2020年河北中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件：§52三角形與等腰三角形

A組河北中考題組1.(2018河北,1,3分)下列圖形具有穩(wěn)定性的是

()

答案

A三角形具有穩(wěn)定性.故選A.A組河北中考題組1.(2018河北,1,3分)下列圖形具有12.(2018河北,6,3分)尺規(guī)作圖要求:Ⅰ.過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線;Ⅱ.作線段的垂直平分線;Ⅲ.過直線

上一點(diǎn)作這條直線的垂線;Ⅳ.作角的平分線.下圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖:

2.(2018河北,6,3分)尺規(guī)作圖要求:Ⅰ.過直線外一點(diǎn)2

則正確的配對是

()A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—ⅢB.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—ⅠC.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—ⅠD.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ答案

D根據(jù)尺規(guī)作圖的方法可知正確的配對是①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ.故選D.?D.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ答案

D根據(jù)尺規(guī)33.(2017河北,10,3分)如圖,碼頭A在碼頭B的正西方向,甲、乙兩船分別從A,B同時出發(fā),并以等速駛向某海域.

甲的航向是北偏東35°,為避免行進(jìn)中甲、乙相撞,則乙的航向

是

()

A.北偏東55°

B.北偏西55°C.北偏東35°

D.北偏西35°答案

D因?yàn)榧?、乙兩船分別從A、B同時出發(fā),并以等速駛向某海域,所以相撞時航行的路程相等,也就

是說以相撞點(diǎn)與A、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.由于甲的航向是北偏東35°,為避免行進(jìn)中甲、乙相

撞,所以乙的航向不能是北偏西35°,故選D.3.(2017河北,10,3分)如圖,碼頭A在碼頭B的正西方44.(2018河北,8,3分)已知:如圖,點(diǎn)P在線段AB外,且PA=PB.求證:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.在證明該結(jié)論

時,需添加輔助線,則作法不正確的是

()

A.作∠APB的平分線PC交AB于點(diǎn)CB.過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C且AC=BCC.取AB中點(diǎn)C,連接PCD.過點(diǎn)P作PC⊥AB,垂足為C4.(2018河北,8,3分)已知:如圖,點(diǎn)P在線段AB外,5答案

B無論作∠APB的平分線PC交AB于點(diǎn)C,還是取AB中點(diǎn)C,連接PC或過點(diǎn)P作PC⊥AB,垂足為C,都可以通過等腰三角形三線合一得出結(jié)論,選項(xiàng)A,C,D的作法正確.故選B.答案

B無論作∠APB的平分線PC交AB于點(diǎn)C,65.(2016河北,10,3分)如圖,已知鈍角△ABC,依下列步驟尺規(guī)作圖,并保留作圖痕跡.

步驟1:以C為圓心,CA為半徑畫?、?步驟2:以B為圓心,BA為半徑畫弧②,交?、儆邳c(diǎn)D;步驟3:連接AD,交BC延長線于點(diǎn)H.下列敘述正確的是

()A.BH垂直平分線段AD

B.AC平分∠BADC.S△ABC=BC·AH

D.AB=AD5.(2016河北,10,3分)如圖,已知鈍角△ABC,依下7答案

A由作圖可知點(diǎn)B、C到線段AD的兩個端點(diǎn)的距離分別相等,∴點(diǎn)B、C都在線段AD的垂直平分線

上,即BC垂直平分線段AD.故選A.解題關(guān)鍵

本題考查作圖、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的證明方

法.答案

A由作圖可知點(diǎn)B、C到線段AD的兩個端點(diǎn)的距離86.(2016河北,16,2分)如圖,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若點(diǎn)M,N分別在OA,OB上,且△PMN為等邊

三角形,則滿足上述條件的△PMN有

()

A.1個

B.2個

C.3個

D.3個以上6.(2016河北,16,2分)如圖,∠AOB=120°,O9答案

D如圖所示,過點(diǎn)P分別作OA,OB的垂線,垂足分別為C,D,連接CD,則△PCD為等邊三角形.在OC,

DB上分別取M,N,使CM=DN,則△PCM≌△PDN,所以∠CPM=∠DPN,PM=PN,∠MPN=60°,則△PMN為等邊

三角形,因?yàn)闈M足CM=DN的M,N有無數(shù)個,所以滿足題意的三角形有無數(shù)個.

