第一節(jié)數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)實用課件

第一節(jié)數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)第二節(jié)冪級數(shù)第三節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開12/11/20221第一節(jié)數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)12/11/20221一、數(shù)項級數(shù)及其收斂性二、數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)三、數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件第六章無窮級數(shù)第一節(jié)數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)12/11/20222一、數(shù)項級數(shù)及其收斂性二、數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)三、數(shù)項級數(shù)收斂由于式中的每一項都是常數(shù)，

定義1設(shè)給定一個數(shù)列

u1,u2,…,un,…，則表達式u1+u2+···+un+···稱為無窮級數(shù).其中u1,u2,·

·

·叫做該級數(shù)的項，un稱為一般項或通項.所以又叫數(shù)項級數(shù)，簡稱級數(shù)，一、數(shù)項級數(shù)及其收斂性稱u1+u2+···+un+···=為部分和數(shù)列，記作Sn.12/11/20223由于式中的每一項都即

級數(shù)的和.

S稱為

這時也稱該級數(shù)收斂于

S.若部分和數(shù)列的極限不存在，發(fā)散.定義2若級數(shù)的部分和數(shù)列的極限存在，12/11/20224即級數(shù)的和.S稱為這時也稱該級數(shù)收斂于S.若部分例2試討論等比級數(shù)

a+ar+ar2+···+arn-1+···(a

0)的收斂性.當(dāng)r1時，所給級數(shù)的部分和為根據(jù)等比數(shù)列前

n

項的求和公式可知，解12/11/20225例2試討論等比級數(shù)a+ar+ar2+·由定義2

知，該等比級數(shù)收斂，即12/11/20226由定義2知，該等比級數(shù)收斂，即12/11/20226所以這時該等比級數(shù)發(fā)散.當(dāng)r=1時，因此該等比級數(shù)發(fā)散.12/11/20227所以這時該等比級數(shù)發(fā)散.當(dāng)r=1時，因此該等比級數(shù)發(fā)部分和數(shù)列極限不存在，故該等比級數(shù)發(fā)散.

當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)，≥12/11/20228部分和數(shù)列極限不存在，故該等比級數(shù)發(fā)散.當(dāng)n為奇數(shù)，根據(jù)等比數(shù)列前n項的求和公式可知，例6試討論級數(shù)這個函數(shù)S(x)就稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).例3試求函數(shù)根據(jù)等比數(shù)列前n項的求和公式可知，而級數(shù)⑥是絕對收斂的，所以根據(jù)冪級數(shù)可逐項求導(dǎo)的法則，但在收斂區(qū)間端例5試證明級數(shù)注意到麥克勞林公式②與麥克勞林級數(shù)當(dāng)r1時，所給級數(shù)的部分和為冪級數(shù)展開式是唯一的.則和函數(shù)S(x)在（R,R)可積，記作R,R=例6試討論級數(shù)三、數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件們仿照數(shù)項級數(shù)的情形，將函數(shù)項級數(shù)①的前n項和記為Sn(x)，且稱為部分和函數(shù)，解令x1=y，則x=y+1，試證明其發(fā)散.由此知

f(x)

為增函數(shù).例3級數(shù)稱為調(diào)和級數(shù)，證≥≥≥12/11/20229根據(jù)等比數(shù)列前n項的求和公式可知，試證明其發(fā)散.由此知≥≥≥≥≥12/11/202210≥≥≥≥≥12/11/202210相加得≥12/11/202211相加得≥12/11/202211解

注意到

因此，

例4求級數(shù)的和.12/11/202212解注意到因此，例4求級數(shù)的和.12

所以該級數(shù)的和為即12/11/202213所以該級數(shù)的和為即12/11/202213不影響級數(shù)的收斂性.1.在級數(shù)的前面加上或去掉有限項，但一般將會改變收斂級數(shù)的和.

2.

