最新六章概率與概率分布課件

六章概率與概率分布六章概率與概率分布參數(shù)估計和假設(shè)檢驗推斷統(tǒng)計研究如何依據(jù)樣本資料對總體性質(zhì)作出推斷，這是以概率論為基礎(chǔ)的。隨機原則總體樣本總體參數(shù)統(tǒng)計量推斷估計參數(shù)估計檢驗假設(shè)檢驗抽樣分布12/11/20222參數(shù)估計和假設(shè)檢驗推斷統(tǒng)計研究如何依據(jù)樣本資最新六章概率與概率分布課件最新六章概率與概率分布課件最新六章概率與概率分布課件最新六章概率與概率分布課件最新六章概率與概率分布課件最新六章概率與概率分布課件2.事件之間的關(guān)系（1）事件和（Orconjunction)——事件A與事件B至少有一個事件發(fā)生所構(gòu)成的事件C稱為A與B的事件和，記作（2）事件積(As-well-asconjunction)——事件A與事件B同時發(fā)生所構(gòu)成的事件C稱為A與B的事件積，記作12/11/202292.事件之間的關(guān)系12/10/20229（3）事件的包含與相等——事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱為B包含A記作

如果則（4）互斥事件——事件A和事件B不能同時發(fā)生，則稱B和A是互斥事件，或互不相容事件，記作12/11/202210（3）事件的包含與相等——事件A發(fā)生必然12/（5）對立事件——事件A與事件B是互斥事件，且在一次試驗中必有其一發(fā)生，稱A與B為對立事件（逆事件），記作（6）相互獨立事件——事件A的發(fā)生與事件B是否發(fā)生毫無關(guān)系，稱A與B為相互獨立事件，記作

12/11/202211（5）對立事件——事件A與事件B是互斥事12兩之

隨間

機的

事關(guān)

件系12/11/202212兩之

隨間

機的

事關(guān)

件系12/10/2022123.先驗概率在統(tǒng)計學(xué)中，有兩種常見的確定概率的方法：古典法和頻率法。

由普拉斯1814年提出。以想象總體為對象，利用模型本身所具有的對稱性來事先求得概率，故被稱為先驗概率。條件：（1）在一樣本空間中，各樣本點出現(xiàn)的機會均等；（2）該樣本空間只有有限（n)個樣本點。用古典法求出的概率12/11/2022133.先驗概率由普拉斯1814年提出。以想[例]擲兩枚均勻的硬幣，①求“兩枚都朝上”的概率；②求“一枚朝上，一枚朝下”的概率。

這樣對于含有m個樣本點的事件A，其出現(xiàn)的概率為

用古典法求算概率，在應(yīng)用上有兩個缺點：①它只適用于有限樣本點的情況；②它假設(shè)機會均等，但這些條件實際上往往不能得到滿足。

12/11/202214[例]擲兩枚均勻的硬幣，①求“兩枚都4.經(jīng)驗概率

求算概率的另一途徑是運用頻率法。設(shè)想有一個與某試驗相聯(lián)系的事件A，把這個試驗一次又一次地做下去，每次都記錄事件A是否發(fā)生了。假如做了n次試驗，而記錄到事件A發(fā)生了m次（即成功m次），則頻數(shù)與試驗次數(shù)的比值，稱作次試驗中事件A發(fā)生的頻率

顯然，頻率具有雙重性質(zhì)：隨機性和規(guī)律性.當(dāng)試驗或觀察次數(shù)趨近于無窮時相應(yīng)頻率趨于穩(wěn)定，這個極限值就是用頻率法所定義的概率，即

頻率穩(wěn)定到概率這個事實，給了“機會大小”即概率一個淺顯而說得通的解釋，這在統(tǒng)計學(xué)上具有很重要的意義。堅持這種觀點的統(tǒng)計學(xué)派也就被稱為頻率學(xué)派。

12/11/2022154.經(jīng)驗概率12/10/202215比如：法國統(tǒng)計學(xué)家蒲豐（Buffon）把銅板拋了4040次，正面的次數(shù)是2048，比例是0.5069。1900年，英國統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜把硬幣拋了24000次，正面的次數(shù)是12012，比例是0.5005南非數(shù)學(xué)家柯屈瑞在監(jiān)獄時，把硬幣拋了10000次，正面的次數(shù)是5067，比例是0.5067。再如：保險公司會利用概率進(jìn)行人壽保險經(jīng)營，比如研究表明20－24歲的男性中明年死亡的概率是0.0015，同齡的女性是0.0005，保險公司對男性的保費就多收一些。12/11/202216比如：12/10/2022162.加法規(guī)則

如果事件A和事件B互斥，那么

如果A和B是任何事件(不一定互斥)，加法規(guī)則更普通地表示為如下形式

第二節(jié)概率的數(shù)學(xué)性質(zhì)1.非負(fù)性特別對必然事件和不可能事件有12/11/2022172.加法規(guī)則第二節(jié)概率的數(shù)學(xué)性質(zhì)1.非負(fù)性特別對必然事件1[例]從一副普通撲克牌中抽一張牌，求抽到一張紅桃或者方塊的概率。