答案

D如圖所示,過點(diǎn)P分別作OA,OB的垂線,垂足107.(2015河北,15,2分)如圖,點(diǎn)A,B為定點(diǎn),定直線l∥AB,P是l上一動點(diǎn),點(diǎn)M,N分別為PA,PB的中點(diǎn),對于下列各

值:

①線段MN的長;②△PAB的周長;③△PMN的面積;④直線MN,AB之間的距離;⑤∠APB的大小.7.(2015河北,15,2分)如圖,點(diǎn)A,B為定點(diǎn),定直線11其中會隨點(diǎn)P的移動而變化的是

()A.②③

B.②⑤

C.①③④

D.④⑤答案

B∵點(diǎn)M,N分別為PA,PB的中點(diǎn),∴無論點(diǎn)P怎樣移動,總有MN=

AB,直線l與直線MN的距離及直線MN,AB之間的距離不變,所以①③④中的值不變.隨著點(diǎn)P的移動,點(diǎn)P與點(diǎn)A,B的距離及∠APB的大小發(fā)生變

化,故選B.其中會隨點(diǎn)P的移動而變化的是?()答案

B∵點(diǎn)M128.(2017河北,17,3分)如圖,A,B兩點(diǎn)被池塘隔開,不能直接測量其距離.于是,小明在岸邊選一點(diǎn)C,連接CA,CB,

分別延長到點(diǎn)M,N,使AM=AC,BN=BC,測得MN=200m,則A,B間的距離為

m.

答案

100解析

∵AM=AC,BN=BC,∴AB是△CMN的中位線,∴AB=

MN,∵M(jìn)N=200m,∴AB=100m.8.(2017河北,17,3分)如圖,A,B兩點(diǎn)被池塘隔開,139.(2017河北,18,3分)如圖,依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡,計(jì)算∠α=

°.

答案

569.(2017河北,18,3分)如圖,依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡,計(jì)14解析

如圖,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB=68°.由作法可知AF是∠DAC的平分線,∴∠EAF=

∠DAC=34°.由作法可知,EF是線段AC的垂直平分線,∴∠AEF=90°,∴∠AFE=90°-34°=56°,∴∠α=56°.

解析

如圖,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,15思路分析

由矩形的性質(zhì)得AD∥BC,可得出∠DAC的度數(shù),由作法可知AF為∠DAC的平分線,從而求出∠

EAF的度數(shù),又可知EF為線段AC的垂直平分線,從而得出∠AEF的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AFE

的度數(shù),進(jìn)而可得出∠α的度數(shù).解題關(guān)鍵

熟悉角平分線及線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵.思路分析

由矩形的性質(zhì)得AD∥BC,可得出∠DAC的度1610.(2015河北,20,3分)如圖,∠BOC=9°,點(diǎn)A在OB上,且OA=1.按下列要求畫圖:以A為圓心,1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1,得第1條線段AA1;再以A1為圓心,1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2,得第2條線段A1A2;再以A2為圓心,1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3,得第3條線段A2A3;……這樣畫下去,直到得第n條線段,之后就不能再畫出符合要求的線段了,則n=

.

答案

910.(2015河北,20,3分)如圖,∠BOC=9°,點(diǎn)A17解析

由題意可知:AO=A1A,A1A=A2A1,……,則∠AOA1=∠OA1A,∠A1AA2=∠A1A2A,……,∵∠BOC=9°,∴∠A1AB=2×9°=18°,∠A2A1C=27°,∠A3A2B=36°,∠A4A3C=45°,……,∴9°(n+1)=90°,解得n=9.思路分析

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)依次可得∠A1AB的度數(shù),∠A2A1C的度數(shù),∠A3A2B

的度數(shù),∠A4A3C的度數(shù),……依此得到規(guī)律,再根據(jù)三角形的內(nèi)角最多有一個大于或等于90°的角,即可求得n

的值.解析

由題意可知:AO=A1A,A1A=A2A1,……18考點(diǎn)一三角形的有關(guān)概念1.(2018廣西南寧,6,3分)如圖,∠ACD是△ABC的外角,CE平分∠ACD,若∠A=60°,∠B=40°,則∠ECD等于

()

