日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!4.2日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題銀行存款與利率假如你在銀行開設(shè)了一個(gè)1000元的存款賬戶，銀行的年利率為7%.用an表示n年后你賬戶上的存款額，那么下面的數(shù)列就是你每年的存款額：a0,a1,a2,a3,…,an,…設(shè)r為年利率，由于an+1=an+ran,因此存款問題的數(shù)學(xué)模型是：a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!家庭教育基金從1994年開始，我國逐步實(shí)行了大學(xué)收費(fèi)制度.為了保障子女將來的教育費(fèi)用，小張夫婦從他們的兒子出生時(shí)開始，每年向銀行存入x元作為家庭教育基金.若銀行的年利率為r，試寫出第n年后教育基金總額的表達(dá)式.預(yù)計(jì)當(dāng)子女18歲入大學(xué)時(shí)所需的費(fèi)用為30000元，按年利率10%計(jì)算，小張夫婦每年應(yīng)向銀行存入多少元?設(shè)n年后教育基金總額為an，每年向銀行存入x元，依據(jù)復(fù)利率計(jì)算公式，得到家庭教育基金的數(shù)學(xué)模型為：a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!抵押貸款小李夫婦要購買二居室住房一套，共需10萬元.他們已經(jīng)籌集4萬元，另外6萬元申請抵押貸款.若貸款月利率為1%，還貸期限為25年，問小李夫婦每月要還多少錢？設(shè)貸款額為a0，每月還貸額為x，月利率為r，第n個(gè)月后的欠款額為an，則a0=60000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,……an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,…日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!一階線性差分方程在上述模型中，給出了an+1與an之間的遞推公式.將它們寫成統(tǒng)一的形式：a0=c,an+1=an+b,n=0,1,2,3,…稱此類遞推關(guān)系為一階線性差分方程.當(dāng)b=0時(shí)稱為齊次差分方程，否則稱為非齊次差分方程.

定義1對任意數(shù)列A={a1,a2,…,an,…}，其差分算子定義如下：a1=a2-a1,a2=a3-a2,…an=an+1-an,…

定義2對數(shù)列A={a1,a2,…,an,…}，其一階差分的差分稱為二階差分,記為2A=(A).即：2an=an+1-an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an一般地，可以定義n階差分.日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!差分方程an=b的解由an+1-an=b,n=0,1,2,…,得an-a0=nb.如果a0=c,則有an=nb+c.一般地,差分方程kan=b的解是:an=cknk+ck-1nk-1+……+c1n+c0,其中ck=b/k!.驗(yàn)證如下：a[n_]:=c[4]n^4+c[3]n^3+c[2]n^2+c[1]n+c[0];da[n_]:=a[n+1]-a[n];d2a[n_]:=da[n+1]-da[n];d3a[n_]:=d2a[n+1]-d2a[n];d4a[n_]:=d3a[n+1]-d3a[n];d3a[n]//Simplifyd4a[n]//Simplify日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!家庭教育基金模型由a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…得通解:將a0=x,=1+r,b=x代入,得c=x(1+r)/r,因此方程的特解是:將a18=30000,r=0.1代入計(jì)算出x=586.41.日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!分期付款模型若小王采取分期付款方式，每月要付300元.如果采用貸款方式，類似于上一模型，將a0=8000,r=0.15/12,N=36代入計(jì)算出x=277.32.比較兩種支付方式，他應(yīng)該選擇消費(fèi)貸款方式。日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!將兔群總數(shù)記為fn,n=0,1,2,…，經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{fn}滿足下列遞推關(guān)系：f0=f1=1,fn+2=fn+1+fn,n=0,1,2,…這個(gè)數(shù)列稱為Fibonacci數(shù)列.Fibonacci數(shù)列是一個(gè)十分有趣的數(shù)列，在自然科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用.Fibonacci數(shù)列的一些實(shí)例.1.蜜蜂的家譜2.鋼琴音階的排列3.樹的分枝4.楊輝三角形日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式Fibonacci數(shù)列滿足遞推關(guān)系fn+2=fn+1+fn，稱為二階線性差分方程.通過前面的計(jì)算，可以猜測fn具有指數(shù)形式.不妨設(shè)fn=n,代入差分方程，得2--1=0.其解記為1,2.得到差分方程的通解為:

fn=C11n+C22n.r=Solve[x^2-x-1==0,x];a=x/.r[[1]];b=x/.r[[2]];F1[n_]:=c1a^n+c2b^n;cc=Solve[{F1[0]==1,F1[1]==1},{c1,c2}]//SimplifyF1[n]/.cc[[1]]//Simplify日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!Fibonacci數(shù)列的生成函數(shù)設(shè)Fibonacci數(shù)列的生成函數(shù)是:F(x)=f0+f1x+f2x2+…+fnxn+…,其中fn+2=fn+1+fn.由，得.從而得.再由f0=f1=1,得:

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例1池塘中魚的數(shù)量滿足差分方程pn+1-pn=0.001pn(1000-pn)選擇不同的初值，觀察魚群數(shù)量的變化趨勢.p[x_]:=2x-0.001x^2;pict[a_]:=Module[{data1},data1=NestList[p,a,30];ListPlot[data1,PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],PointSize[0.018]}]]pict[0];pict[1];pict[500];pict[1000];pict[1500];日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!Logistic方程的迭代logistic方程是非線性方程，其標(biāo)準(zhǔn)形式為:

an+1=ran(1-an),下面通過實(shí)驗(yàn)觀察迭代數(shù)列的收斂性.logistic[r_,a_,n_]:=Module[{p,data,tu1,tu2},p[x_]:=rx(1-x);data=NestList[p,a,n];tu1=ListPlot[data,PlotStyle->PointSize[0.018],DisplayFunction->Identity];tu2=ListPlot[data,PlotJoined->True,PlotStyle->RGBColor[0,0,1],DisplayFunction->Identity];Show[tu1,tu2,DisplayFunction->$DisplayFunction]];日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!(*初值r=3.55,a0=0.2*)logistic[3.55,0.2,30];出現(xiàn)了周期為4的振蕩，稱為4-循環(huán).通過以上的觀察可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)參數(shù)r變化時(shí)，相應(yīng)的迭代數(shù)列從收斂到唯一的不動(dòng)點(diǎn)(1-循環(huán))到2-循環(huán)再到4-循環(huán)，這樣的分裂行為稱為分叉(bifurcation).(*初值r=3.7,a0=0.2*)logistic[3.7,0.2,30];此時(shí)沒有穩(wěn)定的周期性.迭代數(shù)列在區(qū)間(0,1)內(nèi)振蕩，而且表現(xiàn)出對初始條件非常敏感的依賴性，這種狀態(tài)稱為混沌(chaos).日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!Feig[n_,x0_]:=Module[{plist={},a,i,temp,pilist={}},For[a=1,a<=n,a++,temp=x0;plist={};For[i=1,i<=50,i++,temp=4*a*temp(1-temp)/n];For[i=51,i<=100,i++,temp=4*a*temp(1-temp)/n;AppendTo[plist,{4a/n,temp}]];AppendTo[pilist,ListPlot[plist,PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],PointSize[0.008]},DisplayFunction->Identity]]];Show[pilist,DisplayFunction->$DisplayFunction]];Feig[500,0.2];日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!statistic[r_,a_,n_]:=Module[{p,data,i,j,count,x,head,body},p[x_]:=rx(1-x);data=NestList[p,a,n];head={};body={};For[j=0,j<10,j++,count[j]=0;AppendTo[head,N[j/10]]];For[i=2,i<=Length[data],i++,x=Floor[10data[[i]]];count[x]++];For[j=0,j<10,j++,AppendTo[body,count[j]]];TableForm[{head,body}]];statistic[4,0.21,100];statistic[3.45,0.21,100];日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!分期付款小王看到一則廣告：商場對電腦實(shí)行分期付款銷售.一臺售價(jià)8000元的電腦，可分36個(gè)月付款，每月付300元即可.同時(shí)他收到了銀行提供消費(fèi)貸款的消息：10000元以下的貸款，可在三年內(nèi)還清，年利率為15%.那么，他買電腦應(yīng)該向銀行貸款，還是直接向商店分期付款？經(jīng)過分析可知，分期付款與抵押貸款模型相同.設(shè)第n個(gè)月后的欠款額為an，則a0=8000,an+1=(1+r)an-300,n=0,1,2,3,…貸款模型a0=8000,an+1=(1+0.15/12)an-x,n=0,1,2,3,…日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!例1用計(jì)算機(jī)計(jì)算存款模型的各階差分.(*首先計(jì)算20年內(nèi)的存款清單*)r=0.07;a[0]=1000;a[n_]:=(1+r)a[n-1];money1=Table[{n,a[n]},{n,0,20}];TableForm[Join[{{年份,存款額}},money1]](*其次計(jì)算各階差分*)da[n_]:=a[n+1]-a[n];d2a[n_]:=da[n+1]-da[n];d3a[n_]:=d2a[n+1]-d2a[n];diff=Table[{n,a[n],da[n],d2a[n],d3a[n]},{n,0,9}];TableForm[Join[{{N,An,Dan,D2an,D3an}},diff]]dif1=Transpose[diff];TableForm[{dif1[[3]]/dif1[[2]],dif1[[4]]/dif1[[3]],dif1[[5]]/dif1[[4]]}]日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!差分方程an+1=an+b的解