用一個非零的常數(shù)

c二、數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)12/11/202214

所得級數(shù)收斂且其和等于兩個級數(shù)和的相加.3.兩個收斂級數(shù)的對應(yīng)項相加，即12/11/202215

因此不能直接利用公式求收斂半徑R.當(dāng)r1時，所給級數(shù)的部分和為收斂半徑R=1，則在(R,也表示了函數(shù)的最后一個式子稱為二項展開式，①式稱為泰勒公式.的展開式由本章第四節(jié)例1可知那么，級數(shù)③收斂于函數(shù)f(x)的條件為因此不能直接利用公式求收斂半徑R.點處的收斂性可能改變.收斂半徑R=1，因為冪級數(shù)收斂.1<x≤1.例2試討論等比級數(shù)解因為所給級數(shù)的部分和函數(shù)這就是級數(shù)收斂的必要條件.由此知f(x)為增函數(shù).二、冪級數(shù)及其收斂性這是能借助級數(shù)作近似計算的基本依據(jù).這是因為所產(chǎn)生的誤差.12/11/202216因此不能直接利用公式求收斂半徑R.就有于是因此這時必有這就是級數(shù)收斂的必要條件.三、數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件12/11/202217就有于是因此這時必有這就是級數(shù)收斂的必要條件.三、數(shù)項級數(shù)事實上，定理則12/11/202218事實上，定理則12/11/202218例

5

試證明級數(shù)證12/11/202219例5試證明級數(shù)證12/11/202219例6

試討論級數(shù)解

注意到級數(shù)所以級數(shù)發(fā)散.12/11/202220例6試討論級數(shù)解注意到級數(shù)所以級數(shù)發(fā)散一、函數(shù)項級數(shù)二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算第二節(jié)冪級數(shù)第六章無窮級數(shù)12/11/202221一、函數(shù)項級數(shù)二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算第二則稱點x0為函數(shù)項級數(shù)①的一個收斂點.稱為函數(shù)項級數(shù)，①在函數(shù)項級數(shù)①中，若令x取定義域中某一確定值x0

，則得到一個數(shù)項級數(shù)若上述數(shù)項級數(shù)收斂，反之，若上述數(shù)項級數(shù)發(fā)散，則稱點x0為函數(shù)項級數(shù)①的發(fā)散點.一、函數(shù)項級數(shù)12/11/202222

上述級數(shù)的和S也隨之變動，稱為函數(shù)項級數(shù)的收斂域.收斂點的全體構(gòu)成的集合，若x0是收斂域內(nèi)的一個值，因此必有一個和S(x0)與之對應(yīng)，即當(dāng)x0在收斂域內(nèi)變動時，就得到一個定義在收斂域上的函數(shù)S(x)，即12/11/202223

如果我們仿照數(shù)項級數(shù)的情形，將函數(shù)項級數(shù)①的前n項和記為Sn(x)，且稱為部分和函數(shù)，這個函數(shù)S(x)就稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).即Sn(x)那么在函數(shù)項級數(shù)的收斂域內(nèi)有則在收斂域內(nèi)同樣有12/11/202224

解因為所給級數(shù)的部分和函數(shù)所以，它在區(qū)間(-1,1)內(nèi)收斂，即收斂域為(-1,1).且所給級數(shù)的和函數(shù)為例

1試討論≥12/11/202225解因為所給級數(shù)的部分和函數(shù)所以，它在區(qū)間(-1,1一般形式為②冪級數(shù)，冪級數(shù)更一般的形式為它顯然可以通過變量代換y=x-x0方法化為式②.二、冪級數(shù)及其收斂性12/11/202226一般形式為②冪級數(shù)，冪級數(shù)更一般的形式為它顯然可以通過變量代則稱冪級數(shù)為不缺項的，否則稱為缺項的冪級數(shù).例如冪級數(shù)缺x的奇次冪，叫缺項的冪級數(shù)，又如是不缺項的冪級數(shù).12/11/202227

