《概率思想對幾個恒等式的證明（論文）9600字》

II）用構建一次函數(shù)證明：證明：構造一個一次函數(shù)f(x),定義在區(qū)間[0,1]上當時，所以當時，所以因為是一次函數(shù)，且所以在上，恒有即對比：對比以上兩種解題方法，可以鮮明地看出運用概率論知識來證明不等式方便簡單，避免了分類討論和一些繁瑣的計算化簡。例2已知求證：分析原式即由條件知所以即需證即需證成立，顯然利用概率模型來證極為簡單。證明:設兩獨立事件和即則所以因為故即得。所以例3證明：若a,b,c為三角形三邊的長，且則(第23屆全蘇數(shù)學奧林匹克試題)證明：為三角形三邊的長同理設為三個獨立事件，且則從而有小結：根據(jù)題意建立概率模型，設定隨機變量，將不等式中的未知量用模型中的事件來替換，就可利用概率中事件之間的關系列出不等式，從而獲得證明。這種思路方法也可適用解決生活當中的一些不等關系，給我們生活帶來便捷。例4切比雪夫Chebyshev不等式設隨機變量的數(shù)學期望，方差,則對于任意正數(shù)，成立不等式：.切比雪夫不等式估計出隨機變量在區(qū)間內(nèi)取值的概率不小于，由此可知：若方差越小，則概率越大，說明隨機變量取值在數(shù)學期望附近的密集程度越高；若方差越大，則概率越小，說明隨機變量取值在數(shù)學期望附近的密集程度越低。切比雪夫不等式說明方差刻畫了隨機變量的取值對其期望的離散程度。當隨機變量的分布未知時，由期望與方差、利用切比雪夫不等式也能提供關于分布的信息(實用性強)，利用這個信息可以粗略估計(估計粗糙)隨機變量落入關于其數(shù)學期望對稱區(qū)間內(nèi)(有限制)的概率。例5設的概率密度函數(shù)為試證：[1]證明：因此，由切比雪夫不等式取對隨機變量有即引理1設隨機變量X的數(shù)學期望EX=0，方差，則對于任意正數(shù)ε，成立不等式：證明：對任意的實數(shù)x>0,利用馬爾可夫不等式，有記則時f(x)達到最小值，此時，命題得證。根據(jù)該引理，容易得到下列定理。定理2（單邊切比雪夫不等式）設隨機變量X的數(shù)學期望EX=μ，方差,則對于任意正數(shù)ε，成立不等式：,[2]例6將n(n>5)個人的帽子充分混合后每個人隨機地從中取出一頂，求至少有5人拿到自己帽子的概率小于1/17。解：記i=1,2,…,n.設，則帽子和人配對數(shù)X可表示為由于，所以，利用單邊切比雪夫不等式，有.4.2構造特殊的隨機變量證明不等式在證明不等式時，如果能夠發(fā)現(xiàn)其中蘊含某些常用分布的分布列或者密度函數(shù)，那么通過引入隨機變量，可將一些與求和或者積分有關的不等式化成數(shù)學期望，然后利用概率論知識巧證這些不等式。1）利用正態(tài)分布的密度函數(shù)例7利用概率論方法證明：當時，有[6]證明：設隨機變量和相互獨立，且都服從分布。則其聯(lián)合密度函數(shù)注1：我們知道，重積分可轉化為定積分，而定積分又可轉化成重積分，后者是概率論中常用的一個積分技巧。如驗證，也是通過將左端轉為二重積分而實現(xiàn)的。注2：本題的另一大關鍵是不等式的放大。一個非負可積函數(shù)在某一正方形區(qū)域上的積分當然小于該函數(shù)在以正方形的對角線為直徑的圓域上的積分。這從定積分幾何意義上容易理解。不少概率問題的積分運算從幾何意義上不失為計算積分的一個好途徑。