定理1一階線性差分方程an+1=an+b的通解是：

定理2對一階線性差分方程an+1=an+b,若||<1,則an無限趨近于平衡解b/(1-)(收斂型不動(dòng)點(diǎn));若||>1,則an逐漸遠(yuǎn)離平衡解b/(1-)(發(fā)散型不動(dòng)點(diǎn)).日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!購房抵押貸款模型由a0=60000,an+1=(1+r)an-x,n=0,1,2,3,…將=1+r,b=-x代入得到方程的特解:若在第N個(gè)月還清貸款，令aN=0,得:將a0=60000,r=0.01,N=25*12=300代入計(jì)算出x=631.93.日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!4.3Fibonacci數(shù)列問題13世紀(jì)意大利著名數(shù)學(xué)家Fibonacci在他的著作《算盤書》中記載著這樣一個(gè)有趣的問題：一對剛出生的幼兔經(jīng)過一個(gè)月可長成成兔，成兔再經(jīng)過一個(gè)月后可以繁殖出一對幼兔.若不計(jì)兔子的死亡數(shù)，問一年之后共有多少對兔子？月份01234567…幼兔10112358…成兔011235813…總數(shù)1123581321…日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!觀察Fibonacci數(shù)列(*計(jì)算Fibonacci數(shù)列的前20項(xiàng)，并作圖*)F[0]=F[1]=1;F[n_]:=F[n-1]+F[n-2];fib=Table[F[i],{i,0,20}]tu1=ListPlot[fib,PlotStyle->PointSize[0.018]];(*取對數(shù)后再觀察，可以發(fā)現(xiàn)圖像近似一條直線.*)lgf=Log[fib];tu2=ListPlot[lgf,PlotStyle->PointSize[0.018]];(*使用線性函數(shù)對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合*)f[x_]=Fit[lgf,{1,x},x]tu3=Plot[f[x],{x,0,21},PlotStyle->RGBColor[0,0,1]];Show[tu3,tu2]通過計(jì)算可知，fn0.465577e0.478438n.日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!生成函數(shù)對給定數(shù)列a0,a1,…,an,…，以{an}為系數(shù)構(gòu)造一個(gè)形式冪級數(shù)：G(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…稱為數(shù)列{an}的生成函數(shù)(也稱為母函數(shù)).

例1.有限數(shù)列的生成函數(shù)是G(x)=(1+x)n.

例2.無窮數(shù)列的生成函數(shù)是G(x)=ex.

例3.以G(x)=為生成函數(shù)的數(shù)列是an=2n-1.日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!4.5分叉與混沌Logistic方程在受環(huán)境制約的情況下，生物種群的增長變化行為比較復(fù)雜.例如在池塘內(nèi)，環(huán)境可供1000條魚生存.在魚的數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于此數(shù)時(shí)，魚群的增長接近于指數(shù)增長.但當(dāng)魚的數(shù)量接近生存限時(shí)，由于生態(tài)環(huán)境逐漸惡化，魚群的增長逐漸變慢，幾乎停止增長.如果魚群數(shù)量超過了生存限，由于環(huán)境不堪重負(fù)，魚群會(huì)出現(xiàn)負(fù)增長.這種現(xiàn)象可以用logistic方程進(jìn)行刻畫.pn+1-pn=kpn(N-pn)日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!

例2學(xué)校有兩名同學(xué)在星期一返校時(shí)患了流感，假設(shè)流感的傳染率為0.002，問兩周之后全校400名學(xué)生中會(huì)有多少人感染過流感？記an為到第n天時(shí)感染過流感的學(xué)生人數(shù).假定流感患者的增加速度與流感患者同尚未感染流感的接觸次數(shù)an(400-an)成正比.因此，an滿足logistic方程an+1-an=0.002an(400-an)p1[x_]:=x+0.002x(400-x);pict1[a_]:=Module[{data1},data1=NestList[p1,a,14];ListPlot[data1,PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],PointSize[0.018]}]]pict1[2];日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!(*初值r=0.7,a0=0.2*)logistic[0.7,0.2,30];容易看出，迭代數(shù)列單調(diào)收斂于0.(*初值r=2.9,a0=0.2*)logistic[2.9,0.2,30];迭代數(shù)列上下振蕩，趨向于不動(dòng)點(diǎn)(r-1)/r.(*初值r=3.4,a0=0.2*)logistic[3.4,0.2,30];經(jīng)過一段時(shí)間的調(diào)整，迭代數(shù)列開始接近在0.42和0.82之間振蕩.這類振蕩稱為2-循環(huán).日常生活中的經(jīng)濟(jì)問題共29頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!Feigenbaum圖設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)域上的實(shí)值函數(shù)，如果存在x*，使得f(x*)=x*，則稱x*為f(x)不動(dòng)點(diǎn).如果所有附近的點(diǎn)在迭代過程中都趨于某個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則稱該不動(dòng)點(diǎn)為吸引點(diǎn)，或稱為穩(wěn)定點(diǎn)；如果所有附近的點(diǎn)在迭代過程中都遠(yuǎn)離它而去，則稱該項(xiàng)點(diǎn)為排斥點(diǎn)(不穩(wěn)定點(diǎn)).如果f(a1)=a2,f(a2)=a3,…,f(ak)=a1,并且aja1,j=2,3,…,k,則a1,a2,…,ak構(gòu)成一個(gè)k-循環(huán).a1稱為k-周期點(diǎn)，a1,a2,…,ak稱為一個(gè)k-周期軌道.為了觀察r對迭代格式an+1=r

an(1-an)的影響，將區(qū)間(0,4]以步長r離散化.對每個(gè)離散的r值進(jìn)行迭代，忽略前50