定理如果該冪級數(shù)收斂;該冪級數(shù)發(fā)散.記作

R,R=.即12/11/202228定理如果該冪級數(shù)收斂;該冪級數(shù)發(fā)散.記作R,R利用麥克勞林公式將函數(shù)f(x)展開成冪級數(shù)當(dāng)r1時，所給級數(shù)的部分和為例6試討論級數(shù)收斂半徑R=1，例3試求函數(shù)故收斂域為冪級數(shù)展開式是唯一的.第三節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開例5試證明級數(shù)而級數(shù)⑥是絕對收斂的，則和函數(shù)S(x)在（R,R)可積，那么就得到一個數(shù)項級數(shù)，上述級數(shù)的和S也隨之也表示了函數(shù)的解因為所給級數(shù)的部分和函數(shù)顯然，此時所給冪級數(shù)各項的絕對值越來越大，例2試討論等比級數(shù)因為用一個非零的常數(shù)c這就是級數(shù)收斂的必要條件.u1+u2+···+un+···因為它不一定是正項級數(shù)，證若將x看成是一個確定的值，那么就得到一個數(shù)項級數(shù)，為此，我們可對冪級數(shù)的各項取絕對值，得這是一個正項級數(shù).運用比值審斂法.因為12/11/202229利用麥克勞林公式將函數(shù)f(x)展開成冪級數(shù)也就是說顯然，此時所給冪級數(shù)各項的絕對值越來越大，一般項不趨近于零.由級數(shù)收斂的必要條件可知該冪級數(shù)發(fā)散.因此它必然收斂.12/11/202230也就是說顯然，此時所給冪級數(shù)各項的絕對值越來越大，一般項不趨可運用上述定理求收斂半徑例2試求冪級數(shù)的收斂區(qū)間.解

所給的冪級數(shù)為不缺項的，它是發(fā)散的.此為調(diào)和級數(shù)，12/11/202231

12/11/20223212/11/202232

例3求冪級解所給冪級數(shù)缺少x的奇次冪項，對此正項級數(shù)利用比值審斂法因此不能直接利用公式求收斂半徑R.是一個缺項冪級數(shù)，12/11/202233例3求冪級解所給冪級數(shù)缺少x的奇次冪項，所求冪級數(shù)絕對收斂.12/11/202234

冪級數(shù)收斂.

例4

解

運用正項級數(shù)的比值審斂法.12/11/202235

區(qū)間端點處:當(dāng)x=0時，12/11/202236區(qū)間端點處:當(dāng)x=0時，12/11/202236它們的和函數(shù)分別為三、冪級數(shù)的運算12/11/202237它們的和函數(shù)分別為三、冪級數(shù)的運算12/11/202231.加法和減法12/11/2022381.加法和減法12/11/2022382.乘法此時所得冪級數(shù)的收斂半徑是

R.12/11/2022392.乘法此時所得冪級數(shù)的收斂半徑是R.12/11/20用一個非零的常數(shù)c例5試證明級數(shù)所求冪級一、麥克勞林(Maclaurin)公式u1+u2+···+un+···而級數(shù)⑥是絕對收斂的，u1+u2+···+un+···所以根據(jù)冪級數(shù)可逐項求導(dǎo)的法則，例6試討論級數(shù)例3試求函數(shù)則稱點x0為函數(shù)項級數(shù)①的一個收斂點.其端點的收斂所以這時該等比級數(shù)發(fā)散.解令x1=y，則x=y+1，那么在函數(shù)項級數(shù)的收斂域內(nèi)有收斂半徑R=1，1<x≤1.這個函數(shù)S(x)就稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).但在收斂區(qū)間端點處的收斂性可能改變.3.逐項求導(dǎo)數(shù)若冪級數(shù)則在(R,R)內(nèi)和函數(shù)

S(x)可導(dǎo)，且有所得冪級數(shù)的收斂半徑仍為

R，12/11/202240用一個非零的常數(shù)c但在收斂區(qū)間端點處的收斂性可能改變.則和函數(shù)

S(x)在（R,R)可積，并且有:所得冪級數(shù)的收斂半徑仍為

R，和函數(shù)

S(x)4.逐項積分12/11/202241但在解冪級數(shù)例

5討論收斂半徑R=1，逐項求積分后得12/11/202242解冪級數(shù)例5討論收斂半徑R=1，逐項求積分后得它的收斂半徑仍為R=1.當(dāng)x=1時，

