專題一 空間向量與立體幾何-2023屆高考數學二輪復習選必模塊專項練（含解析）

專題一空間向量與立體幾何1.若向量，，且a與b的夾角的余弦值為，則實數等于().A.0 B. C.0或 D.0或2.已知棱長為1的正方體的上底面的中心為，則的值為().A.-1 B.0 C.1 D.23.在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD的中點，若，，，則用基底表示向量為()

A.

B.

C.

D.4.在三棱錐中，CP，CA，CB兩兩互相垂直，，，建立如圖所示的空間直角坐標系，則下列向量是平面PAB的一個法向量的是()

A. B. C. D.5.如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面ABC，D為AB的中點，則異面直線AC與PD所成角的余弦值為()A. B. C. D.6.已知三棱錐中，，且SA，SB，SC兩兩垂直，P是三棱錐外接球的球面上一動點，則點P到平面ABC的距離的最大值是()

A. B. C. D.7.（多選）己知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果，，，則下列結論正確的是()A. B.C.是平面ABCD的一個法向量 D.8.（多選）已知向量，，則下列結論中正確的是()A.若，則 B.若，則C.不存在實數，使得 D.若，則9.已知空間向量滿足，則的值為___________.10.在棱長為2的正方體中，M，N分別是的中點，則直線MN與平面ABCD所成的角的余弦值為__________.11.已知空間向量，設與垂直，，則_______________.12.如圖，和都是邊長為2的正三角形，且它們所在平面互相垂直.平面，且.(1)設P是的中點，求證:平面.(2)求二面角的正弦值.

答案以及解析1.答案：C解析：由題意得，解得或.故選C.2.答案：D解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，.故選D.3.答案：C解析：連接BD，E為PD的中點，.故選C.4.答案：A解析：由題意可得，，，則，，設平面PAB的一個法向量為，

由得

令，則，，.

又，平面PAB的一個法向量為.故選A.5.答案：B解析：取AC的中點O，連接OP，OB，，，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，又，，以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，是等腰直角三角形，，為等邊三角形，，，，，，，.異面直線AC與PD所成角的余弦值為.故選B.6.答案：C解析：三棱錐滿足SA，SB，SC兩兩垂直，且，

SA，SB，SC是棱長為1的正方體上具有公共頂點S的三條棱，

以B為原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，因此，，.設平面ABC的一個法向量為，則令，得.易知三棱錐的外接球就是棱長為1的正方體的外接球，是三棱錐外接球的球面上一動點，由正方體與球的幾何性質可得，當點P與點N重合時，點P到平面ABC的距離最大，點P到平面ABC的距離的最大值為.故選C.7.答案：ABC解析：，，，A對；，，，B對；，，，平面ABCD，是平面ABCD的一個法向量，C對；，設，即方程組無解，D錯.故選ABC.8.答案：AC解析：由得，解得，故A選項正確；由得，解得，故B選項錯誤；若存在實數，使得，則，，，顯然無解，即不存在實數使得，故C選項正確；若，則，解得，于是，故D選項錯誤.9.答案：解析：，，，.10.答案：解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，所以，平面ABCD的一個法向量為，所以，設直線MN與平面ABCD所成的角為，則，所以.11.答案：0°解析：，化簡得.又，，，，.12.答案：(1)見解析(2)解析：(1)證明：取的中點O，連接.是正三角形，.∵平面平面，平面平面，平面.平面，.在中，，.又，為等腰三角形.是的中點，.平面，.平面平面，平面.(2)由(1)知，，∴四邊形為平行四邊形，，.以點O為坐標原點