A.40°

B.45°

C.50°

D.55°B組2015—2019年全國中考題組答案

C由題意知∠ACD=∠A+∠B=60°+40°=100°,因?yàn)镃E平分∠ACD,所以∠ACE=∠ECD=

∠ACD=

×100°=50°.B組2015—2019年全國中考題組答案

C由題意192.(2018貴州貴陽,2,3分)如圖,在△ABC中有四條線段DE,BE,EF,FG,其中有一條線段是△ABC的中線,則該線

段是

()

A.線段DE

B.線段BEC.線段EF

D.線段FG答案

B連接三角形一個頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn),所得的線段叫做三角形這條邊上的中線,從圖形中看出,線

段DE、EF、FG都不經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn),僅有線段BE經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)B,所以線段BE是△ABC的中線,故

選B.2.(2018貴州貴陽,2,3分)如圖,在△ABC中有四條線203.(2015四川綿陽,5,3分)如圖,在△ABC中,∠B、∠C的平分線BE、CD相交于點(diǎn)F,∠ABC=42°,∠A=60°,則∠

BFC=

()

A.118°

B.119°

C.120°

D.121°答案

C在△ABC中,∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-42°=78°.∵BE、CD分別平分∠ABC、∠ACB,∴∠FBC=

∠ABC=21°,∠FCB=

∠ACB=39°,∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-21°-39°=120°.故選C.3.(2015四川綿陽,5,3分)如圖,在△ABC中,∠B、214.(2018福建,13,4分)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D是AB的中點(diǎn),則CD=

.

答案

3解析

依題意可知CD是直角三角形ABC斜邊上的中線,由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”

可得CD=

AB=3.4.(2018福建,13,4分)如圖,Rt△ABC中,∠AC225.(2018湖北武漢,16,3分)如圖,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是邊AB的中點(diǎn),E是邊BC上一點(diǎn).若DE平分△

ABC的周長,則DE的長是

.

答案

5.(2018湖北武漢,16,3分)如圖,在△ABC中,∠A23解析

延長BC至點(diǎn)F,使CF=AC,連接AF,∵D是AB的中點(diǎn),∴AD=DB.∵DE平分△ABC的周長,∴AC+CE+AD

=DB+BE,∴AC+CE=BE,∴BE=CF+CE=EF,∴DE是△ABF的中位線,∴DE∥AF,∵∠ACB=60°,∴∠ACF=120°,又AC=CF=1,∴∠FAC=∠AFC=30°,作CH⊥AF,則AH=

AC,所以AF=

AC=

,∴DE=

AF=

.

解題技巧

對于求線段長度的問題,若條件涉及三角形邊的中點(diǎn),可以考慮運(yùn)用中位線性質(zhì)來解答.解析

延長BC至點(diǎn)F,使CF=AC,連接AF,∵D是A246.(2016江蘇南京,21,8分)用兩種方法證明“三角形的外角和等于360°”.如圖,∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三個外角.求證:∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.證法1:∵

,∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°.∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-(∠1+∠2+∠3).∵

,∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.請把證法1補(bǔ)充完整,并用不同的方法完成證法2.6.(2016江蘇南京,21,8分)用兩種方法證明“三角形的25解析

∠BAE+∠1=∠CBF+∠2=∠ACD+∠3=180°;∠1+∠2+∠3=180°.證法2:如圖,過點(diǎn)A作射線AP,使AP∥BD.

∵AP∥BD,∴∠CBF=∠PAB,∠ACD=∠EAP.∵∠BAE+∠PAB+∠EAP=360°,∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.解析

∠BAE+∠1=∠CBF+∠2=∠ACD+∠3=26考點(diǎn)二等腰三角形1.(2018內(nèi)蒙古包頭,8,3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,△ADE的頂點(diǎn)D,E分別在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=

AE.若∠C+∠BAC=145°,則∠EDC的度數(shù)為

()

A.17.5°

B.12.5°

C.12°

D.10°考點(diǎn)二等腰三角形27答案

D∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠B=180°-(∠C+∠BAC)=35°,∴∠C=35°.∵∠DAE=90°,AD=AE,∴∠AED=∠ADE=45°,∴∠EDC=∠AED-∠C=45°-35°=10°.故選D.答案

