基本概念與抽樣分布課件

中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院第1章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念與抽樣分布應用統(tǒng)計中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院第1章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念與抽樣分布應數(shù)理統(tǒng)計的基本概念與抽樣分布

例:某鋼筋廠每天可以生產(chǎn)某型號鋼筋10000根，鋼筋廠每天需要對生產(chǎn)過程進行控制，對產(chǎn)品的質(zhì)量進行檢驗。如果把鋼筋的強度作為鋼筋質(zhì)量的重有指標，于是質(zhì)量管理人員需要做如下方面的工作第一，對生產(chǎn)出來的鋼筋的強度進行檢測，獲得必要的數(shù)據(jù)。第二，對通過抽樣獲取的部分數(shù)據(jù)進行整理、分析并推斷出這10000根鋼筋的質(zhì)量是否合乎要求。數(shù)理統(tǒng)計的基本概念與抽樣分布§1.2總體、個體、樣本

1.2.1總體與個體我們把所研究對象的全體稱為總體或母體。組成總體的每個單元稱為個體總體X可看作一個隨機變量,稱X的概率分布為總體分布，稱X的數(shù)字特征為總體的數(shù)字特征,對總體進行研究就是對總體的分布或?qū)傮w的數(shù)字特征進行研究.1.2.2樣本從總體中抽取的一部分個體稱為樣本或者子樣，其中所含個體的個數(shù)稱為樣本容量.

樣本具有二重性：隨機性和確定性§1.2總體、個體、樣本1.2.1總體與個體定義1.1

設總體X的樣本滿足⑴獨立性：每次觀測結(jié)果既不影響其它結(jié)果，也不受其它結(jié)果的影響；即相互獨立；⑵代表性：樣本中每一個個體都與總體X有相同分布。則稱此樣本為簡單隨機樣本。進行有放回抽樣就是簡單隨機樣本,無放回抽樣就不是簡單隨機樣本。但N很大，n相對較小時無放回抽樣得到的樣本可以近似看作簡單隨機樣本.

稱樣本的分布為樣本分布。如果為簡單隨機樣本，為總體X的分布函數(shù)，則樣本分布有比較簡單的形式。定義1.1設總體X的樣本滿足

它完全由總體X的分布函數(shù)確定基本概念與抽樣分布課件兩種形式例1.1設有一批產(chǎn)品，其次品率為p，如果記“”表示抽取一件產(chǎn)品是次品；“”表示抽取一件產(chǎn)品是正品；那么，產(chǎn)品的質(zhì)量可以用X的分布來衡量。X服從0-1分布，參數(shù)就是次品率p。如果為簡單隨機樣本，求樣本分布.

解：總體X的概率分布為

兩種形式基本概念與抽樣分布課件

例1.2設總體X服從參數(shù)為的正態(tài)分布，求樣本的分布密度。解：總體X的分布密度為所以的概率分布為

例1.2設總體X服從參數(shù)為的正態(tài)

統(tǒng)計量

統(tǒng)計量的定義定義1.2設為總體X的一個樣本，為的連續(xù)函數(shù)，且不含有任何未知參數(shù)，則稱T為一個統(tǒng)計量。注:1.統(tǒng)計量是完全由樣本確定的一個量，即樣本有一個觀測值時,統(tǒng)計量就有一個唯一確定的值;2.統(tǒng)計量是一個隨機變量，它將高維隨機變量問題轉(zhuǎn)化為一維隨機變量來處理,但不會損失所討論問題的信息量.統(tǒng)計量常見的統(tǒng)計量1.樣本均值2.樣本方差3.k階原點矩4.k階中心矩5.順序統(tǒng)計量6.樣本極差與中位數(shù)常見的統(tǒng)計量

例1.3設總體X為連續(xù)型的,求最大順序統(tǒng)計量與最小順序統(tǒng)計量的分布密度.

