一波函數(shù)沿x方向傳播的平面波波動方程為187波函數(shù)薛定諤方程課件

一.波函數(shù)沿x方向傳播的平面波波動方程為§18-7波函數(shù)薛定諤方程上式為下面復(fù)數(shù)形式的實數(shù)部分為區(qū)別一般的波，奧地利物理學家薛定諤提出用物質(zhì)波波函數(shù)描述微觀粒子的運動狀態(tài)一.波函數(shù)§18-7波函數(shù)薛定諤方程上式為下面復(fù)數(shù)形式1

對能量為E、動量為p的自由粒子，其平面物質(zhì)波波函數(shù)為自由粒子在三維空間運動時有對能量為E、動量為p的自由粒子，其平面物質(zhì)波波函數(shù)為自由粒2

二.波函數(shù)的物理意義

*

----的共軛復(fù)數(shù)與光波類比，波函數(shù)的強度為由玻恩的概率波概念，粒子出現(xiàn)在體積元dV內(nèi)的概率為

----概率密度二.波函數(shù)的物理意義*----的共軛復(fù)數(shù)與光波類比3

在整個空間總能找到粒子，應(yīng)有----波函數(shù)的歸一化條件三.波函數(shù)的標準條件單值:某時刻粒子出現(xiàn)在某點的概率唯一有限:粒子出現(xiàn)的概率應(yīng)有限連續(xù):不應(yīng)出現(xiàn)突變(可導(dǎo))在整個空間總能找到粒子，應(yīng)有----波函數(shù)的歸一化條件三.4

說明：經(jīng)典波描寫實在物理量在空間中的傳播過程概率波不代表實在物理量的傳播過程，波函數(shù)本身沒有直接的物理意義說明：經(jīng)典波描寫實在物理量在空間中的傳播過程概率波不代表實5

四.薛定諤方程1.一般薛定諤方程自由粒子：設(shè)自由粒子沿x方向運動波函數(shù)四.薛定諤方程1.一般薛定諤方程自由粒子：設(shè)自由粒子沿x方6

----一維運動自由粒子的含時薛定諤方程----一維運動自由粒子的含時薛定諤方程7

在勢場U(x,t)中：粒子的總能量為即又在勢場U(x,t)中：粒子的總能量為即又8----勢場中一維運動粒子的含時薛定諤方程推廣到三維空間----拉普拉斯算符----勢場中一維運動粒子的含時薛定諤方程推廣到三維空間--9

----一般的薛定諤方程引入能量算符----哈密頓算符則有----一般的薛定諤方程引入能量算符----哈密頓算符則有10

說明：薛定諤方程是量子力學中，態(tài)隨時間變化的方程，其正確性是由方程的解與實驗結(jié)果相符而得到證實1933年薛定諤獲得諾貝爾物理學獎只要找到體系的經(jīng)典能量公式，則可寫出薛定諤方程并求解，可得概率密度2說明：1933年薛定諤獲得諾貝爾物理學獎只要找到體系的經(jīng)典11

2.定態(tài)方程定態(tài)：勢能函數(shù)與時間無關(guān)，即令2.定態(tài)方程令12兩邊同除以得兩邊等于同一常數(shù)時上式才能成立兩邊同除以得兩邊等于同一常數(shù)時上式才能成立13(1)(2)(1)(2)14(1)的解為E具有能量量綱(2)為----定態(tài)薛定諤方程粒子波函數(shù)為即(1)的解為E具有能量量綱(2)為----定態(tài)薛定諤方程粒子15討論：定態(tài)時，概率密度不隨時間變化定態(tài)時，解得的某些能量確定值E稱為本征值，相應(yīng)的波函數(shù)稱為本征函數(shù)討論：定態(tài)時，概率密度不隨時間變化定態(tài)時，解得的某些能量確定16

五.求解波函數(shù)的方法及解決的幾個問題1.求波函數(shù)的步驟：由體系的勢能寫出薛定諤方程解方程得一般解根據(jù)標準條件和歸一化條件確定有關(guān)常數(shù)項五.求解波函數(shù)的方法及解決的幾個問題1.求波函數(shù)的步驟：17

2.求粒子出現(xiàn)概率極大、極小的位置求概率密度函數(shù)

