求斜棱柱的側(cè)面積？精品1191．高考中對幾何體的表面積的考查一般在客觀題中，借以考查空間想象能力和運算能力，只要正確把握幾何體的結(jié)構(gòu)，準確應(yīng)用面積公式，就可以順利解決．幾何體的表面積問題小結(jié)2．多面體的表面積是各個面的面積之和．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．3．幾何體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．1．高考中對幾何體的表面積的考查一般在客觀題中，借以考查空間幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積一、體積的概念與公理:幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積一、體積的概念與公理:公理1、長方體的體積等于它的長、寬、高的積。V長方體=abc推論1、長方體的體積等于它的底面積s和高h的積。V長方體=sh推論2、正方體的體積等于它的棱長a的立方。V正方體=a3公理1、長方體的體積等于它的長、寬、高的積。V長方體=ab公理2、夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。PQ冪勢既同，則積不容異祖暅原理公理2、夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的定理1：柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積s和高h的積。V柱體=sh二：柱體的體積推論：底面半徑為r，高為h圓柱的體積是V圓柱=r2h定理1：柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積s和高三:錐體體積例2：

如圖：三棱柱AD1C1-BDC,底面積為S,高為h.ABD

C

D1C1CDABCD1ADCC1D1A答:可分成棱錐A-D1DC,

棱錐A-D1C1C,

棱錐A-BCD.問：（1）從A點出發(fā)棱柱能分割成幾個三棱錐？三:錐體體積例2：如圖：三棱柱AD1C1-BDC,底面積為3.1．錐體（棱錐、圓錐）的體積（底面積S，高h）

注意：三棱錐的頂點和底面可以根據(jù)需要變換，四面體的每一個面都可以作為底面，可以用來求點到面的距離問題:錐體(棱錐、圓錐）的體積精品3.1．錐體（棱錐、圓錐）的體積注意：三棱錐的頂點和底面可以126定理︰如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面積是Ｓ，高是ｈ，那么它的體積是：推論：如果圓錐的底面半徑是ｒ，高是ｈ，那么它的體積是：

hSSＶ錐體＝ＳｈＶ圓錐＝πｒ２ｈSh定理︰如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面推論：如果圓錐的底面半ss/ss/hx四.臺體的體積V臺體=上下底面積分別是s/,s,高是h，則ss/ss/hx四.臺體的體積V臺體=上下底面積分別是s/,推論：如果圓臺的上,下底面半徑是r1.r2,高是ｈ，那么它的體積是：

Ｖ圓臺＝πh推論：如果圓臺的上,下底面半徑是r1.r2,高是ｈ，那么它的五.柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？S為底面面積，h為柱體高S分別為上、下底面面積，h為臺體高S為底面面積，h為錐體高上底擴大上底縮小五.柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？S為底面面積，(1)長方體的體積V長方體＝abc＝

.(其中a、b、c為長、寬、高，S為底面積，h為高)(2)柱體(圓柱和棱柱)的體積V柱體＝Sh.其中，V圓柱＝πr2h(其中r為底面半徑)．Sh知識點二．柱、錐、臺、球的體積(1)長方體的體積Sh知識點二．柱、錐、臺、球的體積(3)錐體(圓錐和棱錐)的體積V錐體＝Sh.其中V圓錐＝

，r為底面半徑．1∕3πr2h(3)錐體(圓錐和棱錐)的體積1∕3πr2h(4)臺體的體積公式V臺＝h(S＋＋S′)．注：h為臺體的高，S′和S分別為上下兩個底面的面積．其中V圓臺＝

．注：h為臺體的高，r′、r分別為上、下兩底的半徑．(5)球的體積V球＝

.1∕3πh(r2＋rr′＋r′2)1∕3πR3(4)臺體的體積公式1∕3πh(r2＋rr′＋r′2)1∕3例從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐A－BCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？精品例從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱1341．求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算問題的常用方法．幾何體的體積小結(jié)2．計算柱體、錐體、臺體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．1．求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補體法、RR球的體積：一個半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個半徑為R的半球的體積相等。探究精品RR球的體積：一個半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個探究精品136RR精品RR精品137第一步：分割O球面被分割成n個網(wǎng)格，表面積分別為：則球的表面積：則球的體積為：設(shè)“小錐體”的體積為：O知識點三、球的表面積和體積（精品第一步：分割O球面被分割成n個網(wǎng)格，則球的表面積：則球的體積138O第二步：求近似和O由第一步得：精品O第二步：求近似和O由第一步得：精品139第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積