解:最大順序統(tǒng)計量的分布函數(shù)為

例1.3設總體X為連續(xù)型的,求最大順序統(tǒng)計量與最小順

最小順序統(tǒng)計量的分布函數(shù)為最小順序統(tǒng)計量的分布函數(shù)為

如果總體中服從均勻分布則如果總體中服從均勻分布則

其分布密度為其分布密度為充分統(tǒng)計量例：某廠要了解其產(chǎn)品的不合格率p，檢驗員檢查了10件產(chǎn)品，檢查結(jié)果是，除前二件是不合格品（記為）外，其它都是合格品（記為）。當廠長問及檢查結(jié)果時檢驗員可作如下兩種回答：

(1)10件中有兩件不合格；

(2)前兩件不合格。這兩種回答反映了檢驗員對樣本的兩種不同的加工方法。其所用的統(tǒng)計量分別為充分統(tǒng)計量顯然，第二種回答是不能令人滿意的，因為統(tǒng)計量不包含樣本中有關p的全部信息。而第一種回答是綜合了樣本中有關p的全部信息。因為樣本提供了兩種信息：

(1)10次檢驗中不合格品出現(xiàn)了幾次；

(2)不合格品出現(xiàn)在哪幾次試驗上?；靖拍钆c抽樣分布課件

第二種信息（試驗編號信息）對了解不合格品率p是沒有什么幫助的.

充分統(tǒng)計量就是能把含在樣本中有關總體或者參數(shù)的信息一點都不損失地提取出來。或者說充分統(tǒng)計量包含了有關總體或有關參數(shù)的全部信息.

考慮樣本的分布

第二種信息（試驗編號信息）對了解不合格品率p是由于

且是服從二項分布故基本概念與抽樣分布課件

它與無關基本概念與抽樣分布課件定義1.3設總體X的分布為一個含未知參數(shù)的分布族，是X的一個樣本。是一個統(tǒng)計量,對給定的t，樣本在的條件下的條件分布與參數(shù)無關，則稱統(tǒng)計量T是參數(shù)的充分統(tǒng)計量。定義1.3設總體X的分布為一個含未知參數(shù)的分布族

上例的一般情況是設是來自0-1分布的一個簡單隨機樣本，其中，則是參數(shù)的充分統(tǒng)計量。上例的一般情況是由定義可得定理1.1設是參數(shù)的充分統(tǒng)計量，是單值可逆函數(shù)，則也是參數(shù)的充分統(tǒng)計量。由定義可得當總體為連續(xù)型總體時，充分統(tǒng)計量要用條件分布密度來描述。奈曼（J.Neyman）和哈爾斯（P.R.Halmos）在20世紀40年代提出并嚴格證明了一個判別充分統(tǒng)計量的方法：因子分解定理。當總體為連續(xù)型總體時，充分統(tǒng)計量要用條件分布密度來描述。奈曼

定理1.2（因子分解定理）設樣本的聯(lián)合分布為一個含未知參數(shù)的分布族,則是一個充分統(tǒng)計量當且僅當存在這樣的兩個函數(shù)：

(1)與無關的非負函數(shù)；

(2)與有關，且僅與統(tǒng)計量T的值有關的非負函數(shù)使得

其中在離散總體的情況下表示樣本的分布列，在連續(xù)總體的情況下表示樣本的分布密度。定理1.2（因子分解定理）設樣本的聯(lián)合分布為一個含例設是來自分布,即它的分布密度為

的一個簡單隨機樣本，其中則分別是參數(shù)的充分統(tǒng)計量例設解:樣本的聯(lián)合分布密度為如果令由因子分解定理知是的充分統(tǒng)計量。解:樣本的例設總體X的分布密度為是X的一個簡單隨機樣本，試證明最小順序統(tǒng)計量的充分統(tǒng)計量。

例設總體X的分布密度為證:樣本的聯(lián)合分布密度為如果令由因子分解定理知是的充分統(tǒng)計量。證:樣本的§1.4抽樣分布我們稱統(tǒng)計量的分布為抽樣分布,不同的統(tǒng)計量其分布不一定相同.常見的分布類型有:

正態(tài)分布伽瑪分布卡方分布

t分布

F分布§1.4抽樣分布伽瑪分布定義1.4如果連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為其中

為函數(shù)，則稱X為服從參數(shù)是的伽瑪分布，記為伽瑪分布伽瑪分布的性質(zhì)(1)由此可得伽瑪分布的性質(zhì)(2)

如果，并且X和Y相互獨立，容易求得

這個性質(zhì)稱為可加性,即伽瑪分布具有可加性.(2)卡方分布用構(gòu)造性的方式定義是定義1.5設為相互獨立的隨機變量，且均服從，則它們的平方和

也是一個隨機變量，它所服從的分布稱為自由度為n的分布，記為

卡方分布它的密度函數(shù)為其密度函數(shù)與參數(shù)n有關，它的圖形也有一定差異．它的密度函數(shù)為卡方分布的性質(zhì)若，則即卡方分布是一種伽瑪分布，因此具有伽瑪分布的性質(zhì)（１）（２）

