立體幾何知識點

高一上學期立體幾何知識點一、點、線（直線、射線、線段）、平面1平面的表示方法平行四邊形（平面a平面ABCD,平面AC）或三角形二、立體圖形的畫法斜二測、不變、一半、夾角度、斜二測和原圖形的面積比為上242直觀圖2-1直觀圖的定義：是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體而畫出的圖形，直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。2-2斜二測法做空間幾何體的直觀圖⑴在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy,即取/xOy=90°；⑵畫直觀圖時，把它畫成對應(yīng)的軸O‘x‘、O'y,取/x‘O‘y'=45°或135°,它們確定的平面表示水平平面；⑶在坐標系x‘o'y‘中畫直觀圖時，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變；平行于x軸的線段保持長度不變；平行于y軸的線段長度減半。結(jié)論：采用斜二測法作出的直觀圖的面積是原平面圖形的三24看不到的線用虛線（或者不畫）需要有立體感。（想垂直就垂直，想在里就在里，想在外就在外。）三、立體圖形之間的關(guān)系。1點和線的位置關(guān)系（點在線上，點在線外）2點和面的位置關(guān)系（點在面上，點在面外）3線和線的位置關(guān)系（平行、相交、異面）4線和面的位置關(guān)系（線在面上，線面平行，線面相交（線面垂直））5面和面的位置關(guān)系（平行、相交（重合））四、各種角的范圍1、異面直線所成的角的取值范圍是2、直線與平面所成的角的取值范圍是3、斜線與平面所成的角的取值范圍4、二面角的大小用它的平面角來度量；取值范圍是五、射影定理㈠空間幾何體的類型1多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。2旋轉(zhuǎn)體：把一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。棱柱

多面體由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點；連接不在同一個面上的兩個頂點的線段叫做多面體的對角線.按多面體的面數(shù)可把多面體分為四面體、五面體、六面體.其中，四個面均為全等的正三六、角形的四面體叫做正四面體.旋轉(zhuǎn)體由一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.棱柱的結(jié)構(gòu)特征一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱（prism）.棱柱中，兩個互相平行的面叫做底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)棱與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點.底面是三角形、四邊形、五邊形的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各頂點的字母或一條對角線端點的字母表示棱柱，如下圖的六棱柱可以表示為棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'或棱柱A'D.側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四邊形的棱柱叫做平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫做直平行六面體.七、斜棱柱百棱柱正棱柱平行六面體七、斜棱柱百棱柱正棱柱平行六面體直平行六面體1棱柱的結(jié)構(gòu)特征\°棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。棱柱的性質(zhì)側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；直棱柱的側(cè)棱長與高相等，側(cè)面的對角面是矩形。例題：下列命題中，正確的是（）A.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體間棱柱B.棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面C.棱柱的側(cè)面是平行四迪形,而底面不是平行四邊形a棱柱的側(cè)棱長相等，側(cè)面是平行四邊形答案d長方體的性質(zhì)⑴長方體的一條對角線的長的平方等于一個頂點上三條棱的平方和：AC12=AB2+AC2+AA12⑵長方體的一條對角線AC1與過定點A的三條棱所成的角分別是a、B、Y，那么：cos2a+cos20+cos2y=1sin2a+sin20+sin2y=2■長方體的一條對角線AC1與過定點A的相鄰三個面所組成的角分別為a、B、Y，則：cos2a+cos20+cos2y=2sin2a+sin20+sin2y=1棱柱的側(cè)面展開圖：正棱柱的側(cè)面展開圖是由個全等矩形組成的以底面周長和側(cè)棱為鄰邊的矩形。斜棱柱直棱柱：側(cè)棱垂直底面。正棱柱：（1）側(cè)棱垂直底面；（2）底面是正多邊形⑵;四橫柱|底面為甲行口邊昵|平行橫柱體|側(cè)棱垂宜于底面|直-平行六面體|底間為斯形??k長方體悅前為北方能正四樓柱幼段L底面邊區(qū)?相等正方體J??1.6棱柱的面積和體積公式