判斷令

，解出

x=xm2.求粒子出現(xiàn)概率極大、極小的位置求概率密度函數(shù)判斷令18

3.求粒子在某區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率計算求概率密度函數(shù)

3.求粒子在某區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率計算求概率密度函數(shù)19[例7]一質(zhì)量為m的粒子在自由空間繞一定點作圓周運動，圓半徑為r。求粒子的波函數(shù)并確定其可能的能量值和角動量值。解：定態(tài)薛定諤方程[例7]一質(zhì)量為m的粒子在自由空間繞一定點作圓周運動，圓半徑20粒子在xy平面內(nèi)作圓周運動r、θ(=π/2)均為常數(shù)又粒子在xy平面內(nèi)作圓周運動r、θ(=π/2)均為常數(shù)又21或解為其中或解為其中22是的單值、有限、連續(xù)函數(shù)或即由歸一化條件是的單值、有限、連續(xù)函數(shù)或即由歸一化條件23于是定態(tài)波函數(shù)為粒子的波函數(shù)為于是定態(tài)波函數(shù)為粒子的波函數(shù)為24——能量量子化由能量動量關(guān)系——角動量量子化——能量量子化由能量動量關(guān)系——角動量量子化25設(shè)粒子作一維運動，勢能函數(shù)為§18-8一維無限深勢阱阱外須有設(shè)粒子作一維運動，勢能函數(shù)為§18-8一維無限深勢阱阱外須26阱內(nèi)令其通解為C和為待定常數(shù)阱內(nèi)令其通解為C和為待定常數(shù)27根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)、單值的條件有根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)、單值的條件有28由歸一化條件可得由歸一化條件可得29波函數(shù)為波函數(shù)為30----能量量子化n：粒子能量量子數(shù)----能量量子化n：粒子能量量子數(shù)31討論：n0：因為n=0

則n0，無意義n=1：----基態(tài)能

，能量間隙不均勻，并隨n的增大而增大討論：n=1：----基態(tài)能，能量間隙不均勻，32

除端點(x=0,x=a)外，阱內(nèi)n=0稱為節(jié)點。基態(tài)無節(jié)點，第一激發(fā)態(tài)有一個節(jié)點，第n

激發(fā)態(tài)有(n-1)個節(jié)點除端點(x=0,x=a)外，阱內(nèi)n=0稱為節(jié)點?；鶓B(tài)無節(jié)33[例8]設(shè)質(zhì)量為m的微觀粒子處在寬度為a的一維無限深勢阱中，試求：粒子在0xa/4區(qū)間中出現(xiàn)的幾率，并對n=1和n=的情況算出概率值。在哪些量子態(tài)上，a/4處的概率密度最大？解：已知[例8]設(shè)質(zhì)量為m的微觀粒子處在寬度為a的一維無限深勢阱中，34粒子出現(xiàn)在0xa/4區(qū)間中的幾率為時時粒子出現(xiàn)在0xa/4區(qū)間中的幾率為時時35處最大時有處最大時有36

一.一維勢壘隧道效應(yīng)粒子在x方向運動，勢能分布為§18-9一維勢壘諧振子經(jīng)典物理的觀點：時：粒子可越過勢壘到達3區(qū)時：粒子被勢壘反彈回去一.一維勢壘隧道效應(yīng)§18-9一維勢壘諧振子經(jīng)典物理37量子力學：薛定諤方程為2區(qū)1區(qū)3區(qū)量子力學：薛定諤方程為2區(qū)1區(qū)3區(qū)38

令則令則39正向傳播

可得：時：k2為虛數(shù)

可得：時：k2為實數(shù)負向傳播因3區(qū)無反射波，故C’=0正向傳播可得：時：k2為虛數(shù)可得：時：k2為實數(shù)負向40由標準條件可求得其它5個系數(shù)2區(qū)：透射波+反射波3區(qū)：透射波1區(qū)：入射波+反射波即由標準條件可求得其它5個系數(shù)2區(qū)：透射波+反射波3區(qū)：透射波41