如果，并且X和Y相互獨立，有

卡方分布也具有可加性卡方分布的性質(zhì)例是來自參數(shù)為的指數(shù)分布Ｘ總體，試證明：例總體Ｘ的密度為當時，我們有密度為說明總體Ｘ的密度為假定子樣是簡單隨機子樣,則且它們之間相互獨立，故有假定子樣是簡單隨機子樣,則t分布

構(gòu)造性的方式定義定義1.6設，，且X與Y相互獨立，記

則Ｔ也是一個隨機變量，它所服從的分布稱為自由度為n的t分布，記為t分布它的密度函數(shù)為與參數(shù)n有關，不同的n其圖形也有差異．它的密度函數(shù)為性質(zhì)若則（１）當時，t分布是柯西分布，柯西分布不存在數(shù)學期望和方差．參數(shù)為2的t分布也不存在數(shù)學期望和方差．（２）時，性質(zhì)（３）可以證明這是標準正態(tài)分布的分布密度，即當n充分大時，T近似服從標準正態(tài)分布（３）可以證明Ｆ分布

構(gòu)造性的方式定義定義1.７設，，且X與Y相互獨立，記

則Ｆ也是一個隨機變量，它所服從的分布稱為自由度為(m,n)的F分布，記為Ｆ分布它的密度函數(shù)為它與m,n有關，其圖形也有一定差異．它的密度函數(shù)為容易得到若，則

容易得到例設試證明：證明：由t分布的構(gòu)造性定義知，存在相互獨立的變量Ｘ和Ｙ，使得于是，仍相互獨立，由Ｆ分布的定義知結(jié)論成立．例設試證明：

分位數(shù)：定義1.6設X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為，對，如果存在數(shù)滿足

則稱為此分布的分位數(shù)分位數(shù)的幾何意義可用圖形表示，它的值可查表得到，不同的分布有不同的分位數(shù)，有不同的表可查．分位數(shù)：常見的分位數(shù)有它們的值可以通過附表1、附表2、附表3、附表4查得常見的分位數(shù)有分位數(shù)具有性質(zhì)(1)(2)(3)當n足夠大時（一般n>45）有近似公式分位數(shù)具有性質(zhì)例:查表求下列分位數(shù)的值例:查表求下列分位數(shù)的值抽樣分布定理定理1.1設總體，為X的一個簡單隨機樣本，為樣本均值與樣本方差，則有：

(1)

(2)抽樣分布定理(3)相互獨立；

(4)基本概念與抽樣分布課件定理1.2設有兩個總體Ｘ與Ｙ，，從兩個總體Ｘ與Ｙ中分別獨立抽取容量為m，n的簡單樣本，記為樣本的樣本均值與方差，為樣本的樣本均值與方差，則（１）定理1.2設有兩個總體Ｘ與Ｙ，例1.8設總體，分別從X中抽取容量為10與15的兩個獨立樣本，求它們的均值之差的絕對值大于0.3的概率基本概念與抽樣分布課件例1.９設總體，是從總體中抽取的簡單隨機樣本，選取常數(shù)c,d使得并求出n.基本概念與抽樣分布課件中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院ThankYou!中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院ThankYou!中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院第1章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念與抽樣分布應用統(tǒng)計中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院第1章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念與抽樣分布應數(shù)理統(tǒng)計的基本概念與抽樣分布

例:某鋼筋廠每天可以生產(chǎn)某型號鋼筋10000根，鋼筋廠每天需要對生產(chǎn)過程進行控制，對產(chǎn)品的質(zhì)量進行檢驗。如果把鋼筋的強度作為鋼筋質(zhì)量的重有指標，于是質(zhì)量管理人員需要做如下方面的工作第一，對生產(chǎn)出來的鋼筋的強度進行檢測，獲得必要的數(shù)據(jù)。第二，對通過抽樣獲取的部分數(shù)據(jù)進行整理、分析并推斷出這10000根鋼筋的質(zhì)量是否合乎要求。數(shù)理統(tǒng)計的基本概念與抽樣分布§1.2總體、個體、樣本

1.2.1總體與個體我們把所研究對象的全體稱為總體或母體。組成總體的每個單元稱為個體總體X可看作一個隨機變量,稱X的概率分布為總體分布，稱X的數(shù)字特征為總體的數(shù)字特征,對總體進行研究就是對總體的分布或?qū)傮w的數(shù)字特征進行研究.1.2.2樣本從總體中抽取的一部分個體稱為樣本或者子樣，其中所含個體的個數(shù)稱為樣本容量.

