向量的本質(zhì)理解及其教學(xué)研究

PAGEPAGE5向量的本質(zhì)理解及其教學(xué)研究長春市十一高中趙桂梅【摘要】向量是我國高中數(shù)學(xué)新課程中的必修內(nèi)容，向量具有代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀，是解決幾何問題的有力工具，集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。本文從向量的本質(zhì)理解出發(fā)，探討向量的核心概念、重要模型和思想，進(jìn)而從多個視角分析向量教學(xué)中應(yīng)注意的問題，以其對我國向量教學(xué)提供新的視野?！娟P(guān)鍵詞】課程改革；數(shù)學(xué)教學(xué)；向量當(dāng)前，在世界各國的數(shù)學(xué)課程改革中有很多共同的特點和趨勢，在數(shù)學(xué)內(nèi)容的選擇方面亦如此。向量作為近代數(shù)學(xué)最重要和最基本的概念之一，既是很多國家高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是此次我國高中數(shù)學(xué)新課程中的必修內(nèi)容。本文從向量的本質(zhì)理解出發(fā)，探討向量的核心概念、重要模型和思想，進(jìn)而從多個視角分析向量教學(xué)中應(yīng)注意的問題，以其對我國向量教學(xué)提供新的視野和建議。1、向量的本質(zhì)理解與教學(xué)向量是刻畫幾何對象的重要工具，大多數(shù)教材定義向量是有大小有方向的量.從幾何直觀的角度來看，向量可以描述為有向線段：起點，大小與方向（注意教學(xué)中對起點理解的處理方式），而如果把這個定義為原始概念，如何推導(dǎo)出例如加法的平行四邊形的法則成為困難，解決方法必須把向量的運(yùn)算也歸入定義之中.因此，在大學(xué)教材中通常要采用公理化定義：先定義線性空間（或稱向量空間），然后定義向量為線性空間的元素.而在高中教學(xué)避免過度的形式化，采用了直觀的定義與運(yùn)算并行的處理方式，避開了公理化定義。向量既具有圖形的直觀性，又有代數(shù)推理的嚴(yán)密性.從而向量是一個具有幾何和代數(shù)雙重身份的概念.（1）向量的代數(shù)描述：從代數(shù)運(yùn)算的角度理解：把向量的加法(減法)、數(shù)乘以向量和向量的數(shù)量積看作新的運(yùn)算，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)、量和運(yùn)算的形式在不斷的發(fā)展，更為重要的是在教材和教師教學(xué)的處理上應(yīng)該表現(xiàn)出“數(shù)、量和運(yùn)算”的一個發(fā)展趨勢鏈。因此向量不是“數(shù)”的簡單擴(kuò)大，它所關(guān)注的不是“數(shù)”的擴(kuò)大問題，而是“量及運(yùn)算”的擴(kuò)大問題.從結(jié)構(gòu)主義的角度理解，我們從向量概念、運(yùn)算律、共線(平面或空間)向量定理、空間向量共面定理、平面(或空間)向量基本定理出發(fā),可以揭示平面(或空間)向量基本結(jié)構(gòu),即向量之間關(guān)系.向量與向量的加法運(yùn)算構(gòu)成了加法交換群，向量與向量的加法運(yùn)算向量、數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成了線性空間，向量與向量的加法、實數(shù)、乘法運(yùn)算構(gòu)成了線性賦范空間?？梢?，向量代數(shù)所依附的線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一個完整的體系，具有良好代數(shù)結(jié)構(gòu)，是重要的數(shù)學(xué)模型。（2）向量的幾何描述：向量作為有向線段，可以刻畫位置關(guān)系和幾何度量。向量的加法用幾何語言來講即平行四邊形法則，數(shù)乘向量是位似中心在原點的位似變換，可以刻畫垂直、角度等幾何量，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積等運(yùn)算（運(yùn)算律），從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系?？梢娤蛄繙贤舜鷶?shù)、幾何與三角，是數(shù)形結(jié)合的最好體現(xiàn)。（3）向量的坐標(biāo)描述：向量可以表為一組個實數(shù)，這種坐標(biāo)描述把一切運(yùn)算都化成了數(shù)的代數(shù)運(yùn)算.而幾何描述（以原點為起點的有向線段）與坐標(biāo)描述之間有一種對應(yīng)關(guān)系：這種對應(yīng)關(guān)系不只是一一對應(yīng)，而且保持運(yùn)算關(guān)系，即同構(gòu)關(guān)系.向量幾何在本質(zhì)上是坐標(biāo)幾何的返璞歸真”返璞歸真是認(rèn)識的一個進(jìn)步,即向量幾何揭示了坐標(biāo)幾何的本質(zhì),是坐標(biāo)幾何的向前發(fā)展向量幾何使用.由上分析可見，從知識的角度理解：向量的概念、平面向量基本定理、向量運(yùn)算構(gòu)成了向量的核心概念，其中向量的概念是內(nèi)核。向量方法也就成為核心數(shù)學(xué)思想方法。