冪級數(shù)為調(diào)和級數(shù)，它是發(fā)散的.當(dāng)x=-1時，冪級數(shù)為交錯級數(shù)，故原冪級數(shù)的收斂區(qū)間為[1,1).12/11/202243它的收斂半徑仍為R=1.當(dāng)x=1時，冪級數(shù)為例6

解所給冪級數(shù)的收斂半徑R=1，收斂區(qū)間為(1,1)，而在收斂區(qū)間(1,1)內(nèi)，所以12/11/202244例6解所給冪級數(shù)的收斂半徑R=1一、麥克勞林(Maclaurin)公式二、直接展開法三、間接展開法第三節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開第六章無窮級數(shù)12/11/202245一、麥克勞林(Maclaurin)公式二、直接展開法泰勒

(Taylor)公式

如果函數(shù)

f(x)在x=x0有直到

(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則在這個領(lǐng)域內(nèi)有如下公式:一、麥克勞林(Maclaurin)公式①12/11/202246泰勒(Taylor)公式如果函數(shù)f(x)在

其中稱為拉格朗日型余項.①式稱為泰勒公式

.就得到②12/11/202247其中稱為拉格朗日型余項.①式稱為泰勒公式.就得到

②式稱為麥克勞林公式.冪級數(shù)我們稱之為麥克勞林級數(shù).那么它是否以函數(shù)f(x)為和函數(shù)呢?③12/11/202248②式稱為麥克勞林公式.冪級數(shù)我們稱之為麥克勞林級數(shù).即那么，級數(shù)③收斂于函數(shù)f(x)的條件為若令麥克勞林級數(shù)③的前n+1項和為12/11/202249即那么，級數(shù)③收斂于函數(shù)f(x)的條件為若令麥克注意到麥克勞林公式②與麥克勞林級數(shù)③的關(guān)系，可知于是，當(dāng)時，有反之，若必有12/11/202250注意到麥克勞林公式②與麥克勞林級數(shù)可這表明，麥克勞林級數(shù)③以f(x)為和函數(shù)的充要條件，這樣，我們就得到了函數(shù)f(x)的冪級數(shù)展開式：②④12/11/202251這表明，麥克勞林級數(shù)③以f(x)為和函數(shù)的充要條件也表示了函數(shù)的冪級數(shù)展開式是唯一的.它就是函數(shù)f(x)的冪級數(shù)表達式.冪級數(shù):稱為泰勒級數(shù).12/11/202252

利用麥克勞林公式將函數(shù)f(x)展開成冪級數(shù)的方法，稱為直接展開法.解例1試將函數(shù)f(x)=ex展開成x的冪級數(shù).可以得到二、直接展開法12/11/202253利用麥克勞林公式將函數(shù)f(x)展開成冪因此我們可以得到冪級數(shù)顯然，這個冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(,+).因為⑥⑥12/11/202254因此我們可以得到冪級數(shù)顯然，這個冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(,注意到，對任一確定的x值，而級數(shù)⑥是絕對收斂的，因此其一般項當(dāng)n時，≤所以，當(dāng)n時,12/11/202255注意到，對任一確定的x值，而級數(shù)⑥是絕對收斂的，由此可知因此有⑥,e)(

xxf=確實收斂于這表明級數(shù)12/11/202256由此可知因此有⑥,e)(xxf=確實收斂于這表明級數(shù)12解于是可以得到冪級數(shù)例2試將12/11/202257解于是可以得到冪級數(shù)例2試將12/11/2022且它的收斂區(qū)間為因為所給函數(shù)的麥克勞林公式的余項為所以可以推知12/11/202258且它的收斂區(qū)間為因為所給函數(shù)的麥克勞林公式的余項為所以可以因此得到≤12/11/202259因此得到≤12/11/202259解而所以根據(jù)冪級數(shù)可逐項求導(dǎo)的法則，可得例3試求函數(shù)三、間接展開法12/11/202260解而所以根據(jù)冪級數(shù)可逐項求導(dǎo)的法則，可得例3試求解

注意到

而函數(shù)的展開式由本章第四節(jié)例1可知例4將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).將上式兩邊同時積分12/11/202261解注意到而函數(shù)的展開式由本章第四節(jié)例1可知例因為冪級數(shù)逐項積分后收斂半徑不變，所以，上式右端級數(shù)的收斂半徑仍為R=1;故收斂域為