樣本具有二重性：隨機性和確定性§1.2總體、個體、樣本1.2.1總體與個體定義1.1

設總體X的樣本滿足⑴獨立性：每次觀測結(jié)果既不影響其它結(jié)果，也不受其它結(jié)果的影響；即相互獨立；⑵代表性：樣本中每一個個體都與總體X有相同分布。則稱此樣本為簡單隨機樣本。進行有放回抽樣就是簡單隨機樣本,無放回抽樣就不是簡單隨機樣本。但N很大，n相對較小時無放回抽樣得到的樣本可以近似看作簡單隨機樣本.

稱樣本的分布為樣本分布。如果為簡單隨機樣本，為總體X的分布函數(shù)，則樣本分布有比較簡單的形式。定義1.1設總體X的樣本滿足

它完全由總體X的分布函數(shù)確定基本概念與抽樣分布課件兩種形式例1.1設有一批產(chǎn)品，其次品率為p，如果記“”表示抽取一件產(chǎn)品是次品；“”表示抽取一件產(chǎn)品是正品；那么，產(chǎn)品的質(zhì)量可以用X的分布來衡量。X服從0-1分布，參數(shù)就是次品率p。如果為簡單隨機樣本，求樣本分布.

解：總體X的概率分布為

兩種形式基本概念與抽樣分布課件

例1.2設總體X服從參數(shù)為的正態(tài)分布，求樣本的分布密度。解：總體X的分布密度為所以的概率分布為

例1.2設總體X服從參數(shù)為的正態(tài)

統(tǒng)計量

統(tǒng)計量的定義定義1.2設為總體X的一個樣本，為的連續(xù)函數(shù)，且不含有任何未知參數(shù)，則稱T為一個統(tǒng)計量。注:1.統(tǒng)計量是完全由樣本確定的一個量，即樣本有一個觀測值時,統(tǒng)計量就有一個唯一確定的值;2.統(tǒng)計量是一個隨機變量，它將高維隨機變量問題轉(zhuǎn)化為一維隨機變量來處理,但不會損失所討論問題的信息量.統(tǒng)計量常見的統(tǒng)計量1.樣本均值2.樣本方差3.k階原點矩4.k階中心矩5.順序統(tǒng)計量6.樣本極差與中位數(shù)常見的統(tǒng)計量

例1.3設總體X為連續(xù)型的,求最大順序統(tǒng)計量與最小順序統(tǒng)計量的分布密度.

解:最大順序統(tǒng)計量的分布函數(shù)為

例1.3設總體X為連續(xù)型的,求最大順序統(tǒng)計量與最小順

最小順序統(tǒng)計量的分布函數(shù)為最小順序統(tǒng)計量的分布函數(shù)為

如果總體中服從均勻分布則如果總體中服從均勻分布則

其分布密度為其分布密度為充分統(tǒng)計量例：某廠要了解其產(chǎn)品的不合格率p，檢驗員檢查了10件產(chǎn)品，檢查結(jié)果是，除前二件是不合格品（記為）外，其它都是合格品（記為）。當廠長問及檢查結(jié)果時檢驗員可作如下兩種回答：

(1)10件中有兩件不合格；

(2)前兩件不合格。這兩種回答反映了檢驗員對樣本的兩種不同的加工方法。其所用的統(tǒng)計量分別為充分統(tǒng)計量顯然，第二種回答是不能令人滿意的，因為統(tǒng)計量不包含樣本中有關p的全部信息。而第一種回答是綜合了樣本中有關p的全部信息。因為樣本提供了兩種信息：

(1)10次檢驗中不合格品出現(xiàn)了幾次；

(2)不合格品出現(xiàn)在哪幾次試驗上。基本概念與抽樣分布課件

第二種信息（試驗編號信息）對了解不合格品率p是沒有什么幫助的.