[例]在一副52張撲克牌中，求單獨抽取一次抽到一張紅桃或愛司的概率。12/11/202218[例]從一副普通撲克牌中抽一張牌，求抽到一張紅12/加法規(guī)則可推廣到對兩個以上的事件，若事件A，B，C…K都互斥，那么有

P(A或B或C…或K)＝P(A)+P(B)+P(C)…+P(K)

[例]根據(jù)上海市職業(yè)代際流動的統(tǒng)計，向下流動的概率是0.07，靜止不動的概率是0.6，求向上流動的概率是多少？[例]為了研究父代文化程度對子代文化程度的影響，某大學(xué)統(tǒng)計出學(xué)生中父親具有大學(xué)文化程度的占30％，母親具有大學(xué)文化程度的占20％，而雙方都具有文化程度的占有10％，問從學(xué)生中任抽一名，父代至少有一名具有大學(xué)文化程度的概率是多少？12/11/202219加法規(guī)則可推廣到對兩個以上的事件，若事件A，B3.乘法規(guī)則

式中符號和代表條件概率。應(yīng)理解為，“在B已經(jīng)發(fā)生條件下A發(fā)生的概率”。條件概率的意思是，A發(fā)生的概率可能與B是否發(fā)生有關(guān)系。換言之，B已經(jīng)發(fā)生時A發(fā)生的概率可能有別于B沒有發(fā)生時A發(fā)生的概率。

理解統(tǒng)計獨立的概念，對于靈活運用概率的乘法規(guī)則很重要?，F(xiàn)在用條件概率來加以表達(dá)，統(tǒng)計獨立是指若A和B在統(tǒng)計上相互獨立(無關(guān))，這時乘法規(guī)則可以簡化為12/11/2022203.乘法規(guī)則12/10/202220[例]假定有下列3000個社區(qū)的數(shù)據(jù)，如果隨機地從這個總體中抽取一個社區(qū)，得到一個中等的而且犯罪率低的社區(qū)的概率是多少?

[例]假定數(shù)據(jù)變動如下，隨機地從這個總體中抽取一個社區(qū)，得到一個中等的而且犯罪率低的社區(qū)的概率又是多少?屬性大中小總和高犯罪率6003001001000低犯罪率6009005002000總和120012006003000屬性大中小總和高犯罪率1003006001000低犯罪率5009006002000總和60012001200300012/11/202221[例]假定有下列3000個社區(qū)的數(shù)據(jù)，如果隨[例]根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，男嬰出生的概率是22/43，女嬰出生的概率是21/43，某單位有兩名孕婦，問兩名孕婦都生男嬰的概率是多少？都生女嬰的概率是多少？其中一男一女的概率是多少？[例]某居民樓共20戶，其中核心家庭為2戶，問訪問兩戶都是核心家庭的概率是多少？問訪問第二戶才是核心家庭的概率是多少？12/11/202222[例]根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，男嬰出生的概率是12/10/20[例]為了研究父代文化程度對子代文化程度的影響，某大學(xué)統(tǒng)計出學(xué)生中父親具有大學(xué)文化程度的占30％，母親具有大學(xué)文化程度的占20％，而雙方都具有文化程度的占有10％，問從學(xué)生中任抽一名，父代至少有一名具有大學(xué)文化程度的概率是多少？12/11/202223[例]為了研究父代文化程度對子代文12/10/2在抽樣方法中還經(jīng)常涉及到回置抽樣和不回置抽樣。如前所

述，所謂回置抽樣，就是抽取的單位登記后又被放回總體中去，然

后再進(jìn)行下一次抽取。使用回置抽樣法，先后兩次抽取是彼此獨立

的。因為每一次抽取后抽取到的單位都得返還，總體保持不變，前

一次的結(jié)果不可能影響到后一次。所謂不回置抽樣，就是不再把抽

取到的單位退還總體。這樣先后兩次抽取就不再獨立了，必須使用

條件概率的概念。用不回置法從一幅普通撲克牌抽取兩次，計算得到兩張愛司的概率。用回置法從一幅普通撲克牌抽取兩次，計算得到兩張愛司的概率。12/11/202224在抽樣方法中還經(jīng)常涉及到回置抽樣和不回置抽樣4.排列和樣本點的計數(shù)

要正確解決概率問題，往往光考慮乘法規(guī)則還不夠，還要同時

考慮使用加法規(guī)則。一般最簡單的做法是：首先確定一種符合要求

的排列方式并計算它們發(fā)生的概率，然后再考慮還有沒有其他同樣

符合要求的排列方式。如果存在著其他實現(xiàn)方式，并且都具有相同

的概率，就可以簡單地把排列方式數(shù)與以某一給定的排列方式計算

的概率相乘。注意，后一步相當(dāng)于使用了加法規(guī)則。所有N個元素都不相同的情況下，排列方式數(shù)為N個元素中，若其中第一組中有r1個不能區(qū)分的元素，第2組中有r2個不能區(qū)分的元素，…，第k組中有rk個不能區(qū)分的元素，且各組彼此是可以區(qū)分的，則總的排列數(shù)為12/11/2022254.排列和樣本點的計數(shù)