1<x

≤1.當(dāng)x=1時，該級數(shù)收斂.而當(dāng)x=1時該級數(shù)發(fā)散，12/11/202262因為冪級數(shù)逐項積分后收斂半徑不變，解

因為例6試將函數(shù)x的冪級數(shù).展開成12/11/202263解因為例6試將函數(shù)x的冪級數(shù).展開成所以且12/11/202264所以且12/11/202264根據(jù)冪級數(shù)和的運算法則，其收斂半徑應(yīng)取較小的一個，故R=1，因此所得冪級數(shù)的收斂區(qū)間為1<x<1.12/11/202265根據(jù)冪級數(shù)和的運算法則，其收斂半徑應(yīng)取較小的解令x1=y，則x=y+1，代入得例

7將函數(shù)收斂區(qū)間為(0,2).所以因12/11/202266解令x1=y，則x=y例8試將函數(shù)解則原題就轉(zhuǎn)化成將函數(shù)

于是有12/11/202267例8試將函數(shù)解則原題就轉(zhuǎn)化成將函數(shù)于是有12/12/11/20226812/11/202268最后，我們將幾個常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式列在下面，以便于讀者查用.≤12/11/202269最后，我們將幾個常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式列在下面，以便于讀12/11/20227012/11/202270其端點的收斂性與m有關(guān).最后一個式子稱為二項展開式，收斂區(qū)間為[1,1],例如當(dāng)m>0時，當(dāng)

1<m<0時，收斂區(qū)間為(1,1].12/11/202271

第一節(jié)數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)第二節(jié)冪級數(shù)第三節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開12/11/202272第一節(jié)數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)12/11/20221一、數(shù)項級數(shù)及其收斂性二、數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)三、數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件第六章無窮級數(shù)第一節(jié)數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)12/11/202273一、數(shù)項級數(shù)及其收斂性二、數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)三、數(shù)項級數(shù)收斂由于式中的每一項都是常數(shù)，

定義1設(shè)給定一個數(shù)列

u1,u2,…,un,…，則表達式u1+u2+···+un+···稱為無窮級數(shù).其中u1,u2,·

·

·叫做該級數(shù)的項，un稱為一般項或通項.所以又叫數(shù)項級數(shù)，簡稱級數(shù)，一、數(shù)項級數(shù)及其收斂性稱u1+u2+···+un+···=為部分和數(shù)列，記作Sn.12/11/202274由于式中的每一項都即

級數(shù)的和.

S稱為

這時也稱該級數(shù)收斂于

S.若部分和數(shù)列的極限不存在，發(fā)散.定義2若級數(shù)的部分和數(shù)列的極限存在，12/11/202275即級數(shù)的和.S稱為這時也稱該級數(shù)收斂于S.若部分例2試討論等比級數(shù)

a+ar+ar2+···+arn-1+···(a

0)的收斂性.當(dāng)r1時，所給級數(shù)的部分和為根據(jù)等比數(shù)列前

n

項的求和公式可知，解12/11/202276例2試討論等比級數(shù)a+ar+ar2+·由定義2

知，該等比級數(shù)收斂，即12/11/202277由定義2知，該等比級數(shù)收斂，即12/11/20226所以這時該等比級數(shù)發(fā)散.當(dāng)r=1時，因此該等比級數(shù)發(fā)散.12/11/202278所以這時該等比級數(shù)發(fā)散.當(dāng)r=1時，因此該等比級數(shù)發(fā)部分和數(shù)列極限不存在，故該等比級數(shù)發(fā)散.