D∵AB=AC,∴∠B=∠C.282.(2018湖南常德,6,3分)如圖,已知BD是△ABC的角平分線,ED是BC的垂直平分線,∠BAC=90°,AD=3,則CE

的長為

()

A.6

B.5

C.4

D.3

2.(2018湖南常德,6,3分)如圖,已知BD是△ABC的29答案

D∵ED是BC的垂直平分線,∴DB=DC,∴∠C=∠DBC,∵BD是△ABC的角平分線,∴∠ABD=∠DBC,∵∠BAC=90°,∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°,∴BD=2AD=6,∴CD=6,∴CE=CD×cosC=3

.故選D.答案

D∵ED是BC的垂直平分線,303.(2017山東濱州,8,3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC上一點(diǎn),且DA=DC,BD=BA,則∠B的大小為

()

A.40°

B.36°

C.80°

D.25°3.(2017山東濱州,8,3分)如圖,在△ABC中,AB=31答案

B設(shè)∠C=x°,由DA=DC可得∠DAC=∠C=x°,所以∠ADB=∠C+∠DAC=2x°,因?yàn)锽D=BA,所以∠BAD=∠ADB=2x°,由AB=AC可得∠B=∠C=x°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,得x+x+3x=180,解得x=36.所以∠B=36°.答案

B設(shè)∠C=x°,由DA=DC可得∠DAC=∠C324.(2019甘肅蘭州,14,4分)在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,則∠B=

°.答案

70解析

∠B=

=70°.4.(2019甘肅蘭州,14,4分)在△ABC中,AB=AC335.(2019四川成都,12,4分)如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E都在邊BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,則CE的長為

.

答案

9解析

∵AB=AC,∴∠B=∠C.又∵∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE(ASA),∴CE=BD=9.5.(2019四川成都,12,4分)如圖,在△ABC中,AB346.(2018吉林,14,3分)我們規(guī)定:等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”,記

作k.若k=

,則該等腰三角形的頂角為

度.答案

36解析

設(shè)等腰三角形的頂角為x度,則一個底角的度數(shù)為2x度,由x+2×2x=180?x=36.故頂角為36度.思路分析

設(shè)出頂角度數(shù),根據(jù)“特征值”可知底角度數(shù),再由三角形內(nèi)角和定理即可求得.6.(2018吉林,14,3分)我們規(guī)定:等腰三角形的頂角與357.(2019重慶A卷,20,10分)如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC邊上的中點(diǎn),連接AD.BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E,

過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F.(1)若∠C=36°,求∠BAD的度數(shù);(2)求證:FB=FE.

7.(2019重慶A卷,20,10分)如圖,在△ABC中,A36解析

(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.又∵D是BC的中點(diǎn),∴AD平分∠BAC,即∠BAD=

∠BAC.

(3分)∵∠C=36°,∴∠BAC=180°-2∠C=180°-2×36°=108°.∴∠BAD=54°.

(5分)(2)證明:∵BE平分∠ABC,∴∠FBE=∠EBD.∵EF∥BC,∴∠FEB=∠EBD,∴∠FBE=∠FEB.

(9分)∴FB=FE.

(10分)解析

(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.378.(2017浙江紹興,23,12分)已知△ABC,AB=AC,D為直線BC上一點(diǎn),E為直線AC上一點(diǎn),AD=AE,設(shè)∠BAD=α,

∠CDE=β.(1)如圖,若點(diǎn)D在線段BC上,點(diǎn)E在線段AC上.

①如果∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么α=

°,β=

°;②求α,β之間的關(guān)系式;(2)是否存在不同于以上②中的α,β之間的關(guān)系式?若存在,請求出這個關(guān)系式(求出一個即可);若不存在,說明

理由.8.(2017浙江紹興,23,12分)已知△ABC,AB=A38解析

(1)①因?yàn)锳D=AE,所以∠AED=∠ADE=70°,∠DAE=40°,又因?yàn)锳B=AC,∠ABC=60°,所以∠BAC=∠C=∠ABC=60°,所以α=∠BAC-∠DAE=60°-40°=20°,β=∠AED-∠C=70°-60°=10°.②設(shè)∠ABC=x,∠ADE=y,則∠ACB=x,∠AED=y,由∠AED=∠CDE+∠ACB得,y=β+x,由∠BAD+∠ABC=∠ADE+∠CDE得,α+x=y+β,所以α=2β.(2)當(dāng)點(diǎn)E在CA延長線上,點(diǎn)D在線段BC上時,解析