要正確解決概率問[例]從一幅洗得很好的撲克牌中做了3次抽取，假定使用回置法，求至少得到1張A和一張K的概率是多少?[解]按照題意，要在不同樣本空間中考慮三種復(fù)合事件：抽到1張A和1張K，另l張非A非K，用符號(AKO)表示(其中“O”表示其他)；抽到1張A和2張K，用符號(4KK)表示；抽到2張A和1張K，用符號（AAK)表示。因為在不同樣本空間中基本事件實現(xiàn)的概率不同，必須對它們加以區(qū)別。

次序為AKO的樣本點實現(xiàn)的概率是次序為AKK的樣本點實現(xiàn)的概率是次序為AAK的樣本點實現(xiàn)的概率是

再考慮每個復(fù)合事件各含有多少種可能的排列方式

(AKK)含有3?。?!＝3種排列方式(AAK)含有3！／2!＝3種排列方式（AKO)含有3！＝6種排列方式所以，在三次抽取中，至少得到1張A和1張K的概率是12/11/202226[例]從一幅洗得很好的撲克牌中做了3次抽[例]假如對1000個大學(xué)生進(jìn)行歌曲欣賞調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中有500個學(xué)生喜歡民族歌曲，400個學(xué)生喜歡流行歌曲，而這些學(xué)生中有100人屬于既喜歡民族歌曲又喜歡流行歌曲的，剩下來的學(xué)生兩種歌曲都不喜歡。如果我們隨機地從該總體中抽取一個學(xué)生，并設(shè)事件A為該學(xué)生喜歡民族歌曲，事件B為該學(xué)生喜歡流行歌曲。①用數(shù)字證明P(A且B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)②得到一個喜歡兩種風(fēng)格歌曲之一的學(xué)生的概率是多少？③隨機地選取一個由3個學(xué)生組成的樣本，要求這三個學(xué)生全都有相同的欣賞方式，得到這種樣本的概率是多少？12/11/202227[例]假如對1000個大學(xué)生進(jìn)行歌曲欣賞調(diào)5.運用概率方法進(jìn)行統(tǒng)計推斷的前提隨機抽樣樣本容量相對于總體來說，是較小的總體中個體的組合具有被同等抽中的概率注意獨立性問題12/11/2022285.運用概率方法進(jìn)行統(tǒng)計推斷的前提隨機抽樣樣本容量相對于簡單隨機抽樣要求每一個個體擁有相同的被選入樣本的機會。嚴(yán)格來講，由于我們實際上總是做不回置抽樣，因此獨立性的假定，是難以完全滿足的。只有在樣本非常大，可以忽略。一個隨機樣本具有以下的性質(zhì)：不僅要給每一個個體以相等的被抽中的機會，而且要給每一種個體的組合以相等的被抽中的機會。在要概括社區(qū)或其他空間上限定區(qū)域的單位的情況時，也必須注意到缺乏獨立性的問題。12/11/20222912/10/202229

第三節(jié)概率分布、期望值與變異數(shù)隨機事件及其概率回答的是隨機現(xiàn)象某一局部結(jié)果，例如對給定的復(fù)合事件求先驗概率。而概率分布則要在滿足完備性(窮舉)和互不相容性(互斥)的前提下，回答隨機現(xiàn)象一共會出現(xiàn)多少種結(jié)果，以及每種結(jié)果所伴隨的概率是多少。

應(yīng)該指出，在統(tǒng)計中，概率分布是就隨機現(xiàn)象呈現(xiàn)的宏觀結(jié)果而言的。所謂宏觀結(jié)果，是指可以在宏觀層次加以識別的而與特定排列次序無關(guān)的樣本空間的子集。12/11/202230第三節(jié)概率分布、期望值與變異數(shù)X23456789101112合計P(X)

例如擲兩顆骰子的試驗，點數(shù)就是隨機現(xiàn)象，它一共有11種宏觀結(jié)果。我們用古典法對每種宏觀結(jié)果計算P，便得到了如下表所示的概率分布。

頻率分布與概率分布的區(qū)別經(jīng)驗分布：頻率分布是經(jīng)資料整理而來;頻率分布隨樣本不同而不同;頻率分布有對應(yīng)的頻數(shù)分布。理論分布：概率分布是先驗的；概率分布是唯一的；概率分布無頻率分布所對應(yīng)的頻數(shù)分布。12/11/202231X23456789101112合計P(X)1.離散型隨機變量的概率分布

離散型隨機變量的取值是可數(shù)的，如果對X的每個可能取值xi計算其實現(xiàn)的概率Pi，我們便得到了離散型隨機變量的概率分布，即離散型隨機變量的概率分布也可以用表格和圖形兩種形式來表示。由于離散型隨機變量的特點，表示離散型隨機變量概率分布多為折線圖。12/11/2022321.離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量2.連續(xù)型隨機變量的概率分布