S直棱柱側(cè)面=c?h(c為底面周長，h為棱柱的高)S直棱柱全=c?h+2s底V棱柱=S底-h表面積、體積v=sh圓柱的結(jié)構(gòu)特征2-1圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。2-2圓柱的性質(zhì)2-2圓柱的性質(zhì)上、下底及平行于底面的截面都是等圓；⑵過軸的截面(軸截面)是全等的矩形。2-3圓柱的側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。2-4圓柱的面積和體積公式S圓柱側(cè)面=2n?r?h(r為底面半徑，h為圓柱的高)S圓柱全=2nrh+2nr2V圓柱=S底h=nr2h八、棱錐棱錐的結(jié)構(gòu)特征一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐(pyramid).這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐3棱錐的結(jié)構(gòu)特征3；棱錐的定⑴棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。⑵正棱錐：如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的投影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。3-2正棱錐的結(jié)構(gòu)特征⑴平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；⑵正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；⑶正棱錐中的六個元素，即側(cè)棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、側(cè)棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面邊長的一半(BH),構(gòu)成四個直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均為直角三角形)。

3-3正棱錐的側(cè)面展開圖：正n棱錐的側(cè)面展開圖是由n個全等的等腰三角形組成。3-4正棱錐的面積和體積公式S正棱錐側(cè)=0.5ch′（c為底面周長，h′為側(cè)面斜高）S正棱錐全=0.5ch'+S底面V棱錐=1/3S底面?h（h為棱錐的高）正棱錐：（1）底面是正多邊形；（2）頂點在底面上的射影是底面中心；表面積、體積v=1sh正四面體九、三角形的心1、內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點2、外心：外接圓的圓心，垂直平分線的交點3、重心：中線的交點4、垂心：高的交點十、三垂線定理圓錐gj1-5圓鋌4-1gj1-5圓鋌成的幾何體叫做圓錐。4-2圓錐的結(jié)構(gòu)特征⑴平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；⑵軸截面是等腰三角形；⑶母線的平方等于底面半徑與高的平方和：12=r2+h24-3圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。4-4圓錐的面積和體積的公式S圓錐側(cè)=nr?1（r為底面半徑，1為母線長）S圓錐全=nr?（r+1）V圓錐=1/3nr2?h（h為圓錐高）

頂占棱臺的結(jié)構(gòu)特征,側(cè)橫底面上底

頂占棱臺的結(jié)構(gòu)特征,側(cè)橫底面上底

高側(cè)面-斜高臺。5.2正棱臺的結(jié)構(gòu)特征⑴各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；⑵正棱臺的兩個底面和平行于底面的截面都是正多邊形；⑶正棱臺的對角面也是等腰梯形；■棱臺經(jīng)常被補成棱錐，然后利用形似三角形進行研究。5-3正棱臺的面積和體積公式S棱臺側(cè)=n/2（a+b）?h’（a為上底邊長，b為下底邊長，h’為棱臺的斜高，n為邊數(shù)）S棱臺全=S上底+S下底+S側(cè)V坨士=+打6圖臺的結(jié)構(gòu)特征6-1圓臺的定義：用一個平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱為圖臺.6-2圓臺的結(jié)構(gòu)特征0）國臺的上下底面和平行于底面的截面都是國；⑵國臺的截面是等腰梯形；⑶國臺經(jīng)常補成圓錐I然后利用相似三角形進行研究。6-3圓臺的面積和體積公式S國白到=ji-（R-I-r）-1（r、R為上下，亮面半徑）圖1-7圖臺V植士=+S'圖1-7圖臺十一、面積比=相似比的平方；體積比=相似比的立方十二、球