(1)①因?yàn)锳D=AE,39

設(shè)∠ABC=x,∠ADE=y,則∠ACB=x,∠AED=y,由∠ABD+∠BAD=∠CDE-∠ADE得,x+α=β-y,由∠ACB+∠AED+∠CDE=180°得,x+y+β=180°,所以α=2β-180°.注:求出其他關(guān)系式,相應(yīng)給分,如點(diǎn)E在CA的延長線上,點(diǎn)D在CB的延長線上,可得α=180°-2β.

40考點(diǎn)三尺規(guī)作圖1.(2019內(nèi)蒙古包頭,7,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,以點(diǎn)A為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交AB、AC于

點(diǎn)D、E,再分別以點(diǎn)D、E為圓心,大于

DE的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)F,作射線AF交邊BC于點(diǎn)G,若BG=1,AC=4,則△ACG的面積是

()

A.1

B.

C.2

D.

考點(diǎn)三尺規(guī)作圖41答案

C由作圖可知AF是∠BAC的平分線,∵∠B=90°,BG=1,∴點(diǎn)G到AC的距離等于1,∴△ACG的面積是

×1×4=2.故選C.答案

C由作圖可知AF是∠BAC的平分線,∵∠B=942思路分析

先判斷AF是∠BAC的平分線,再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可求點(diǎn)G到AC的距

離,最后根據(jù)三角形面積公式求解即可.思路分析

先判斷AF是∠BAC的平分線,再根據(jù)角平分線432.(2017廣東深圳,8,3分)如圖,已知線段AB,分別以A,B為圓心,大于

AB為半徑作弧,連接弧的交點(diǎn)得到直線l,在直線l上取一點(diǎn)C,使得∠CAB=25°,延長AC至M,則∠BCM的度數(shù)為()

A.40°

B.50°

C.60°

D.70°答案

B∵l垂直平分AB,C在l上,∴AC=BC,∴∠B=∠CAB=25°,∴∠BCM=50°,故選B.思路分析

先根據(jù)直線l與線段AB的關(guān)系,得出線段AC與線段BC的關(guān)系,再根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)

系,求出∠BCM.2.(2017廣東深圳,8,3分)如圖,已知線段AB,分別以443.(2018山西,14,3分)如圖,直線MN∥PQ,直線AB分別與MN,PQ相交于點(diǎn)A,B.小宇同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟

作圖:①以點(diǎn)A為圓心,以任意長為半徑作弧交AN于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D;②分別以C,D為圓心,大于

CD長為半徑作弧,兩弧在∠NAB內(nèi)交于點(diǎn)E;③作射線AE交PQ于點(diǎn)F.若AB=2,∠ABP=60°,則線段AF的長為

.

答案

2

3.(2018山西,14,3分)如圖,直線MN∥PQ,直線A45解析

過點(diǎn)B作BG⊥AF交AF于點(diǎn)G,

由尺規(guī)作圖可知,AF平分∠NAB,∴∠NAF=∠BAF.∵M(jìn)N∥PQ,∴∠NAF=∠BFA,∴∠BAF=∠BFA,∴BA=BF=2.∵BG⊥AF,∴AG=FG,∵∠ABP=60°,∴∠BAF=

∠BFA=30°.在Rt△BFG中,FG=BFcos∠BFG=2×

=

,∴AF=2FG=2

.解析

過點(diǎn)B作BG⊥AF交AF于點(diǎn)G,464.(2018江西,15,6分)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E為AB的中點(diǎn).請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖(保留畫圖痕跡).(1)在圖1中,畫出△ABD的BD邊上的中線;(2)在圖2中,若BA=BD,畫出△ABD的AD邊上的高.

4.(2018江西,15,6分)如圖,在四邊形ABCD中,A47解析

畫法如圖.(1)AF即為所求.

(2)BF即為所求.