連續(xù)型隨機變量的取值充滿某一區(qū)間，因而取某一數(shù)值討論其概率是無意義的。為此，我們引進(jìn)概率密度的概念來表達(dá)連續(xù)型隨機變量的概率分布。

本書第三章第三節(jié)曾出現(xiàn)過頻率密度的概念，頻率密度等于頻率除以組距。以頻率密度為縱坐標(biāo)，可以作出頻率分布直方圖。類似地，以概率密度為縱坐標(biāo)，可以作出概率密度曲線。所不同的是，概率密度由于對組距求了Δx→0的極限，其圖形乃平滑曲線。12/11/2022332.連續(xù)型隨機變量的概率分布本書第三章第三

這樣一來，隨機變量X取值在區(qū)間{x1，x2}上的概率等于概率密度曲線下面x1與x2兩點之間面積，即

所以有概率密度的性質(zhì)因為概率不可能是負(fù)的，且

12/11/202234這樣一來，隨機變量X取值在區(qū)間{x1，x23.分布函數(shù)

為了從數(shù)學(xué)上能夠統(tǒng)一對隨機變量的概率進(jìn)行研究引入分布函數(shù)的概念，它被定義為

有了分布函數(shù)，就可以很容易得到隨機變量X取值在任意區(qū)間{x1，x2}上的概率，即

連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量

12/11/2022353.分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量12/10/2和

(離散變量)或(連續(xù)變量)的關(guān)系，就像向上累計頻率和頻率的關(guān)系一樣。不同之處在于，累計的是概率。但使用分布函數(shù)的好處是很明顯的，它不僅在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一了對離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量概率的研究，而且由于它計算概率的起點都固定為―∞，因而可以把概率值換算成表，以易于求得任何區(qū)間的概率，從而達(dá)到計算快捷和應(yīng)用廣泛之目的。[例]求兩顆骰子點數(shù)的分布函數(shù)。

X23456789101112合計P(X)F(X)——12/11/202236和4.數(shù)學(xué)期望

在前面統(tǒng)計分組的討論中，我們在得到頻數(shù)(或頻率)分布后，為了對變量有系統(tǒng)概括的認(rèn)識，分別研究了集中趨勢和離中趨勢。而對集中趨勢和離中趨勢量度，我們分別得到了平均指標(biāo)和變異指標(biāo)，其中最有代表性的是算術(shù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。很顯然，現(xiàn)在當(dāng)我們面對隨機變量的理論分布時，也要對隨機變量的集中趨勢和離中趨勢作概括性的描述，這就引出數(shù)學(xué)期望和變異數(shù)這兩個概念。所謂數(shù)學(xué)期望，是反映隨機變量X取值的集中趨勢的理論均值(算術(shù)平均)，記作E(X)。離散型隨機變量

連續(xù)型隨機變量12/11/2022374.數(shù)學(xué)期望離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量12/10/2例誰的技術(shù)比較好?乙射手甲射手解故甲射手的技術(shù)比較好12/11/202238例誰的技術(shù)比較好?乙射手甲射手解故甲射手的技術(shù)比較好12

[例]一家保險公司在投保的50萬元人壽保險的保單中，估計每1000保單每年有15個理賠，若每一保單每年的營運成本及利潤的期望值為200元，試求每一保單的保費。

[解]依題意知，利潤的期望值

E(X)＝200(元)設(shè)x1表示保費，x2為理賠費[x2＝-(500000-x1)]，則可得

所以，x1＝7700(元)。即每一保單每年的保費應(yīng)定在7700元。12/11/202239[例]一家保險公司在投保的50萬元人壽保險

數(shù)學(xué)期望也常常記為μ，在推論統(tǒng)計中同總體均值的記號，而則在推論統(tǒng)計中被作為樣本均值的記號。數(shù)學(xué)期望和總體均值一樣，都是唯一的，不過它是一個先驗的理論值。由于它是用隨機變量各取值分別乘以取值的概率來計算的，因此數(shù)學(xué)期望又可稱為隨機變量的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。樣本均值依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算而來，但它具有隨機性。在統(tǒng)計推論中，E(X)，是“估計”。

(2)常數(shù)c與隨機變量X之積的期望等于X的期望與c的積，即E(cX)＝cE(X)(3)兩個隨機變量之和的期望等于它們的期望之和，即E(X+Y)＝E(X)+E(Y)(4)兩個獨立隨機變量乘積的期望等于它們的期望之積，即E(XY)＝E(X)·E(Y)(1)常數(shù)c的期望等于該常數(shù)，即E(c)＝c數(shù)學(xué)期望的幾個基本性質(zhì)：和都是為μ服務(wù)的，E(X)是“期望”12/11/202240數(shù)學(xué)期望也常常記為μ，在推論統(tǒng)計中同總體均5.變異數(shù)

數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量的集中趨勢，但僅知道集中趨勢還不夠，還應(yīng)該知道隨機變量在均值周圍的離散程度，即離中趨勢。變異數(shù)是綜合反映隨機變量取值分散程度的指標(biāo)，其功能相當(dāng)于描述統(tǒng)計中已討論過的方差及標(biāo)準(zhǔn)差，記用D(X)。