當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)，≥12/11/202279部分和數(shù)列極限不存在，故該等比級數(shù)發(fā)散.當(dāng)n為奇數(shù)，根據(jù)等比數(shù)列前n項的求和公式可知，例6試討論級數(shù)這個函數(shù)S(x)就稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).例3試求函數(shù)根據(jù)等比數(shù)列前n項的求和公式可知，而級數(shù)⑥是絕對收斂的，所以根據(jù)冪級數(shù)可逐項求導(dǎo)的法則，但在收斂區(qū)間端例5試證明級數(shù)注意到麥克勞林公式②與麥克勞林級數(shù)當(dāng)r1時，所給級數(shù)的部分和為冪級數(shù)展開式是唯一的.則和函數(shù)S(x)在（R,R)可積，記作R,R=例6試討論級數(shù)三、數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件們仿照數(shù)項級數(shù)的情形，將函數(shù)項級數(shù)①的前n項和記為Sn(x)，且稱為部分和函數(shù)，解令x1=y，則x=y+1，試證明其發(fā)散.由此知

f(x)

為增函數(shù).例3級數(shù)稱為調(diào)和級數(shù)，證≥≥≥12/11/202280根據(jù)等比數(shù)列前n項的求和公式可知，試證明其發(fā)散.由此知≥≥≥≥≥12/11/202281≥≥≥≥≥12/11/202210相加得≥12/11/202282相加得≥12/11/202211解

注意到

因此，

例4求級數(shù)的和.12/11/202283解注意到因此，例4求級數(shù)的和.12

所以該級數(shù)的和為即12/11/202284所以該級數(shù)的和為即12/11/202213不影響級數(shù)的收斂性.1.在級數(shù)的前面加上或去掉有限項，但一般將會改變收斂級數(shù)的和.

2.

用一個非零的常數(shù)

c二、數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)12/11/202285

所得級數(shù)收斂且其和等于兩個級數(shù)和的相加.3.兩個收斂級數(shù)的對應(yīng)項相加，即12/11/202286

因此不能直接利用公式求收斂半徑R.當(dāng)r1時，所給級數(shù)的部分和為收斂半徑R=1，則在(R,也表示了函數(shù)的最后一個式子稱為二項展開式，①式稱為泰勒公式.的展開式由本章第四節(jié)例1可知那么，級數(shù)③收斂于函數(shù)f(x)的條件為因此不能直接利用公式求收斂半徑R.點處的收斂性可能改變.收斂半徑R=1，因為冪級數(shù)收斂.1<x≤1.例2試討論等比級數(shù)解因為所給級數(shù)的部分和函數(shù)這就是級數(shù)收斂的必要條件.由此知f(x)為增函數(shù).二、冪級數(shù)及其收斂性這是能借助級數(shù)作近似計算的基本依據(jù).這是因為所產(chǎn)生的誤差.12/11/202287因此不能直接利用公式求收斂半徑R.就有于是因此這時必有這就是級數(shù)收斂的必要條件.三、數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件12/11/202288就有于是因此這時必有這就是級數(shù)收斂的必要條件.三、數(shù)項級數(shù)事實上，定理則12/11/202289事實上，定理則12/11/202218例

5

試證明級數(shù)證12/11/202290例5試證明級數(shù)證12/11/202219例6

試討論級數(shù)解

注意到級數(shù)所以級數(shù)發(fā)散.12/11/202291例6試討論級數(shù)解注意到級數(shù)所以級數(shù)發(fā)散一、函數(shù)項級數(shù)二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算第二節(jié)冪級數(shù)第六章無窮級數(shù)12/11/202292一、函數(shù)項級數(shù)二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算第二則稱點x0為函數(shù)項級數(shù)①的一個收斂點.稱為函數(shù)項級數(shù)，①在函數(shù)項級數(shù)①中，若令x取定義域中某一確定值x0

，則得到一個數(shù)項級數(shù)若上述數(shù)項級數(shù)收斂，反之，若上述數(shù)項級數(shù)發(fā)散，則稱點x0為函數(shù)項級數(shù)①的發(fā)散點.一、函數(shù)項級數(shù)12/11/202293

上述級數(shù)的和S也隨之變動，稱為函數(shù)項級數(shù)的收斂域.收斂點的全體構(gòu)成的集合，若x0是收斂域內(nèi)的一個值，因此必有一個和S(x0)與之對應(yīng)，即當(dāng)x0在收斂域內(nèi)變動時，就得到一個定義在收斂域上的函數(shù)S(x)，即12/11/202294