2）利用兩點分布證明不等式例8設則對于一切,成立不等式證明：設隨機變量服從兩點分布：則,由得利用指數(shù)分布證明不等式例9設若則成立不等式證明：設隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其概率密度：則由得4）利用泊松分布證明不等式例10設為某一實函數(shù)，若則成立不等式證明：設隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，其分布律為則由得小結：在概率論中有各種各樣的隨機變量，如上列舉的有正態(tài)分布、兩點分布、指數(shù)分布、泊松分布，在實際證明不等式和求解函數(shù)最大值的時候引入隨機變量，再運用這些分布函數(shù)來證明，往往會有意想不到的效果——簡潔易懂，思路清晰。4.3概率論期望的應用在企業(yè)經(jīng)營過程中產(chǎn)生的經(jīng)濟效益方而，商界人士為此做了不少努力。數(shù)學期望的應用就可在這里表現(xiàn)出來。由于產(chǎn)品銷量每時每刻都在變化，所以對這一隨機變量采用數(shù)學期望的方法來求得企業(yè)的最大效益得到了很多企業(yè)的好評，也為更多企業(yè)的發(fā)展提供了一個新的思路。例1是在求解最大經(jīng)濟效益問題時的具體步驟，假設隨機變量為x，利潤表示成Y,Y是x的函數(shù)，記作y=f(x)，最后通過求利潤的數(shù)學期望E(y)，得到企業(yè)的最大利潤值。例1某公司出售一種原材料，按市場價來講，出售1噸該材料可獲1.5千元，積壓1噸則虧損0.5千元。且該材料在市場上的需求購買量x(單位:口翰服從(300，500)上的均勻分布，若該公司想獲得最大利潤，應準備多少噸貨源?設該公司應準備。噸貨源，y為。噸貨源所獲得的利來講，無形資產(chǎn)取代有形資產(chǎn)成為企業(yè)價值主體和競爭優(yōu)勢的重點，其中企業(yè)的戰(zhàn)略信息、管理戰(zhàn)略是決定企業(yè)在激烈的市場競爭下生存和發(fā)展的關鍵因素，核心技術、企業(yè)文化等無形資產(chǎn)成為帶動經(jīng)濟利益的最重要的經(jīng)濟資源。在電子商務環(huán)境下，產(chǎn)品更新?lián)Q代速度不斷加快，人才特別是掌握高新技術的人才對企業(yè)的發(fā)展發(fā)揮著比以往更加重要的作用。電子商務打破了傳統(tǒng)職能部門依賴分工與協(xié)作完任務的過程，呈現(xiàn)了相互溝通、相互學習的網(wǎng)狀結構，將企業(yè)內(nèi)部幾個要素組合起來，管理模式轉變?yōu)橄嗷ブС郑蚨畔⒂脩魧嬓畔⒌臅r效性要求大大提高。4.4概率論中心極限的應用目前，在國內(nèi)一個備受關注的熱點問題便是保險問題，如今保險公司會提供各式各樣的保險服務，保險廣告處處皆是，讓人眼花繚亂。下而的例子就是運用概率論的相關知識來計算保險公司是賺還是虧的問題。近代保險業(yè)都是以大數(shù)定律和中心極限定理為基礎來估算保險公司盈虧情況。例4是利用中心極限定理和大數(shù)定律來求解保險業(yè)的經(jīng)濟問題。例4老年人壽保險是保險公司一項比較常見的保險。設每年符合年齡且參加保險的人有100000人，保險費為每年20元/人，死亡后家屬可領取8000元。依往年的經(jīng)驗得出，死亡率為0.002，假設保險公司用以管理該項業(yè)務的費用不計入在內(nèi)，問:①該保險公司投資該項保險虧損的幾率。②該保險公司投資該項保險獲得超過80000元收益的概率。設隨機變量x為死亡人數(shù)，x服從二項定理，則:x~B(n,p),n=100000p=0.002,q=1-p=0.998。根據(jù)概率論中對于現(xiàn)實實際問題的應用，保險公司就可以做到基本上從不虧損。