離散型隨機變量

連續(xù)型隨機變量由于變異數(shù)的單位是隨機變量單位的平方。為了使隨機變量變異指標(biāo)的單位與其本身的單位相同，將D(X)開方(取正值)稱作隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差σ；同時為了更明確的表示D(X)與標(biāo)準(zhǔn)差之間只是開方關(guān)系，索性把D(X)寫成σ2，并直接稱D(X)為隨機變量X的方差。于是有12/11/2022415.變異數(shù)離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量很顯然隨機變量X的變異數(shù)也可以寫成

簡化公式當(dāng)然不難理解，在推論統(tǒng)計中隨機變量變異數(shù)的記號常常同總體方差的記號，即用σ2表示之。而S2則被作為樣本方差的記號。變異數(shù)和總體方差一樣，都是唯一的，不過它是一個先驗的理論值。樣本方差S2依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算而來，但它具有隨機性。

試求兩顆骰子點數(shù)的變異數(shù)D(X)12/11/202242很顯然隨機變量X的變異數(shù)也可以寫成簡化公式變異數(shù)的幾個基本性質(zhì)：(1)常數(shù)c的方差等于0，即D(c)＝0(2)常數(shù)c與隨機變量X之積的方差，等于隨機變量X的方差c2倍，即D(cX)＝c2D(X)(3)隨機變量與常數(shù)之和的方差等于隨機變量的方差，即D(X+c)＝D(X)(4)兩個獨立隨機變量之和的方差等于它們的方差和，即D(X+Y)＝D(X)+D(Y)12/11/202243變異數(shù)的幾個基本性質(zhì)：(1)常數(shù)c的方差等于12/11/20224412/10/202244

結(jié)束語謝謝大家聆聽?。?！45

結(jié)束語謝謝大家聆聽?。?！45六章概率與概率分布六章概率與概率分布參數(shù)估計和假設(shè)檢驗推斷統(tǒng)計研究如何依據(jù)樣本資料對總體性質(zhì)作出推斷，這是以概率論為基礎(chǔ)的。隨機原則總體樣本總體參數(shù)統(tǒng)計量推斷估計參數(shù)估計檢驗假設(shè)檢驗抽樣分布12/11/202247參數(shù)估計和假設(shè)檢驗推斷統(tǒng)計研究如何依據(jù)樣本資最新六章概率與概率分布課件最新六章概率與概率分布課件最新六章概率與概率分布課件最新六章概率與概率分布課件最新六章概率與概率分布課件最新六章概率與概率分布課件2.事件之間的關(guān)系（1）事件和（Orconjunction)——事件A與事件B至少有一個事件發(fā)生所構(gòu)成的事件C稱為A與B的事件和，記作（2）事件積(As-well-asconjunction)——事件A與事件B同時發(fā)生所構(gòu)成的事件C稱為A與B的事件積，記作12/11/2022542.事件之間的關(guān)系12/10/20229（3）事件的包含與相等——事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱為B包含A記作

如果則（4）互斥事件——事件A和事件B不能同時發(fā)生，則稱B和A是互斥事件，或互不相容事件，記作12/11/202255（3）事件的包含與相等——事件A發(fā)生必然12/（5）對立事件——事件A與事件B是互斥事件，且在一次試驗中必有其一發(fā)生，稱A與B為對立事件（逆事件），記作（6）相互獨立事件——事件A的發(fā)生與事件B是否發(fā)生毫無關(guān)系，稱A與B為相互獨立事件，記作

12/11/202256（5）對立事件——事件A與事件B是互斥事12兩之

隨間

機的

事關(guān)

件系12/11/202257兩之

隨間

機的

事關(guān)

件系12/10/2022123.先驗概率在統(tǒng)計學(xué)中，有兩種常見的確定概率的方法：古典法和頻率法。

由普拉斯1814年提出。以想象總體為對象，利用模型本身所具有的對稱性來事先求得概率，故被稱為先驗概率。條件：（1）在一樣本空間中，各樣本點出現(xiàn)的機會均等；（2）該樣本空間只有有限（n)個樣本點。用古典法求出的概率12/11/2022583.先驗概率由普拉斯1814年提出。以想[例]擲兩枚均勻的硬幣，①求“兩枚都朝上”的概率；②求“一枚朝上，一枚朝下”的概率。

這樣對于含有m個樣本點的事件A，其出現(xiàn)的概率為

用古典法求算概率，在應(yīng)用上有兩個缺點：①它只適用于有限樣本點的情況；②它假設(shè)機會均等，但這些條件實際上往往不能得到滿足。

12/11/202259[例]擲兩枚均勻的硬幣，①求“兩枚都4.經(jīng)驗概率

求算概率的另一途徑是運用頻率法。設(shè)想有一個與某試驗相聯(lián)系的事件A，把這個試驗一次又一次地做下去，每次都記錄事件A是否發(fā)生了。假如做了n次試驗，而記錄到事件A發(fā)生了m次（即成功m次），則頻數(shù)與試驗次數(shù)的比值，稱作次試驗中事件A發(fā)生的頻率