如果我們仿照數(shù)項級數(shù)的情形，將函數(shù)項級數(shù)①的前n項和記為Sn(x)，且稱為部分和函數(shù)，這個函數(shù)S(x)就稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).即Sn(x)那么在函數(shù)項級數(shù)的收斂域內(nèi)有則在收斂域內(nèi)同樣有12/11/202295

解因為所給級數(shù)的部分和函數(shù)所以，它在區(qū)間(-1,1)內(nèi)收斂，即收斂域為(-1,1).且所給級數(shù)的和函數(shù)為例

1試討論≥12/11/202296解因為所給級數(shù)的部分和函數(shù)所以，它在區(qū)間(-1,1一般形式為②冪級數(shù)，冪級數(shù)更一般的形式為它顯然可以通過變量代換y=x-x0方法化為式②.二、冪級數(shù)及其收斂性12/11/202297一般形式為②冪級數(shù)，冪級數(shù)更一般的形式為它顯然可以通過變量代則稱冪級數(shù)為不缺項的，否則稱為缺項的冪級數(shù).例如冪級數(shù)缺x的奇次冪，叫缺項的冪級數(shù)，又如是不缺項的冪級數(shù).12/11/202298

定理如果該冪級數(shù)收斂;該冪級數(shù)發(fā)散.記作

R,R=.即12/11/202299定理如果該冪級數(shù)收斂;該冪級數(shù)發(fā)散.記作R,R利用麥克勞林公式將函數(shù)f(x)展開成冪級數(shù)當(dāng)r1時，所給級數(shù)的部分和為例6試討論級數(shù)收斂半徑R=1，例3試求函數(shù)故收斂域為冪級數(shù)展開式是唯一的.第三節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開例5試證明級數(shù)而級數(shù)⑥是絕對收斂的，則和函數(shù)S(x)在（R,R)可積，那么就得到一個數(shù)項級數(shù)，上述級數(shù)的和S也隨之也表示了函數(shù)的解因為所給級數(shù)的部分和函數(shù)顯然，此時所給冪級數(shù)各項的絕對值越來越大，例2試討論等比級數(shù)因為用一個非零的常數(shù)c這就是級數(shù)收斂的必要條件.u1+u2+···+un+···因為它不一定是正項級數(shù)，證若將x看成是一個確定的值，那么就得到一個數(shù)項級數(shù)，為此，我們可對冪級數(shù)的各項取絕對值，得這是一個正項級數(shù).運用比值審斂法.因為12/11/2022100利用麥克勞林公式將函數(shù)f(x)展開成冪級數(shù)也就是說顯然，此時所給冪級數(shù)各項的絕對值越來越大，一般項不趨近于零.由級數(shù)收斂的必要條件可知該冪級數(shù)發(fā)散.因此它必然收斂.12/11/2022101也就是說顯然，此時所給冪級數(shù)各項的絕對值越來越大，一般項不趨可運用上述定理求收斂半徑例2試求冪級數(shù)的收斂區(qū)間.解

所給的冪級數(shù)為不缺項的，它是發(fā)散的.此為調(diào)和級數(shù)，12/11/2022102

12/11/202210312/11/202232

例3求冪級解所給冪級數(shù)缺少x的奇次冪項，對此正項級數(shù)利用比值審斂法因此不能直接利用公式求收斂半徑R.是一個缺項冪級數(shù)，12/11/2022104例3求冪級解所給冪級數(shù)缺少x的奇次冪項，所求冪級數(shù)絕對收斂.12/11/2022105

冪級數(shù)收斂.

例4

解

運用正項級數(shù)的比值審斂法.12/11/2022106

區(qū)間端點處:當(dāng)x=0時，12/11/2022107區(qū)間端點處:當(dāng)x=0時，12/11/202236它們的和函數(shù)分別為三、冪級數(shù)的運算12/11/2022108它們的和函數(shù)分別為三、冪級數(shù)的運算12/11/202231.加法和減法12/11/20221091.加法和減法12/11/2022382.乘法此時所得冪級數(shù)的收斂半徑是