如果網(wǎng)格分的越細,則:①

由①②得:②

球的體積:的值就趨向于球的半徑RO“小錐體”就越接近小棱錐。精品第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積如果網(wǎng)格分的越細,則:①由①②140設(shè)球的半徑為R，則球的體積公式為V球＝

.4∕3πR3例1．(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面積之比＝4，則它們的半徑之比＝______.設(shè)球的半徑為R，則球的體積公式為4∕3πR3例1．(2009(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼摹丁?2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼摹丁?3)若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是———。(4)若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是———。例2：精品(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼摹?。?142例3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。略解：變題1.如果球O和這個正方體的六個面都相切，則有S=——。變題2.如果球O和這個正方體的各條棱都相切，則有S=——。關(guān)鍵：找正方體的棱長a與球半徑R之間的關(guān)系精品例3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的143OABC例4已知過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的體積，表面積．解：如圖，設(shè)球O半徑為R，截面⊙O′的半徑為r，精品OABC例4已知過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離等144例5、有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比.作軸截面精品例5、有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱145規(guī)律方法總結(jié)1．直棱柱的側(cè)面展開圖是一些矩形，正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，正棱臺的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形．2．斜棱柱的側(cè)面積等于它的直截面(垂直于側(cè)棱并與每條側(cè)棱都相交的截面)的周長與側(cè)棱長的乘積．3．如果直棱柱的底面周長是c，高是h，那么它的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)＝ch.4．應(yīng)注意各個公式的推導過程，不要死記硬背公式本身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺體中的直角梯形等特征圖形在公式推導中的作用．規(guī)律方法總結(jié)1．直棱柱的側(cè)面展開圖是一些矩形，正棱錐的側(cè)面展規(guī)律方法總結(jié)5．如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺，在求其側(cè)面積或全面積時，應(yīng)對每一個側(cè)面的面積分別求解后再相加．6．求球的體積和表面積的關(guān)鍵是求出球的半徑．反之，若已知球的表面積或體積，那么就可以得出其半徑的大?。?．計算組合體的體積時，首先要弄清楚它是由哪些基本幾何體構(gòu)成，然后再通過軸截面分析和解決問題．8．計算圓柱、圓錐、圓臺的體積時，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解．規(guī)律方法總結(jié)5．如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺，在求其側(cè)面積題型一幾何體的展開與折疊有一根長為3πcm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端,則鐵絲的最短長度為多少？

把圓柱沿這條母線展開，將問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的最短距離.題型分類深度剖析精品題型一幾何體的展開與折疊題型分類深度剖析精品148解把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD（如圖所示），由題意知BC=3πcm，AB=4πcm，點A與點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度.故鐵絲的最短長度為5πcm.精品解把圓柱側(cè)面及纏繞其上精品149

求立體圖形表面上兩點的最短距離問題，是立體幾何中的一個重要題型.這類題目的特點是：立體圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分散在立體圖形的幾個平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上.為了便于發(fā)現(xiàn)它們圖形間性質(zhì)與數(shù)量上的相互關(guān)系，必須將圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者將曲面展開為平面，使問題得到解決.其基本步驟是：展開（有時全部展開，有時部分展開）為平面圖形，找出表示最短距離的線段，再計算此線段的長.精品求立體圖形表面上兩點的最短距離精品150題型二旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的表面積(其中∠BAC=30°)及其體積.

先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的形狀,再求表面積.精品題型二旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積精品151解如圖所示,過C作CO1⊥AB于O1,在半圓中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,∴AC=

,BC=R,∴S球=4πR2,精品解如圖所示,精品152

解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進行合