顯然，頻率具有雙重性質(zhì)：隨機性和規(guī)律性.當(dāng)試驗或觀察次數(shù)趨近于無窮時相應(yīng)頻率趨于穩(wěn)定，這個極限值就是用頻率法所定義的概率，即

頻率穩(wěn)定到概率這個事實，給了“機會大小”即概率一個淺顯而說得通的解釋，這在統(tǒng)計學(xué)上具有很重要的意義。堅持這種觀點的統(tǒng)計學(xué)派也就被稱為頻率學(xué)派。

12/11/2022604.經(jīng)驗概率12/10/202215比如：法國統(tǒng)計學(xué)家蒲豐（Buffon）把銅板拋了4040次，正面的次數(shù)是2048，比例是0.5069。1900年，英國統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜把硬幣拋了24000次，正面的次數(shù)是12012，比例是0.5005南非數(shù)學(xué)家柯屈瑞在監(jiān)獄時，把硬幣拋了10000次，正面的次數(shù)是5067，比例是0.5067。再如：保險公司會利用概率進(jìn)行人壽保險經(jīng)營，比如研究表明20－24歲的男性中明年死亡的概率是0.0015，同齡的女性是0.0005，保險公司對男性的保費就多收一些。12/11/202261比如：12/10/2022162.加法規(guī)則

如果事件A和事件B互斥，那么

如果A和B是任何事件(不一定互斥)，加法規(guī)則更普通地表示為如下形式

第二節(jié)概率的數(shù)學(xué)性質(zhì)1.非負(fù)性特別對必然事件和不可能事件有12/11/2022622.加法規(guī)則第二節(jié)概率的數(shù)學(xué)性質(zhì)1.非負(fù)性特別對必然事件1[例]從一副普通撲克牌中抽一張牌，求抽到一張紅桃或者方塊的概率。

[例]在一副52張撲克牌中，求單獨抽取一次抽到一張紅桃或愛司的概率。12/11/202263[例]從一副普通撲克牌中抽一張牌，求抽到一張紅12/加法規(guī)則可推廣到對兩個以上的事件，若事件A，B，C…K都互斥，那么有

P(A或B或C…或K)＝P(A)+P(B)+P(C)…+P(K)

[例]根據(jù)上海市職業(yè)代際流動的統(tǒng)計，向下流動的概率是0.07，靜止不動的概率是0.6，求向上流動的概率是多少？[例]為了研究父代文化程度對子代文化程度的影響，某大學(xué)統(tǒng)計出學(xué)生中父親具有大學(xué)文化程度的占30％，母親具有大學(xué)文化程度的占20％，而雙方都具有文化程度的占有10％，問從學(xué)生中任抽一名，父代至少有一名具有大學(xué)文化程度的概率是多少？12/11/202264加法規(guī)則可推廣到對兩個以上的事件，若事件A，B3.乘法規(guī)則

式中符號和代表條件概率。應(yīng)理解為，“在B已經(jīng)發(fā)生條件下A發(fā)生的概率”。條件概率的意思是，A發(fā)生的概率可能與B是否發(fā)生有關(guān)系。換言之，B已經(jīng)發(fā)生時A發(fā)生的概率可能有別于B沒有發(fā)生時A發(fā)生的概率。

理解統(tǒng)計獨立的概念，對于靈活運用概率的乘法規(guī)則很重要?，F(xiàn)在用條件概率來加以表達(dá)，統(tǒng)計獨立是指若A和B在統(tǒng)計上相互獨立(無關(guān))，這時乘法規(guī)則可以簡化為12/11/2022653.乘法規(guī)則12/10/202220[例]假定有下列3000個社區(qū)的數(shù)據(jù)，如果隨機地從這個總體中抽取一個社區(qū)，得到一個中等的而且犯罪率低的社區(qū)的概率是多少?

[例]假定數(shù)據(jù)變動如下，隨機地從這個總體中抽取一個社區(qū)，得到一個中等的而且犯罪率低的社區(qū)的概率又是多少?屬性大中小總和高犯罪率6003001001000低犯罪率6009005002000總和120012006003000屬性大中小總和高犯罪率1003006001000低犯罪率5009006002000總和60012001200300012/11/202266[例]假定有下列3000個社區(qū)的數(shù)據(jù)，如果隨[例]根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，男嬰出生的概率是22/43，女嬰出生的概率是21/43，某單位有兩名孕婦，問兩名孕婦都生男嬰的概率是多少？都生女嬰的概率是多少？其中一男一女的概率是多少？[例]某居民樓共20戶，其中核心家庭為2戶，問訪問兩戶都是核心家庭的概率是多少？問訪問第二戶才是核心家庭的概率是多少？12/11/202267[例]根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，男嬰出生的概率是12/10/20[例]為了研究父代文化程度對子代文化程度的影響，某大學(xué)統(tǒng)計出學(xué)生中父親具有大學(xué)文化程度的占30％，母親具有大學(xué)文化程度的占20％，而雙方都具有文化程度的占有10％，問從學(xué)生中任抽一名，父代至少有一名具有大學(xué)文化程度的概率是多少？12/11/202268[例]為了研究父代文化程度對子代文12/10/2在抽樣方法中還經(jīng)常涉及到回置抽樣和不回置抽樣。如前所