2、向量模型及其思想2.1向量模型向量的本質(zhì)決定向量具有兩個模型特征：向量數(shù)量積的幾何模型：對于向量我們定義其數(shù)量積為 其中是的夾角。由此模型可以推到余弦定理和三角函數(shù)的“差角公式”.向量的坐標(biāo)模型：設(shè)有兩個向量，則定義 由此模型可以推導(dǎo)施瓦茲不等式. 2.2向量中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，兼有代數(shù)與幾何兩種形式，具有代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀，運(yùn)算簡潔又富有新意，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具，這集中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積等運(yùn)算（運(yùn)算律），從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系。在平面向量基本定理的支撐下，平面向量的正交分解、坐標(biāo)表示的目的是要把平面向量這一定性的結(jié)果變成定量的結(jié)果，把存在的東西具體表示出來，一旦定性的東西得到定量的表示，再用坐標(biāo)運(yùn)算操作起來就容易多了。進(jìn)而通過“三步曲”，即用向量表示出問題中關(guān)鍵的點、線、（面）；進(jìn)行向量計算得出結(jié)果；對所得結(jié)果給予幾何的解釋而將問題解決。使得以向量及其運(yùn)算為工具，可以研究幾何。因此，在教學(xué)中要鼓勵學(xué)生更多地理解“幾何代數(shù)化”.正如數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中所言:用空間向量處理立體幾何問題，提供了新的視角.所以向量更多更重要的是提供了一種認(rèn)識圖形和空間的方法，為解決問題提供了一個十分有效的工具.因而，在教學(xué)中教師要重視滲透這一數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力與幾何直觀能力.向量及其運(yùn)算構(gòu)成向量代數(shù)，從代數(shù)運(yùn)算角度向量具有較好的代數(shù)結(jié)構(gòu)，是公理化思想的體現(xiàn)，把平面和空間看作是一個向量場，可以培養(yǎng)學(xué)生對結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的認(rèn)識，而結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的主要方向，也可以把向量的引入理解為現(xiàn)代數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接的組成部分之一.3、向量教學(xué)應(yīng)注意的問題從向量的表示形式看，其與幾何有著千絲萬縷的聯(lián)系，向量的運(yùn)算關(guān)系能充分反映幾何圖形中存在的一些特定的關(guān)系或性質(zhì).所謂性質(zhì)，指一對象在某些條件改變后還仍然保持的某種不變的關(guān)系.對于向量與幾何的聯(lián)系、變與不變的關(guān)系，如何讓學(xué)生通過自身的活動去觀察、去發(fā)現(xiàn)、去感悟，積極地參與到教學(xué)活動中來，是新課程改革的突出要求.而數(shù)形結(jié)合的原則應(yīng)該是貫穿整個向量理論的教學(xué)的基本原則.不僅引領(lǐng)整個向量知識塊的發(fā)生、發(fā)展、深化，而且對向量概念內(nèi)涵的理解要通過數(shù)形教學(xué)不斷提升：（1）數(shù)學(xué)理解的視角——對向量內(nèi)容的本質(zhì)和所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、方法及其精神的把握，是理解向量本質(zhì)的決定性因素。向量是重要的數(shù)學(xué)模型，向量是刻畫位置的重要工具，向量與運(yùn)算構(gòu)成了代數(shù)系統(tǒng)，具有良好的代數(shù)結(jié)構(gòu)，而向量概念的雙重性決定向量具有數(shù)形結(jié)合、公理化思想，這要求我們對向量概念教學(xué)應(yīng)把握注重本質(zhì)和思想的理解。，處理好以下幾個關(guān)系：處理好向量的概念、運(yùn)算與平面向量基本定理的關(guān)系。這三個核心概念同在概念外延的生長期，由于正交分解、坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算生成的需要，平面向量基本定理尤為重要，這導(dǎo)致教學(xué)中對向量的概念很容易被認(rèn)為已經(jīng)完成歷史使命，不再對它的外延的生長加以注意，而導(dǎo)致學(xué)生對向量的概念的疑惑或異化，忽略了對向量概念的本質(zhì)教學(xué)。處理好向量與物理背景的關(guān)系。向量是一個很抽象的東西，看不見摸不著，賦予它形的東西，意義巨大，便于學(xué)生理解，但向量的背景與向量的概念的本質(zhì)畢竟是有距離的，但形不是向量的內(nèi)涵，如果學(xué)生對有向線段的形與向量的形不能真正的區(qū)分開來，就不能正確地理解向量的內(nèi)涵。處理好直觀理解與形式化理解的關(guān)系。