所以學好概率論并且能在經(jīng)濟生活中得到實際的應用，會讓我們更深入地了解問題的本質，同時也會使我們的生活添姿加彩，讓我們的投資變得科學而有意義。結論誰會想到，賭徒之間毫不引人注目的爭論，居然會發(fā)展出一種非常有用的數(shù)學理論?這種理論幾乎滲透到各個領域，并產(chǎn)生了許多新的分支和邊緣學科，如生物統(tǒng)計、統(tǒng)計物理、數(shù)學地質和教育統(tǒng)計等.許多新的重要學科，如信息論、控制論、可靠性理論和人工智能等都以概率論為理論基礎。概率論在誕生初期不僅提出了一些特定的概念與經(jīng)典問題，還涌現(xiàn)出許多重要思想、著名定理，其中很多流傳至今，并且成為后世研究的源泉，比如大數(shù)定律、·幾何概率，逆概率等。不過，這一階段沒有出現(xiàn)特定的方法，所取得的結果大都是零散而孤立的，并未形成一個完整的體系，可以說當時概率論只是有趣而特殊的問題集。直至1812年拉普拉斯的《概率的分析理論》的出現(xiàn)才改善了這一狀況，它起到了承上啟下的作用。這一時期人們使用了數(shù)學分析的工具，給出了各種形式的大數(shù)定律與中心極限定理的證明，并且人們試圖把中心極限定理與大數(shù)定律推廣到各類隨機變量，其中包括相關隨機變量。俄國數(shù)學家在這方面做出了重要貢獻。同時人們普遍重視概率論在社會生活中的應用，例如人口統(tǒng)計學，保險，觀測誤差估計，法庭審判等等。概率論在19世紀屬于應用數(shù)學，因此希爾伯特在他著名的報告中把概率論和物理放在了一起。然而，不論是拉普拉斯還是后來的貝特朗或龐加萊，他們都不能把概率論構建成邏輯上完美的數(shù)學學科。20世紀30年代，隨著柯爾莫哥洛夫著作的發(fā)表，概率論的公理化基礎才最終完成，它逐漸獲得了廣泛認可。由于公理化，概率論變成了一門抽象的，與集合論密切相關的演繹數(shù)學的學科，它不僅和自然科學的廣闊領域有著密切而直接的關系，而且和技術、社會學、經(jīng)濟等方面的學科也有密切的聯(lián)系。另外，概率論尤其是以概率論為基礎的統(tǒng)計學的發(fā)展和應用異常迅速，這種發(fā)展最終導致了人們關于自然、社會和認識人類自身的觀念的徹底改變。本文對概率論的概述以及對于恒等式的證明只是作了簡要的證實，對于21世紀的發(fā)展，沒有包羅概率論發(fā)展中的一切新領域，也沒有力求仔細地闡明現(xiàn)代概率論思想對于恒等式證明的新結論，這些都是本文不足之處。參考文獻夏利民，成福偉.切比雪夫不等式應用幾例[J].承德民族師專學報，2008,28(2):3-4.張玉春，曾夢涵.一類概率不等式及其應用[J].高等數(shù)學研究，2010,1(13):45-46.湯茂林.一個概率不等式的應用[J].凱里學院學報，2012,30(3):160-161.楊曉華，徐烈民.不等式證明的概率方法[J].高等數(shù)學研究，2010,1(13):72-73.孫燕，楊海濤.構造隨機變量巧證積分不等式[J]內(nèi)蒙古民族大學學報（自然科學報），2007,22(4):374-376.原全，蕫魏莉，某幾類積分的概率技巧解法[J]高校講壇，2008,32:223-225轉233.張元收.幾個數(shù)學恒等式的概率證明[J].濰坊學院2008年5月第27卷第5期陳凌.概率方法與恒等式的證明[J].重慶工貿(mào)職業(yè)技術學院2007年3月第23卷第一期謝興武.概率統(tǒng)計釋難解疑[M].科學出版社曹汝成.組合數(shù)學[M].廣州:華南理工大學出版社,2004.何宗祥.漫談組合恒等式的證明[J].中國數(shù)學月刊,1994(2