述，所謂回置抽樣，就是抽取的單位登記后又被放回總體中去，然

后再進(jìn)行下一次抽取。使用回置抽樣法，先后兩次抽取是彼此獨立

的。因為每一次抽取后抽取到的單位都得返還，總體保持不變，前

一次的結(jié)果不可能影響到后一次。所謂不回置抽樣，就是不再把抽

取到的單位退還總體。這樣先后兩次抽取就不再獨立了，必須使用

條件概率的概念。用不回置法從一幅普通撲克牌抽取兩次，計算得到兩張愛司的概率。用回置法從一幅普通撲克牌抽取兩次，計算得到兩張愛司的概率。12/11/202269在抽樣方法中還經(jīng)常涉及到回置抽樣和不回置抽樣4.排列和樣本點的計數(shù)

要正確解決概率問題，往往光考慮乘法規(guī)則還不夠，還要同時

考慮使用加法規(guī)則。一般最簡單的做法是：首先確定一種符合要求

的排列方式并計算它們發(fā)生的概率，然后再考慮還有沒有其他同樣

符合要求的排列方式。如果存在著其他實現(xiàn)方式，并且都具有相同

的概率，就可以簡單地把排列方式數(shù)與以某一給定的排列方式計算

的概率相乘。注意，后一步相當(dāng)于使用了加法規(guī)則。所有N個元素都不相同的情況下，排列方式數(shù)為N個元素中，若其中第一組中有r1個不能區(qū)分的元素，第2組中有r2個不能區(qū)分的元素，…，第k組中有rk個不能區(qū)分的元素，且各組彼此是可以區(qū)分的，則總的排列數(shù)為12/11/2022704.排列和樣本點的計數(shù)

要正確解決概率問[例]從一幅洗得很好的撲克牌中做了3次抽取，假定使用回置法，求至少得到1張A和一張K的概率是多少?[解]按照題意，要在不同樣本空間中考慮三種復(fù)合事件：抽到1張A和1張K，另l張非A非K，用符號(AKO)表示(其中“O”表示其他)；抽到1張A和2張K，用符號(4KK)表示；抽到2張A和1張K，用符號（AAK)表示。因為在不同樣本空間中基本事件實現(xiàn)的概率不同，必須對它們加以區(qū)別。

次序為AKO的樣本點實現(xiàn)的概率是次序為AKK的樣本點實現(xiàn)的概率是次序為AAK的樣本點實現(xiàn)的概率是

再考慮每個復(fù)合事件各含有多少種可能的排列方式

(AKK)含有3?。?!＝3種排列方式(AAK)含有3！／2!＝3種排列方式（AKO)含有3?。?種排列方式所以，在三次抽取中，至少得到1張A和1張K的概率是12/11/202271[例]從一幅洗得很好的撲克牌中做了3次抽[例]假如對1000個大學(xué)生進(jìn)行歌曲欣賞調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中有500個學(xué)生喜歡民族歌曲，400個學(xué)生喜歡流行歌曲，而這些學(xué)生中有100人屬于既喜歡民族歌曲又喜歡流行歌曲的，剩下來的學(xué)生兩種歌曲都不喜歡。如果我們隨機地從該總體中抽取一個學(xué)生，并設(shè)事件A為該學(xué)生喜歡民族歌曲，事件B為該學(xué)生喜歡流行歌曲。①用數(shù)字證明P(A且B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)②得到一個喜歡兩種風(fēng)格歌曲之一的學(xué)生的概率是多少？③隨機地選取一個由3個學(xué)生組成的樣本，要求這三個學(xué)生全都有相同的欣賞方式，得到這種樣本的概率是多少？12/11/202272[例]假如對1000個大學(xué)生進(jìn)行歌曲欣賞調(diào)5.運用概率方法進(jìn)行統(tǒng)計推斷的前提隨機抽樣樣本容量相對于總體來說，是較小的總體中個體的組合具有被同等抽中的概率注意獨立性問題12/11/2022735.運用概率方法進(jìn)行統(tǒng)計推斷的前提隨機抽樣樣本容量相對于簡單隨機抽樣要求每一個個體擁有相同的被選入樣本的機會。嚴(yán)格來講，由于我們實際上總是做不回置抽樣，因此獨立性的假定，是難以完全滿足的。只有在樣本非常大，可以忽略。一個隨機樣本具有以下的性質(zhì)：不僅要給每一個個體以相等的被抽中的機會，而且要給每一種個體的組合以相等的被抽中的機會。在要概括社區(qū)或其他空間上限定區(qū)域的單位的情況時，也必須注意到缺乏獨立性的問題。12/11/20227412/10/202229