在粒子總能量低于勢壘壁高時，粒子有一定的概率穿過勢壘----隧道效應(yīng)貫穿勢壘的概率(貫穿系數(shù))為:勢壘加寬(a增大)或增高(U0增大)，則T減小在粒子總能量低于勢壘壁高時，粒子有一定的概率穿過勢壘---42蒲松齡:《聊齋志異》嶗上道士穿墻而過！蒲松齡:《聊齋志異》嶗上道士穿墻而過！43

二.諧振子一維諧振子的勢能為其中薛定諤方程為二.諧振子其中薛定諤方程為44

可解得最小能量(零點能)為(1/2)h討論：線性諧振子的能量是量子化的能級均勻分布，能隙為h或可解得最小能量(零點能)為(1/2)h討論：線性諧振子的45諾貝爾獎頒獎現(xiàn)場諾貝爾獎頒獎現(xiàn)場46癌細胞表面圖像硅表面圖像掃描隧道顯微鏡(STM)癌細胞表面圖像硅表面圖像掃描隧道顯微鏡(STM)47

一.氫原子的薛定諤方程氫原子中，電子的勢能函數(shù)為§18-10氫原子的量子力學處理方法薛定諤方程為：一.氫原子的薛定諤方程§18-10氫原子的量子力學處理方48

轉(zhuǎn)換到球極坐標系中得極坐標形式為：轉(zhuǎn)換到球極坐標系中得極坐標形式為：49設(shè)可得：(1)(2)(3)設(shè)可得：(1)(2)(3)50

二.量子化條件和量子數(shù)1.能量量子化和主量子數(shù)與玻爾所得結(jié)果完全一致----主量子數(shù)由(3)可得氫原子能量為二.量子化條件和量子數(shù)與玻爾所得結(jié)果完全一致----主量子51

2.角動量量子化和角量子數(shù)對一定的n值,

l

有n個可能取值由(1)(2)可得電子繞核運動的角動量量子化條件----角量子數(shù)2.角動量量子化和角量子數(shù)對一定的n值,l有n個可能52

3.角動量空間量子化和磁量子數(shù)對一定的l

值，ml

有(2

l+1)個可能取值由(1)(2)可得ml應(yīng)滿足----磁量子數(shù)ml決定電子繞核運動角動量在空間的取向Lz，有3.角動量空間量子化和磁量子數(shù)對一定的l值，ml有(53

一.施特恩-格拉赫實驗§18-11電子的自旋1921年施特恩和格拉赫為驗證電子角動量空間量子化而進行的實驗無磁場有磁場原子源一.施特恩-格拉赫實驗§18-11電子的自旋1921年施54

實驗發(fā)現(xiàn)：不加磁場時底板上呈現(xiàn)一條正對狹縫的原子沉積；加磁場時底板上呈現(xiàn)上下兩條原子沉積矛盾：角量子數(shù)為

l

時，角動量在空間的取向有(2l+1)種可能實驗發(fā)現(xiàn)：不加磁場時底板上呈現(xiàn)一條正對狹縫的原子沉積；加磁55

二.電子的自旋為解釋上述實驗結(jié)果，1925年烏倫貝克和古茲密特提出電子自旋假說:電子除軌道運動外，還存在自旋運動。電子自旋角動量S在空間任一方向上的投影Sz只能取兩個值二.電子的自旋為解釋上述實驗結(jié)果，1925年烏倫貝克和古茲56----自旋磁量子數(shù)----與電子軌道角動量相似由量子力學可得，自旋角動量為----自旋量子數(shù)s只能取一個值即----自旋磁量子數(shù)----與電子軌道角動量相似由量子力學可57

三.四個量子數(shù)原子中電子的狀態(tài)由四個量子數(shù)決定主量子數(shù)n（n=1,2,）大體上決定電子的能量角量子數(shù)l（l=0,1,2,,n-1）決定電子的軌道角動量的大小磁量子數(shù)ml（ml=0,1,2,,l）決定電子軌道角動量在外磁場中的取向。自旋磁量子數(shù)ms（ms=1/2）決定電子自旋角動量在外磁場中的取向三.四個量子數(shù)磁量子數(shù)ml（ml=0,1,2,,58