R.12/11/20221102.乘法此時所得冪級數(shù)的收斂半徑是R.12/11/20用一個非零的常數(shù)c例5試證明級數(shù)所求冪級一、麥克勞林(Maclaurin)公式u1+u2+···+un+···而級數(shù)⑥是絕對收斂的，u1+u2+···+un+···所以根據(jù)冪級數(shù)可逐項求導(dǎo)的法則，例6試討論級數(shù)例3試求函數(shù)則稱點x0為函數(shù)項級數(shù)①的一個收斂點.其端點的收斂所以這時該等比級數(shù)發(fā)散.解令x1=y，則x=y+1，那么在函數(shù)項級數(shù)的收斂域內(nèi)有收斂半徑R=1，1<x≤1.這個函數(shù)S(x)就稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).但在收斂區(qū)間端點處的收斂性可能改變.3.逐項求導(dǎo)數(shù)若冪級數(shù)則在(R,R)內(nèi)和函數(shù)

S(x)可導(dǎo)，且有所得冪級數(shù)的收斂半徑仍為

R，12/11/2022111用一個非零的常數(shù)c但在收斂區(qū)間端點處的收斂性可能改變.則和函數(shù)

S(x)在（R,R)可積，并且有:所得冪級數(shù)的收斂半徑仍為

R，和函數(shù)

S(x)4.逐項積分12/11/2022112但在解冪級數(shù)例

5討論收斂半徑R=1，逐項求積分后得12/11/2022113解冪級數(shù)例5討論收斂半徑R=1，逐項求積分后得它的收斂半徑仍為R=1.當(dāng)x=1時，

冪級數(shù)為調(diào)和級數(shù)，它是發(fā)散的.當(dāng)x=-1時，冪級數(shù)為交錯級數(shù)，故原冪級數(shù)的收斂區(qū)間為[1,1).12/11/2022114它的收斂半徑仍為R=1.當(dāng)x=1時，冪級數(shù)為例6

解所給冪級數(shù)的收斂半徑R=1，收斂區(qū)間為(1,1)，而在收斂區(qū)間(1,1)內(nèi)，所以12/11/2022115例6解所給冪級數(shù)的收斂半徑R=1一、麥克勞林(Maclaurin)公式二、直接展開法三、間接展開法第三節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開第六章無窮級數(shù)12/11/2022116一、麥克勞林(Maclaurin)公式二、直接展開法泰勒

(Taylor)公式

如果函數(shù)

f(x)在x=x0有直到

(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則在這個領(lǐng)域內(nèi)有如下公式:一、麥克勞林(Maclaurin)公式①12/11/2022117泰勒(Taylor)公式如果函數(shù)f(x)在

其中稱為拉格朗日型余項.①式稱為泰勒公式

.就得到②12/11/2022118其中稱為拉格朗日型余項.①式稱為泰勒公式.就得到

②式稱為麥克勞林公式.冪級數(shù)我們稱之為麥克勞林級數(shù).那么它是否以函數(shù)f(x)為和函數(shù)呢?③12/11/2022119②式稱為麥克勞林公式.冪級數(shù)我們稱之為麥克勞林級數(shù).即那么，級數(shù)③收斂于函數(shù)f(x)的條件為若令麥克勞林級數(shù)③的前n+1項和為12/11/2022120即那么，級數(shù)③收斂于函數(shù)f(x)的條件為若令麥克注意到麥克勞林公式②與麥克勞林級數(shù)③的關(guān)系，可知于是，當(dāng)時，有反之，若必有12/11/2022121注意到麥克勞林公式②與麥克勞林級數(shù)可這表明，麥克勞林級數(shù)③以f(x)為和函數(shù)的充要條件，這樣，我們就得到了函數(shù)f(x)的冪級數(shù)展開式：②④12/11/2022122這表明，麥克勞林級數(shù)③以f(x)為和函數(shù)的充要條件也表示了函數(shù)的冪級數(shù)展開式是唯一的.它就是函數(shù)f(x)的冪級數(shù)表達式.冪級數(shù):稱為泰勒級數(shù).12/11/2022123

利用麥克勞林公式將函數(shù)f(x)展開成冪級數(shù)的方法，稱為直接展開法.解例1試將函數(shù)