第三節(jié)概率分布、期望值與變異數(shù)隨機事件及其概率回答的是隨機現(xiàn)象某一局部結(jié)果，例如對給定的復(fù)合事件求先驗概率。而概率分布則要在滿足完備性(窮舉)和互不相容性(互斥)的前提下，回答隨機現(xiàn)象一共會出現(xiàn)多少種結(jié)果，以及每種結(jié)果所伴隨的概率是多少。

應(yīng)該指出，在統(tǒng)計中，概率分布是就隨機現(xiàn)象呈現(xiàn)的宏觀結(jié)果而言的。所謂宏觀結(jié)果，是指可以在宏觀層次加以識別的而與特定排列次序無關(guān)的樣本空間的子集。12/11/202275第三節(jié)概率分布、期望值與變異數(shù)X23456789101112合計P(X)

例如擲兩顆骰子的試驗，點數(shù)就是隨機現(xiàn)象，它一共有11種宏觀結(jié)果。我們用古典法對每種宏觀結(jié)果計算P，便得到了如下表所示的概率分布。

頻率分布與概率分布的區(qū)別經(jīng)驗分布：頻率分布是經(jīng)資料整理而來;頻率分布隨樣本不同而不同;頻率分布有對應(yīng)的頻數(shù)分布。理論分布：概率分布是先驗的；概率分布是唯一的；概率分布無頻率分布所對應(yīng)的頻數(shù)分布。12/11/202276X23456789101112合計P(X)1.離散型隨機變量的概率分布

離散型隨機變量的取值是可數(shù)的，如果對X的每個可能取值xi計算其實現(xiàn)的概率Pi，我們便得到了離散型隨機變量的概率分布，即離散型隨機變量的概率分布也可以用表格和圖形兩種形式來表示。由于離散型隨機變量的特點，表示離散型隨機變量概率分布多為折線圖。12/11/2022771.離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量2.連續(xù)型隨機變量的概率分布

連續(xù)型隨機變量的取值充滿某一區(qū)間，因而取某一數(shù)值討論其概率是無意義的。為此，我們引進(jìn)概率密度的概念來表達(dá)連續(xù)型隨機變量的概率分布。

本書第三章第三節(jié)曾出現(xiàn)過頻率密度的概念，頻率密度等于頻率除以組距。以頻率密度為縱坐標(biāo)，可以作出頻率分布直方圖。類似地，以概率密度為縱坐標(biāo)，可以作出概率密度曲線。所不同的是，概率密度由于對組距求了Δx→0的極限，其圖形乃平滑曲線。12/11/2022782.連續(xù)型隨機變量的概率分布本書第三章第三

這樣一來，隨機變量X取值在區(qū)間{x1，x2}上的概率等于概率密度曲線下面x1與x2兩點之間面積，即

所以有概率密度的性質(zhì)因為概率不可能是負(fù)的，且

12/11/202279這樣一來，隨機變量X取值在區(qū)間{x1，x23.分布函數(shù)

為了從數(shù)學(xué)上能夠統(tǒng)一對隨機變量的概率進(jìn)行研究引入分布函數(shù)的概念，它被定義為

有了分布函數(shù)，就可以很容易得到隨機變量X取值在任意區(qū)間{x1，x2}上的概率，即

連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量

12/11/2022803.分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量12/10/2和

(離散變量)或(連續(xù)變量)的關(guān)系，就像向上累計頻率和頻率的關(guān)系一樣。不同之處在于，累計的是概率。但使用分布函數(shù)的好處是很明顯的，它不僅在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一了對離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量概率的研究，而且由于它計算概率的起點都固定為―∞，因而可以把概率值換算成表，以易于求得任何區(qū)間的概率，從而達(dá)到計算快捷和應(yīng)用廣泛之目的。[例]求兩顆骰子點數(shù)的分布函數(shù)。

X23456789101112合計P(X)F(X)——12/11/202281和4.數(shù)學(xué)期望

在前面統(tǒng)計分組的討論中，我們在得到頻數(shù)(或頻率)分布后，為了對變量有系統(tǒng)概括的認(rèn)識，分別研究了集中趨勢和離中趨勢。而對集中趨勢和離中趨勢量度，我們分別得到了平均指標(biāo)和變異指標(biāo)，其中最有代表性的是算術(shù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。很顯然，現(xiàn)在當(dāng)我們面對隨機變量的理論分布時，也要對隨機變量的集中趨勢和離中趨勢作概括性的描述，這就引出數(shù)學(xué)期望和變異數(shù)這兩個概念。所謂數(shù)學(xué)期望，是反映隨機變量X取值的集中趨勢的理論均值(算術(shù)平均)，記作E(X)。離散型隨機變量

連續(xù)型隨機變量12/11/2022824.數(shù)學(xué)期望離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量12/10/2例誰的技術(shù)比較好?乙射手甲射手解故甲射手的技術(shù)比較好12/11/202283例誰的技術(shù)比較好?乙射手甲射手解故甲射手的技術(shù)比較好12

[例]一家保險公司在投保的50萬元人壽保險的保單中，估計每1000