平均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差

平均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差平均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差平均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月平均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：平均值(Mean)、方差(Variance)、標(biāo)準(zhǔn)差(StandardDeviation)對(duì)于一維數(shù)據(jù)的分析，最常見的就是計(jì)算平均值(Mean)、方差(Variance)和標(biāo)準(zhǔn)差(StandardDeviation)。平均值平均值的概念很簡(jiǎn)單：所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，以此表示數(shù)據(jù)集的平均大??；其數(shù)學(xué)定義為：

以下面10個(gè)點(diǎn)的CPU使用率數(shù)據(jù)為例，其平均值為。14311619261414141113方差、標(biāo)準(zhǔn)差方差這一概念的目的是為了表示數(shù)據(jù)集中數(shù)據(jù)點(diǎn)的離散程度；其數(shù)學(xué)定義為：

標(biāo)準(zhǔn)差與方差一樣，表示的也是數(shù)據(jù)點(diǎn)的離散程度；其在數(shù)學(xué)上定義為方差的平方根：為什么使用標(biāo)準(zhǔn)差與方差相比，使用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示數(shù)據(jù)點(diǎn)的離散程度有3個(gè)好處：表示離散程度的數(shù)字與樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量級(jí)一致，更適合對(duì)數(shù)據(jù)樣本形成感性認(rèn)知。依然以上述10個(gè)點(diǎn)的CPU使用率數(shù)據(jù)為例，其方差約為41，而標(biāo)準(zhǔn)差則為；兩者相比較，標(biāo)準(zhǔn)差更適合人理解。表示離散程度的數(shù)字單位與樣本數(shù)據(jù)的單位一致，更方便做后續(xù)的分析運(yùn)算。在樣本數(shù)據(jù)大致符合正態(tài)分布的情況下，標(biāo)準(zhǔn)差具有方便估算的特性：%的數(shù)據(jù)點(diǎn)落在平均值前后1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)、95%的數(shù)據(jù)點(diǎn)落在平均值前后2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，而99%的數(shù)據(jù)點(diǎn)將會(huì)落在平均值前后3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)。貝賽爾修正在上面的方差公式和標(biāo)準(zhǔn)差公式中，存在一個(gè)值為N的分母，其作用為將計(jì)算得到的累積偏差進(jìn)行平均，從而消除數(shù)據(jù)集大小對(duì)計(jì)算數(shù)據(jù)離散程度所產(chǎn)生的影響。不過(guò)，使用N所計(jì)算得到的方差及標(biāo)準(zhǔn)差只能用來(lái)表示該數(shù)據(jù)集本身(population)的離散程度；如果數(shù)據(jù)集是某個(gè)更大的研究對(duì)象的樣本(sample)，那么在計(jì)算該研究對(duì)象的離散程度時(shí)，就需要對(duì)上述方差公式和標(biāo)準(zhǔn)差公式進(jìn)行貝塞爾修正，將N替換為N-1：經(jīng)過(guò)貝塞爾修正后的方差公式：

經(jīng)過(guò)貝塞爾修正后的標(biāo)準(zhǔn)差公式：公式的選擇

是否使用貝塞爾修正，是由數(shù)據(jù)集的性質(zhì)來(lái)決定的：如果只想計(jì)算數(shù)據(jù)集本身的離散程度(population)，那么就使用未經(jīng)修正的公式；如果數(shù)據(jù)集是一個(gè)樣本(sample)，而想要計(jì)算的則是樣本所表達(dá)對(duì)象的離散程度，那么就使用貝塞爾修正后的公式。在特殊情況下，如果該數(shù)據(jù)集相較總體而言是一個(gè)極大的樣本(比如一分鐘內(nèi)采集了十萬(wàn)次的IO數(shù)據(jù))——在這種情況下，該樣本數(shù)據(jù)集不可能錯(cuò)過(guò)任何的異常值(outlier)，此時(shí)可以使用未經(jīng)修正的公式來(lái)計(jì)算總體數(shù)據(jù)的離散程度。R中平均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算在R中，平均值是通過(guò)mean()函數(shù)來(lái)計(jì)算的：x<-c(14,31,16,19,26,14,14,14,11,13)mean(x)方差則通過(guò)var()函數(shù)來(lái)計(jì)算：x<-c(14,31,16,19,26,14,14,14,11,13)var(x)標(biāo)準(zhǔn)差則通過(guò)sd()函數(shù)來(lái)計(jì)算：x<-c(14,31,16,19,26,14,14,14,11,13)sd(x)值得一提的是，R中所計(jì)算的方差和標(biāo)準(zhǔn)差是經(jīng)過(guò)貝塞爾修正的；如果需要計(jì)算未經(jīng)修正的結(jié)果，可以在R的計(jì)算結(jié)果上乘以(N-1)/N。平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的適用范圍及誤用大多數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)指標(biāo)都有其適用范圍，平均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差也不例外，其適用的數(shù)據(jù)集必須滿足以下條件：中部單峰：數(shù)據(jù)集只存在一個(gè)峰值。很簡(jiǎn)單，以假想的CPU使用率數(shù)據(jù)為例，如果50%的數(shù)據(jù)點(diǎn)位于20附近，另外50%的數(shù)據(jù)點(diǎn)位于80附近（兩個(gè)峰），那么計(jì)算得到的平均值約為50，而標(biāo)準(zhǔn)差約為31；這兩個(gè)計(jì)算結(jié)果完全無(wú)法描述數(shù)據(jù)點(diǎn)的特征，反而具有誤導(dǎo)性。這個(gè)峰值必須大致位于數(shù)據(jù)集中部。還是以假想的CPU數(shù)據(jù)為例，如果80%的數(shù)據(jù)點(diǎn)位于20附近，剩下的20%數(shù)據(jù)隨機(jī)分布于30~90之間，那么計(jì)算得到的平均值約為35，而標(biāo)準(zhǔn)差約為25；與之前一樣，這兩個(gè)計(jì)算結(jié)果不僅無(wú)法描述數(shù)據(jù)特征，反而會(huì)造成誤導(dǎo)。遺憾的是，在現(xiàn)實(shí)生活中，很多數(shù)據(jù)分布并不滿足上述兩個(gè)條件；因此，在使用平均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的時(shí)候，必須謹(jǐn)慎小心。結(jié)語(yǔ)如果數(shù)據(jù)集僅僅滿足一個(gè)條件：?jiǎn)畏濉Ｄ敲?，?/p>