對多電子原子，其內(nèi)部電子的分布由下面兩條原理決定：§18-12原子的殼層結(jié)構(gòu)泡利不相容原理：在一個原子中不能有兩個或兩個以上的電子處在完全相同的量子態(tài)，即不能具有相同的四個量子數(shù)能量最小原理：原子系統(tǒng)處于正常狀態(tài)時，每個電子趨向占有最低的能級對多電子原子，其內(nèi)部電子的分布由下面兩條原理決定：§18-59

根據(jù)泡利不相容原理，原子中具有相同主量子數(shù)n的電子數(shù)最多為1916年柯塞耳提出原子殼層結(jié)構(gòu)：n相同的電子組成一個殼層，對應(yīng)n=1,2,3,的殼層分別用K,L,M,N,O,P,來表示根據(jù)泡利不相容原理，原子中具有相同主量子數(shù)n的電子數(shù)最多為60

l相同的電子組成支殼層，對應(yīng)l=0,1,2,的支殼層分別用s,p,d,f,g,h,來表示例如：K殼層上可能有2個電子(s電子)，表示為1s2----L殼層、s分層上可能有2個電子，表示為2s2l相同的電子組成支殼層，對應(yīng)l=0,1,2,的支殼層分別61----L殼層、p分層上可能有6個電子，表示為2p6L殼層最多可有(2+6)=8個電子即：3s2、3p6、3d10M殼層最多可有18個電子----L殼層、p分層上可能有6個電子，表示為2p6L殼層最62

一.波函數(shù)沿x方向傳播的平面波波動方程為§18-7波函數(shù)薛定諤方程上式為下面復(fù)數(shù)形式的實數(shù)部分為區(qū)別一般的波，奧地利物理學家薛定諤提出用物質(zhì)波波函數(shù)描述微觀粒子的運動狀態(tài)一.波函數(shù)§18-7波函數(shù)薛定諤方程上式為下面復(fù)數(shù)形式63

對能量為E、動量為p的自由粒子，其平面物質(zhì)波波函數(shù)為自由粒子在三維空間運動時有對能量為E、動量為p的自由粒子，其平面物質(zhì)波波函數(shù)為自由粒64

二.波函數(shù)的物理意義

*

----的共軛復(fù)數(shù)與光波類比，波函數(shù)的強度為由玻恩的概率波概念，粒子出現(xiàn)在體積元dV內(nèi)的概率為

----概率密度二.波函數(shù)的物理意義*----的共軛復(fù)數(shù)與光波類比65

在整個空間總能找到粒子，應(yīng)有----波函數(shù)的歸一化條件三.波函數(shù)的標準條件單值:某時刻粒子出現(xiàn)在某點的概率唯一有限:粒子出現(xiàn)的概率應(yīng)有限連續(xù):不應(yīng)出現(xiàn)突變(可導(dǎo))在整個空間總能找到粒子，應(yīng)有----波函數(shù)的歸一化條件三.66

說明：經(jīng)典波描寫實在物理量在空間中的傳播過程概率波不代表實在物理量的傳播過程，波函數(shù)本身沒有直接的物理意義說明：經(jīng)典波描寫實在物理量在空間中的傳播過程概率波不代表實67

四.薛定諤方程1.一般薛定諤方程自由粒子：設(shè)自由粒子沿x方向運動波函數(shù)四.薛定諤方程1.一般薛定諤方程自由粒子：設(shè)自由粒子沿x方68

----一維運動自由粒子的含時薛定諤方程----一維運動自由粒子的含時薛定諤方程69

在勢場U(x,t)中：粒子的總能量為即又在勢場U(x,t)中：粒子的總能量為即又70----勢場中一維運動粒子的含時薛定諤方程推廣到三維空間----拉普拉斯算符----勢場中一維運動粒子的含時薛定諤方程推廣到三維空間--71

----一般的薛定諤方程引入能量算符----哈密頓算符則有----一般的薛定諤方程引入能量算符----哈密頓算符則有72

說明：薛定諤方程是量子力學中，態(tài)隨時間變化的方程，其正確性是由方程的解與實驗結(jié)果相符而得到證實1933年薛定諤獲得諾貝爾物理學獎只要找到體系的經(jīng)典能量公式，則可寫出薛定諤方程并求解，可得概率密度2說明：1933年薛定諤獲得諾貝爾物理學獎只要找到體系的經(jīng)典73