圖1-S球7圖1-S球7-1球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體■:空間中，與定點距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱為球體。7-2球的結(jié)構(gòu)特征（1）球心與截面圓心的連線垂直于截面；⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心的距亶的平方差rF=R2-1*7-3球與其他多面體的組合體的問題球體與其他多面體組合，包括內(nèi)接和外切兩和類型，解決此類問題的基本思路是:（D根據(jù)題意，確定是內(nèi)接還是外切，畫出立體圖形：⑵找出多面體與球體連接的地方，找出對球的合適的切割面，然后做出剖面圖；⑶將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問題；⑷注意圓與正方體的兩個關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直徑等于正方體對角線；球外切正方體，球直徑等于正方體的辿長。1、大圓（過兩點的大圓有一個或者無數(shù)個）球面上的點和直徑兩個端點夾角為90度。2、球面距離、表面積、體積2、內(nèi)切球：正方體內(nèi)切球、正四面體內(nèi)切球、正三棱錐內(nèi)切球、側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的內(nèi)切球3、外接球：長方體外接球、正四面體外接球、正三棱錐外接球、側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球十三、三視圖平行投影，中心投影正投影1、畫立體圖形的三視圖1三視圖：觀察者從三個不同的位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形。正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。側(cè)視圖：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。俯視圖：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。注意：⑴俯視圖畫在正視圖的下方，“長度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右方，“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖相等。（正側(cè)一樣高，正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬）⑵正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。2直觀圖畫出以下圖形的三視圖：三棱柱、三棱錐、長方體、三棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球。倒著放著的圓錐和圓臺，倒著放著的棱錐和棱臺。（點擋住用實心點，線擋住用虛線。）三視圖的點、線可能不屬于一個平面。2、根據(jù)三視圖還原立體圖形一般先考慮“俯視圖”；幾何體直觀圖形正視圖側(cè)視圖俯視圖

幾何體直觀圖形正視圖側(cè)視圖俯視圖正方體長方體圓柱圓錐圓臺球公理如果一條直線上有兩個點在一個平面上則這條直線在這個平面上十四、確定平面十五、公理2：如果兩個平面有一個公共點，則這兩個平面有且只有一條通過公共點的公共直線。（求截面、求交線）卜制是空間四邊形.4比廿各詢ULHLMJ：f"附點.山雌AF和的延氏線上于.電-術(shù)MU'J'三點,I同一條直桀上.7-如圖17-1-當在正方體g中,E,F?為以G出購的中點dCCHN-七為G門FF=中r"rS?一與一1y25口陶卿:三直線比、郎@丹十/2）作出直線同4……號,；位置,「與平面即出的交點代5才贏15］巳如:出方體"感膽-/與G5的根拄后配tf、F外洲史A片/「拓消寓的中點.門》畫出過LW串-：成的平而可平面4片如01曲殳線以弓與羋面叫"的交&HZ)設(shè)JIMKP二點的平面與月?岸交圉1-1-1-20■即四年南昌市調(diào)考翹事【陋析］自兩平兩杓交城時,需息到眄平面萌萌個卜其點.這兩點的連線即為所炎的舅矍.口［加圖］-21-2。，汶時、片產(chǎn)三點確定的平面}弗則a與邛面片反望于MP設(shè)■了尸門人鳥剜酊V是口與平面4淖|￡山|的更蟆，就用可門用與=Qi劇PQ是由與平面母nGC的文戰(zhàn)(2J由正方米的楨性為孔hjM1分別為工及㈣的，點R二機身二劉樽二麗叫B.Q鳴A4溫△心小也您二M~,J瓦中=直犬4=jTej).松liL已湖白中J：,罵=4《mJJ；。=*5.八野彳小(：)=-y/10(1!m).-'-產(chǎn)爐的長為:/iOcm.3求證空間不共點且兩兩相交的四條直線在同一平面內(nèi)。公理3不共線的三點確定一個平面推論：1、直線和直線外一點確定一個平面2、兩條相交直線確定平面3、兩條平行直線確定一個平面。q港〃下列命甑KFf空間不同的3點瑜定一個平面；(2)^3個公共點的兩個平面必重合i烏)空間兩兩相交的三條苴績確定一個平面:?)三房形是平面圖形i(5)平行網(wǎng)邊形,梯】以四邊形都是平面圖形;(6)全直丁同一直線的兩直線平行；