充分統(tǒng)計量就是能把含在樣本中有關總體或者參數(shù)的信息一點都不損失地提取出來?；蛘哒f充分統(tǒng)計量包含了有關總體或有關參數(shù)的全部信息.

考慮樣本的分布

第二種信息（試驗編號信息）對了解不合格品率p是由于

且是服從二項分布故基本概念與抽樣分布課件

它與無關基本概念與抽樣分布課件定義1.3設總體X的分布為一個含未知參數(shù)的分布族，是X的一個樣本。是一個統(tǒng)計量,對給定的t，樣本在的條件下的條件分布與參數(shù)無關，則稱統(tǒng)計量T是參數(shù)的充分統(tǒng)計量。定義1.3設總體X的分布為一個含未知參數(shù)的分布族

上例的一般情況是設是來自0-1分布的一個簡單隨機樣本，其中，則是參數(shù)的充分統(tǒng)計量。上例的一般情況是由定義可得定理1.1設是參數(shù)的充分統(tǒng)計量，是單值可逆函數(shù)，則也是參數(shù)的充分統(tǒng)計量。由定義可得當總體為連續(xù)型總體時，充分統(tǒng)計量要用條件分布密度來描述。奈曼（J.Neyman）和哈爾斯（P.R.Halmos）在20世紀40年代提出并嚴格證明了一個判別充分統(tǒng)計量的方法：因子分解定理。當總體為連續(xù)型總體時，充分統(tǒng)計量要用條件分布密度來描述。奈曼

定理1.2（因子分解定理）設樣本的聯(lián)合分布為一個含未知參數(shù)的分布族,則是一個充分統(tǒng)計量當且僅當存在這樣的兩個函數(shù)：

(1)與無關的非負函數(shù)；

(2)與有關，且僅與統(tǒng)計量T的值有關的非負函數(shù)使得

其中在離散總體的情況下表示樣本的分布列，在連續(xù)總體的情況下表示樣本的分布密度。定理1.2（因子分解定理）設樣本的聯(lián)合分布為一個含例設是來自分布,即它的分布密度為

的一個簡單隨機樣本，其中則分別是參數(shù)的充分統(tǒng)計量例設解:樣本的聯(lián)合分布密度為如果令由因子分解定理知是的充分統(tǒng)計量。解:樣本的例設總體X的分布密度為是X的一個簡單隨機樣本，試證明最小順序統(tǒng)計量的充分統(tǒng)計量。

例設總體X的分布密度為證:樣本的聯(lián)合分布密度為如果令由因子分解定理知是的充分統(tǒng)計量。證:樣本的§1.4抽樣分布我們稱統(tǒng)計量的分布為抽樣分布,不同的統(tǒng)計量其分布不一定相同.常見的分布類型有:

正態(tài)分布伽瑪分布卡方分布

t分布

F分布§1.4抽樣分布伽瑪分布定義1.4如果連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為其中

為函數(shù)，則稱X為服從參數(shù)是的伽瑪分布，記為伽瑪分布伽瑪分布的性質(zhì)(1)由此可得伽瑪分布的性質(zhì)(2)

如果，并且X和Y相互獨立，容易求得

這個性質(zhì)稱為可加性,即伽瑪分布具有可加性.(2)卡方分布用構(gòu)造性的方式定義是定義1.5設為相互獨立的隨機變量，且均服從，則它們的平方和

也是一個隨機變量，它所服從的分布稱為自由度為n的分布，記為

卡方分布它的密度函數(shù)為其密度函數(shù)與參數(shù)n有關，它的圖形也有一定差異．它的密度函數(shù)為卡方分布的性質(zhì)若，則即卡方分布是一種伽瑪分布，因此具有伽瑪分布的性質(zhì)（１）（２）

如果，并且X和Y相互獨立，有

卡方分布也具有可加性卡方分布的性質(zhì)例是來自參數(shù)為的指數(shù)分布Ｘ總體，試證明：例總體Ｘ的密度為當時，我們有密度為說明總體Ｘ的密度為假定子樣是簡單隨機子樣,則且它們之間相互獨立，故有假定子樣是簡單隨機子樣,則t分布

構(gòu)造性的方式定義定義1.6設，，且X與Y相互獨立，記

則Ｔ也是一個隨機變量，它所服從的分布稱為自由度為n的t分布，記為t分布它的密度函數(shù)為與參數(shù)n有關，不