通常向量概念的教學(xué)，以物理背景為切入點，以有向線段為幾何直觀意義，這會導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生困惑或思想障礙：向量是有向線段嗎？向量究竟與起點有沒有關(guān)系？海拔是向量嗎？怎樣表示0向量？單位向量有幾條？0向量的長度為什么為0，方向任意？a＞b有意義嗎？這需要教師對向量概念的本質(zhì)有深刻的理解。（2）思維的視角——理解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維規(guī)律向量概念具有二重性，既表現(xiàn)為過程操作，又表現(xiàn)為一種對象、結(jié)構(gòu)；向量概念又是代數(shù)與幾何的交匯，所以教學(xué)更應(yīng)該具有思維發(fā)展的層次性和階段性，從代數(shù)思維角度看，向量教學(xué)應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生較好地實現(xiàn)由“程序性觀念”向“結(jié)構(gòu)性觀念”的轉(zhuǎn)變，不是僅停留在代數(shù)運(yùn)算的理解，而是要上升到結(jié)構(gòu)性理解；從幾何思維的角度看，向量教學(xué)應(yīng)當(dāng)要注意物理背景、幾何意義和抽象性相結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生從初級到高級數(shù)學(xué)思維的認(rèn)知發(fā)展，運(yùn)用操作符號和視覺直觀建立由過程到概念的連續(xù)抽象概括，形成創(chuàng)造性思維。因此，向量教學(xué)過程要注重知識的再組織和再創(chuàng)造，注重對向量教學(xué)的教育形態(tài)研究和開發(fā)。例如，探究數(shù)量積的概念，從探究向量的數(shù)量積運(yùn)算入手，到研究數(shù)量積的幾何意義和物理意義，再到探究數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)與運(yùn)算律，經(jīng)歷從數(shù)到形和從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，使學(xué)習(xí)向量走向“思維中的具體”。（3）認(rèn)知的視角——理解學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平從心理學(xué)角度分析，高中學(xué)生認(rèn)知發(fā)展處于雙重階段：具體運(yùn)算向形式運(yùn)算過渡階段與真正掌握形式運(yùn)算階段，屬于經(jīng)驗型抽象，因此，向量的教學(xué)應(yīng)該注意物理背景和幾何直觀意義，二者是學(xué)生理解向量概念的經(jīng)驗基礎(chǔ)，是實施向量概念教學(xué)的有效“平臺”。從物理背景中揭示隱藏在現(xiàn)實背景下的向量概念，幫助學(xué)生建立多元多維的向量認(rèn)識，這符合學(xué)生認(rèn)識規(guī)律的過程。（4）表征方式的視角——注重學(xué)生的差異性在向量教學(xué)中，教師普遍采用課本統(tǒng)一的教學(xué)程序和教學(xué)策略，在傳授過程中對向量做一定的簡單化處理，建立單一標(biāo)準(zhǔn)的基本表征，認(rèn)知環(huán)境的單一化，導(dǎo)致學(xué)生對向量概念的本質(zhì)認(rèn)識模糊。而用向量解決問題通常有三個過程：形譯成向量向量運(yùn)算向量譯成形。學(xué)生表征的轉(zhuǎn)化能力較弱，（教師沒有采取更多的教學(xué)手段（包括計數(shù)器、信息技術(shù)整合等），所以學(xué)生對向量的掌握停留在初級水平上，只建立在向量的求解步驟或計算公式的死記硬背和機(jī)械應(yīng)用之上，沒有建構(gòu)起解決問題的思路，缺乏問題探究與體驗過程，難以產(chǎn)生廣泛、靈活的遷移。不同的個體傾向影響學(xué)生利用不同的表征來理解向量，我們知道在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中確實存在分析型、集合型和調(diào)和型學(xué)生，但我們的教師教學(xué)更多的適合對分析型學(xué)生的培養(yǎng)，因此，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)認(rèn)知途徑的多樣化、概念表征的多元化必須采取“數(shù)量化”的方法，也就是代數(shù)化幾何的處理方法，例如，對平面向量的正交分解的理解，可以從物理背景、幾何直觀、坐標(biāo)表示等方法來適應(yīng)不同層次學(xué)生理解的需要，同樣，信息技術(shù)作為學(xué)習(xí)的認(rèn)知工具，可實現(xiàn)運(yùn)動變化的可操作和可視性，并將各種元素的變化與聯(lián)系同時呈現(xiàn)，可以更好地幫助學(xué)生在教師的輔導(dǎo)下進(jìn)行充分自主地觀察、嘗試、猜想、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、提問等探究式的活動，從而更好地發(fā)展數(shù)學(xué)的思維、領(lǐng)悟向量的本質(zhì)。[參考文獻(xiàn)][1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)