解題關(guān)鍵

本題考查復(fù)雜作圖,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和三角形的重心及等腰三角形三

線合一等性質(zhì).解析

畫法如圖.解題關(guān)鍵

本題考查復(fù)雜作圖,解題485.(2017福建,19,8分)如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為D.求作∠ABC的平分線,分別交AD,AC于P,

Q兩點(diǎn),并證明AP=AQ.(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)

5.(2017福建,19,8分)如圖,△ABC中,∠BAC=49解析

如圖,BQ是所求作的∠ABC的平分線,P,Q是所求作的點(diǎn).

證明如下:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BPD+∠PBD=90°.∵∠BAC=90°,∴∠AQP+∠ABQ=90°.∵∠ABQ=∠PBD,∴∠BPD=∠AQP.解析

如圖,BQ是所求作的∠ABC的平分線,P,Q是所50∵∠BPD=∠APQ,∴∠APQ=∠AQP,∴AP=AQ.∵∠BPD=∠APQ,51考點(diǎn)一三角形的有關(guān)概念1.(2018福建,3,4分)下列各組數(shù)中,能作為一個三角形三邊邊長的是

()A.1,1,2

B.1,2,4

C.2,3,4

D.2,3,5C組教師專用題組答案

C三角形的三邊邊長要滿足“任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊”,選

項(xiàng)A、B、D均不符合,故選C.C組教師專用題組答案

C三角形的三邊邊長要滿足“任522.(2018黑龍江齊齊哈爾,4,3分)一副直角三角板如圖放置,點(diǎn)C在FD的延長線上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,

則∠DBC的度數(shù)為

()

A.10°

B.15°

C.18°

D.30°答案

B∵AB∥CD,∴∠ABD=∠EDF=45°,∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=45°-30°=15°,故選B.2.(2018黑龍江齊齊哈爾,4,3分)一副直角三角板如圖放533.(2017吉林長春,5,3分)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC上,DE∥BC.若∠A=62°,∠AED=54°,則∠B的

大小為()

A.54°

B.62°

C.64°

D.74°答案

C∵∠A=62°,∠AED=54°,∴∠ADE=180°-62°-54°=64°,∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE=64°.故選C.3.(2017吉林長春,5,3分)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在544.(2015湖南長沙,10,3分)過△ABC的頂點(diǎn)A,作BC邊上的高,以下作法正確的是

()

答案

A根據(jù)三角形高線的定義知△ABC中BC邊上的高是以點(diǎn)A為端點(diǎn),且垂直于BC的垂線段.故選A.4.(2015湖南長沙,10,3分)過△ABC的頂點(diǎn)A,作B555.(2016黑龍江大慶,14,3分)如圖,在△ABC中,∠A=40°,D點(diǎn)是∠ABC和∠ACB角平分線的交點(diǎn),則∠BDC=

.

答案

110°解析

∵D點(diǎn)是∠ABC和∠ACB角平分線的交點(diǎn),∴∠CBD=∠ABD=

∠ABC,∠BCD=∠ACD=

∠ACB,∵∠A=40°,∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°,∴∠CBD+∠BCD=70°,∴∠BDC=180°-70°=110°.5.(2016黑龍江大慶,14,3分)如圖,在△ABC中,∠56考點(diǎn)二等腰三角形1.(2018湖北黃岡,4,3分)如圖,在△ABC中,直線DE是AC的垂直平分線,且分別交BC,AC于點(diǎn)D和E,∠B=60°,

∠C=25°,則∠BAD為

()

A.50°

B.70°

C.75°

D.80°答案

B因?yàn)橹本€DE是AC的垂直平分線,所以AD=DC,所以∠DAC=∠C=25°,所以∠ADC=180°-(25°+25°)=130°.因?yàn)椤螦DC=∠B+∠BAD,所以∠BAD=∠ADC-∠B=130°-60°=70°,故選B.考點(diǎn)二等腰三角形答案

B因?yàn)橹本€DE是AC的垂直平572.(2016湖北武漢,10,3分)平面直角坐標(biāo)系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C,使△ABC為等腰三角形,

則滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)是

()A.5

B.6

C.7

D.8答案

A如圖,①當(dāng)AB=AC時,以點(diǎn)A為圓心,AB長為半徑作圓,與坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn)(點(diǎn)B除外),即O(0,0),C0

(0,4),其中點(diǎn)C0與A、B兩點(diǎn)共線,不符合題意;②當(dāng)AB=BC時,以點(diǎn)B為圓心,AB長為半徑作圓,與坐標(biāo)軸有兩

個交點(diǎn),均符合題意;③當(dāng)AC=BC時,作AB的垂直平分線,與坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn),均符合題意.所以滿足條件的

點(diǎn)C有5個,故選A.