2.定態(tài)方程定態(tài)：勢能函數(shù)與時間無關(guān)，即令2.定態(tài)方程令74兩邊同除以得兩邊等于同一常數(shù)時上式才能成立兩邊同除以得兩邊等于同一常數(shù)時上式才能成立75(1)(2)(1)(2)76(1)的解為E具有能量量綱(2)為----定態(tài)薛定諤方程粒子波函數(shù)為即(1)的解為E具有能量量綱(2)為----定態(tài)薛定諤方程粒子77討論：定態(tài)時，概率密度不隨時間變化定態(tài)時，解得的某些能量確定值E稱為本征值，相應(yīng)的波函數(shù)稱為本征函數(shù)討論：定態(tài)時，概率密度不隨時間變化定態(tài)時，解得的某些能量確定78

五.求解波函數(shù)的方法及解決的幾個問題1.求波函數(shù)的步驟：由體系的勢能寫出薛定諤方程解方程得一般解根據(jù)標準條件和歸一化條件確定有關(guān)常數(shù)項五.求解波函數(shù)的方法及解決的幾個問題1.求波函數(shù)的步驟：79

2.求粒子出現(xiàn)概率極大、極小的位置求概率密度函數(shù)

判斷令

，解出

x=xm2.求粒子出現(xiàn)概率極大、極小的位置求概率密度函數(shù)判斷令80

3.求粒子在某區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率計算求概率密度函數(shù)

3.求粒子在某區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率計算求概率密度函數(shù)81[例7]一質(zhì)量為m的粒子在自由空間繞一定點作圓周運動，圓半徑為r。求粒子的波函數(shù)并確定其可能的能量值和角動量值。解：定態(tài)薛定諤方程[例7]一質(zhì)量為m的粒子在自由空間繞一定點作圓周運動，圓半徑82粒子在xy平面內(nèi)作圓周運動r、θ(=π/2)均為常數(shù)又粒子在xy平面內(nèi)作圓周運動r、θ(=π/2)均為常數(shù)又83或解為其中或解為其中84是的單值、有限、連續(xù)函數(shù)或即由歸一化條件是的單值、有限、連續(xù)函數(shù)或即由歸一化條件85于是定態(tài)波函數(shù)為粒子的波函數(shù)為于是定態(tài)波函數(shù)為粒子的波函數(shù)為86——能量量子化由能量動量關(guān)系——角動量量子化——能量量子化由能量動量關(guān)系——角動量量子化87設(shè)粒子作一維運動，勢能函數(shù)為§18-8一維無限深勢阱阱外須有設(shè)粒子作一維運動，勢能函數(shù)為§18-8一維無限深勢阱阱外須88阱內(nèi)令其通解為C和為待定常數(shù)阱內(nèi)令其通解為C和為待定常數(shù)89根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)、單值的條件有根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)、單值的條件有90由歸一化條件可得由歸一化條件可得91波函數(shù)為波函數(shù)為92----能量量子化n：粒子能量量子數(shù)----能量量子化n：粒子能量量子數(shù)93討論：n0：因為n=0

則n0，無意義n=1：----基態(tài)能

，能量間隙不均勻，并隨n的增大而增大討論：n=1：----基態(tài)能，能量間隙不均勻，94

除端點(x=0,x=a)外，阱內(nèi)n=0稱為節(jié)點?；鶓B(tài)無節(jié)點，第一激發(fā)態(tài)有一個節(jié)點，第n

激發(fā)態(tài)有(n-1)個節(jié)點除端點(x=0,x=a)外，阱內(nèi)n=0稱為節(jié)點?；鶓B(tài)無節(jié)95[例8]設(shè)質(zhì)量為m的微觀粒子處在寬度為a的一維無限深勢阱中，試求：粒子在0xa/4區(qū)間中出現(xiàn)的幾率，并對n=1和n=的情況算出概率值。在哪些量子態(tài)上，a/4處的概率密度最大？解：已知[例8]設(shè)質(zhì)量為m的微觀粒子處在寬度為a的一維無限深勢阱中，96粒子出現(xiàn)在0xa/4區(qū)間中的幾率為時時粒子出現(xiàn)在0xa/4區(qū)間中的幾率為時時97處最大時有處最大時有98