I-,1triI-,1trii'HJJ"IBi-2-1I解析】_neF*就的3.!>,tIBi-2-1I解析】_neF*就的3.!>,t機峭定:平面贈卻網(wǎng)遴尊!任肅可靠出菊冏斗-而贈d「一晨心13，首這I十公巽事以頗時）'（3）■室間?郵由1?37一曲四九/￡。、時力膽禁審問因如114幅/蛹熱宙,/例;J*wL的盤浦H；；需i而，/\\第—今弱I1方州一網(wǎng).岡山那址Til…7Tm|]M9上■，-II」叫辿格】.，當"2n時，陽邊M：khJJ-粒[證明】在色?中用的捐嚼=%所以"/犯且酊在A3R中出為若嚼”所以的/孫||汽；:的用上所以EH夕陷』M二幅時『皿=FG政四”修硒汨為平行四邊畫（2）當甲盧川時1舊"匕故四泣1EFGH星榔升」/-mii-i^^m十六、線、線位置關(guān)系平行、相交、異面一、判定兩線平行的方法、平行于同一直線的兩條直線互相平行、垂直于同一平面的兩條直線互相平行、如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行、在同一平面內(nèi)的兩條直線，可依據(jù)平面幾何的定理證明用西卅班料3總It"宿'個空，點星一扇或是，塞為3個史惠?副透fit1擊?蘇凡而一伊文蒞?劃打骷嘀定一個‘'FF：卜金石，所以IH）悔，15）中平杼府邊庫扎祖心由里■,率4席3的黎鹽工星人性時?叩丹心亂.卜新府七.由四這號有可能為虹間皿4U.周值L"臨出圖I-2-L_j所示■在正方年叫竹-IW仁。中JWJ_"$,舊彳*宿M■出與LA不平行.所以L心福AHitCH,MfiH日蘭班也膽謁gf相變，明⑺林四邊焉.mwc中，.山’="R'=*c-匚1-4”.但它不走平行司也超?所以（81故我痹141,「答制（4）公理4：同平行于一條直線的兩條直線平行。如果一個角的兩邊分別平行另一個角的兩邊，并且方向相同，則這兩個角相等。推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等。①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（X）（也可能兩條直線平行，也可能是點和直線等）②直線在平面外，指的位置關(guān)系是平行或相交③若直線a、b異面，a平行于平面a,b與。的關(guān)系是相交、平行、在平面a內(nèi).④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（X）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）⑥在同一平面內(nèi)的射影長相等，則斜線長相等.（X）（并非是從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段）⑦a,b是夾在兩平行平面間的線段，若a=b,則a,b的位置關(guān)系為（相交或平行或異面）.⑧異面直線判定定理：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）姆…四條沖…『…卜仙任白W\過點P'艮伙書,,條"找?“*E都平行瓦過源產(chǎn)有理僅書二餐宜戳l-JI網(wǎng)解臉C冠點產(chǎn)有且僅育一條直蛀與km部棚交R過點產(chǎn)石且僅療一條直線與"都異面十七、線、面位置關(guān)系1、線在面上定義：有無數(shù)個公共點。判定：直線上有兩個點在平面上。性質(zhì)：線上所有點都在平面上。2線面平行定義：沒有公共點二、判定線面平行的方法、據(jù)定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點、如果平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個平面平行、兩面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面、平面外的兩條平行直線中的一條平行于平面，則另一條也平行于該平面、平面外的一條直線和兩個平行平面中的一個平面平行，則也平行于另一個平面［注入①直線」與平面以內(nèi)一條直裁平行，則（平面外一條直線）②直線上與平面S內(nèi)一條直線相交.則啟與平面Q相交.（X）（平面外一條直線）③若直線莊與平面口?平行，則厘內(nèi)心存在無蒙條直線與值平行一（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之：④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面，（x）（可能在此平面內(nèi)）⑤平行于同一個平面的兩直線平行.（X）（兩直線可能相交或者異面）⑥直線『與平面置、口所成角相等，則■8（3、0可能相交）

性質(zhì)：(1)過這條直線的平面和已知平面相交，這條直線和交線平行。白.述刊制'''，"-3｝如圖Id蓊所示，在樁氏仙的M白.述刊制'''，"-3｝如圖Id蓊所示，在樁氏仙的M體樣g-4"閩,E"'E9分跚是玳:￡/■才兒丁月及的中點-(1)求證；FQ/平面國|一2-2-^(3)?iE:EF/平堀日當口倒十八、面、面位置關(guān)系1面面平行定義：沒有公共點三、判定面面平行的方法、定義：沒有公共點、如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，則兩面平行、一個平面兩條相交直線平行于另外一個平面兩條相交直線。、垂直于同一直線的兩個平面平行、平行于同一平面的兩個平面平行四、面面平行的性質(zhì)、兩平行平面沒有公共點、兩平面平行，則一個平