2.(2016湖北武漢,10,3分)平面直角坐標(biāo)系中,已知A583.(2015廣西南寧,7,3分)如圖,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,則∠C的度數(shù)為

()

A.35°

B.40°

C.45°

D.50°答案

A∵AB=AD,∴∠ADB=∠B=70°,∵AD=DC,∴∠C=∠DAC.∵∠ADB是△ADC的外角,∴∠C=

∠ADB=35°.故選A.3.(2015廣西南寧,7,3分)如圖,在△ABC中,AB=594.(2019遼寧大連,13,3分)如圖,△ABC是等邊三角形,延長BC到點(diǎn)D,使CD=AC,連接AD.AB=2,則AD的長為

.

答案

2

4.(2019遼寧大連,13,3分)如圖,△ABC是等邊三角60解析

∵△ABC是等邊三角形,AB=2,∴BC=CA=AB=2,∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°.∵CA=CD=2,∴∠CAD=∠D,BD=CB+CD=4,∵∠ACB=∠CAD+∠D,∴2∠D=∠ACB=60°,∴∠D=60°×

=30°,∴∠BAD=180°-∠B-∠D=180°-60°-30°=90°.在Rt△ABD中,AD=

=

=2

,故答案為2

.解析

∵△ABC是等邊三角形,AB=2,615.(2019黑龍江齊齊哈爾,16,3分)等腰△ABC中,BD⊥AC,垂足為點(diǎn)D,且BD=

AC,則等腰△ABC底角的度數(shù)為

.答案

15°或45°或75°5.(2019黑龍江齊齊哈爾,16,3分)等腰△ABC中,B62解析

如圖,當(dāng)BA=BC時,

∵BD⊥AC,∴AD=CD=

AC,∵BD=

AC,∴AD=BD=CD,∴∠A=∠C=

×(180°-90°)=45°.解析

如圖,當(dāng)BA=BC時,63如圖,當(dāng)AB=AC且∠A為銳角時,∵BD=

AC=

AB,∴∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°.

如圖,當(dāng)AB=AC且∠BAC為鈍角時,∵BD=

AC=

AB,∴∠BAD=30°,∴∠ABC=∠ACB=

×30°=15°.同理,當(dāng)BC=AC時,可求得∠CBA=∠CAB=75°或15°.故答案為15°或45°或75°.方法點(diǎn)撥

等腰三角形中沒有指明頂角、底角或者沒有指明底邊、腰的都需要分類討論.如圖,當(dāng)AB=AC且∠A為銳角時,方法點(diǎn)撥

等腰三角形646.(2018廣西桂林,16,3分)如圖,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,則圖中等腰三角形的個數(shù)是

.

答案

3解析

∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=

=72°,又BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴∠BDC=72°,∴AD=BD=BC,∴△ABD,△BCD,△ABC均為等腰三角形,故有3個.6.(2018廣西桂林,16,3分)如圖,在△ABC中,∠A657.(2019吉林,24,8分)性質(zhì)探究如圖①,在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,則底邊AB與腰AC的長度之比為

.

理解運(yùn)用(1)若頂角為120°的等腰三角形的周長為8+4

,則它的面積為

;(2)如圖②,在四邊形EFGH中,EF=EG=EH.①求證:∠EFG+∠EHG=∠FGH;7.(2019吉林,24,8分)性質(zhì)探究66②在邊FG,GH上分別取中點(diǎn)M,N,連接MN.若∠FGH=120°,EF=10,直接寫出線段MN的長.類比拓展頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為

(用含α的式子表示).②在邊FG,GH上分別取中點(diǎn)M,N,連接MN.若∠FGH=167解析

性質(zhì)探究

.

(2分)理解運(yùn)用(1)4

.

(3分)(2)①證明:∵EF=EG=EH,∴∠EFG=∠EGF,∠EGH=∠EHG.

(5分)∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH.

(6分)②5

.