一.一維勢壘隧道效應(yīng)粒子在x方向運動，勢能分布為§18-9一維勢壘諧振子經(jīng)典物理的觀點：時：粒子可越過勢壘到達3區(qū)時：粒子被勢壘反彈回去一.一維勢壘隧道效應(yīng)§18-9一維勢壘諧振子經(jīng)典物理99量子力學：薛定諤方程為2區(qū)1區(qū)3區(qū)量子力學：薛定諤方程為2區(qū)1區(qū)3區(qū)100

令則令則101正向傳播

可得：時：k2為虛數(shù)

可得：時：k2為實數(shù)負向傳播因3區(qū)無反射波，故C’=0正向傳播可得：時：k2為虛數(shù)可得：時：k2為實數(shù)負向102由標準條件可求得其它5個系數(shù)2區(qū)：透射波+反射波3區(qū)：透射波1區(qū)：入射波+反射波即由標準條件可求得其它5個系數(shù)2區(qū)：透射波+反射波3區(qū)：透射波103

在粒子總能量低于勢壘壁高時，粒子有一定的概率穿過勢壘----隧道效應(yīng)貫穿勢壘的概率(貫穿系數(shù))為:勢壘加寬(a增大)或增高(U0增大)，則T減小在粒子總能量低于勢壘壁高時，粒子有一定的概率穿過勢壘---104蒲松齡:《聊齋志異》嶗上道士穿墻而過！蒲松齡:《聊齋志異》嶗上道士穿墻而過！105

二.諧振子一維諧振子的勢能為其中薛定諤方程為二.諧振子其中薛定諤方程為106

可解得最小能量(零點能)為(1/2)h討論：線性諧振子的能量是量子化的能級均勻分布，能隙為h或可解得最小能量(零點能)為(1/2)h討論：線性諧振子的107諾貝爾獎頒獎現(xiàn)場諾貝爾獎頒獎現(xiàn)場108癌細胞表面圖像硅表面圖像掃描隧道顯微鏡(STM)癌細胞表面圖像硅表面圖像掃描隧道顯微鏡(STM)109

一.氫原子的薛定諤方程氫原子中，電子的勢能函數(shù)為§18-10氫原子的量子力學處理方法薛定諤方程為：一.氫原子的薛定諤方程§18-10氫原子的量子力學處理方110

轉(zhuǎn)換到球極坐標系中得極坐標形式為：轉(zhuǎn)換到球極坐標系中得極坐標形式為：111設(shè)可得：(1)(2)(3)設(shè)可得：(1)(2)(3)112

二.量子化條件和量子數(shù)1.能量量子化和主量子數(shù)與玻爾所得結(jié)果完全一致----主量子數(shù)由(3)可得氫原子能量為二.量子化條件和量子數(shù)與玻爾所得結(jié)果完全一致----主量子113

2.角動量量子化和角量子數(shù)對一定的n值,

l

有n個可能取值由(1)(2)可得電子繞核運動的角動量量子化條件----角量子數(shù)2.角動量量子化和角量子數(shù)對一定的n值,l有n個可能114

3.角動量空間量子化和磁量子數(shù)對一定的l

值，ml

有(2

l+1)個可能取值由(1)(2)可得ml應(yīng)滿足----磁量子數(shù)ml決定電子繞核運動角動量在空間的取向Lz，有3.角動量空間量子化和磁量子數(shù)對一定的l值，ml有(115

一.施特恩-格拉赫實驗§18-11電子的自旋1921年施特恩和格拉赫為驗證電子角動量空間量子化而進行的實驗無磁場有磁場原子源一.施特恩-格拉赫實驗§18-11電子的自旋1921年施116

實驗發(fā)現(xiàn)：不加磁場時底板上呈現(xiàn)一條正對狹縫的原子沉積；加磁場時底板上呈現(xiàn)上下兩條原子沉積矛盾：角量子數(shù)為

l

時，角動量在空間的取向有(2l+1)種可能實驗發(fā)現(xiàn)：不加磁場時底板上呈現(xiàn)一條正對狹縫的原子沉積；加磁117

二.電子的自旋為解釋上述實驗結(jié)果，1925年烏倫貝克和古茲