(7分)提示:由①可知∠EFG+∠EHG=∠FGH.∵∠FGH=120°,∴∠EFG+∠EHG=120°.∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH=360°,∴∠FEH=120°.解析

性質(zhì)探究68連接FH.∵EF=EH,∴△EFH是頂角為120°的等腰三角形,由性質(zhì)探究可知FH=

EF.又∵EF=10,∴FH=10

.∵M(jìn),N為FG和GH的中點(diǎn),∴MN為△FHG的中位線,∴MN=

FH=5

.

類比拓展連接FH.692sinα.

(8分)提示:如圖,作AD⊥BC于點(diǎn)D,∴∠BAD=α,∴BD=ABsinα,∴BC=2ABsinα,∴底邊BC與腰AB的長度之比為2sinα.

評分說明:結(jié)果寫成

∶1,2sinα∶1不扣分.2sinα.?(8分)70考點(diǎn)三尺規(guī)作圖1.(2019新疆,8,5分)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,以點(diǎn)B為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交BA,BC于點(diǎn)

M,N;再分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于

MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP交AC于點(diǎn)D.則下列說法中不正確的是

()

A.BP是∠ABC的平分線

B.AD=BDC.S△CBD∶S△ABD=1∶3

D.CD=

BD考點(diǎn)三尺規(guī)作圖71答案

C由題意得BP平分∠ABC,故A選項(xiàng)說法正確;∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,∴∠ABD=30°=

∠A,∴AD=BD,故B選項(xiàng)說法正確;∵∠CBD=

∠ABC=30°,∴BD=2CD,故D選項(xiàng)說法正確;∵BD=AD=2CD,∴S△ABD=2S△CBD,故C選項(xiàng)說法錯誤.故選C.答案

C由題意得BP平分∠ABC,故A選項(xiàng)說法正確;722.(2019吉林長春,7,3分)如圖,在△ABC中,∠ACB為鈍角,用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點(diǎn)D,使∠ADC=2∠B,則符合要求的作圖痕跡是

()

2.(2019吉林長春,7,3分)如圖,在△ABC中,∠AC73答案

B選項(xiàng)B中作的是線段BC的垂直平分線,則DB=DC,∴∠B=∠DCB,∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠B.思路分析

利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等,找出與∠B相等的角,利用三角形外角

與內(nèi)角的關(guān)系分析.答案

B選項(xiàng)B中作的是線段BC的垂直平分線,則DB=743.(2017廣西南寧,7,3分)如圖,△ABC中,AB>AC,∠CAD為△ABC的外角,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡,則下列結(jié)

論錯誤的是

()

A.∠DAE=∠B

B.∠EAC=∠CC.AE∥BC

D.∠DAE=∠EAC答案

D根據(jù)作圖痕跡可知,題圖是用尺規(guī)作一個角等于已知角,即∠DAE=∠B,進(jìn)而得到AE∥BC,從而

有∠EAC=∠C,故選項(xiàng)A、B、C均正確;因?yàn)锳B>AC,所以∠ABC≠∠ACB,即∠DAE≠∠EAC,故選項(xiàng)D錯誤,

故選D.思路分析

由作圖痕跡可知,在三角形ABC的外角∠CAD內(nèi)畫了一個新角∠DAE,且∠DAE=∠B,由此得到

其他相關(guān)的結(jié)論.3.(2017廣西南寧,7,3分)如圖,△ABC中,AB>A754.(2018四川成都,14,4分)如圖,在矩形ABCD中,按以下步驟作圖:①分別以點(diǎn)A和C為圓心,以大于

AC的長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)M和N;②作直線MN交CD于點(diǎn)E.若DE=2,CE=3,則矩形的對角線AC的長為

.

答案

4.(2018四川成都,14,4分)如圖,在矩形ABCD中,76解析

如圖,連接AE,由作圖方法得MN垂直平分AC,∴EA=EC=3.∴在Rt△ADE中,AD=

=

=

.∴在Rt△ADC中,AC=

=

=

.

思路分析

連接AE,根據(jù)題中的作圖方法,可得MN垂直平分AC,則EA=EC=3,用勾股定理先計(jì)算出AD,再計(jì)

算出AC,得解.解題關(guān)鍵

本題考查了矩形的性質(zhì),基本作圖(作已知線段的垂直平分線),勾股定理,識別基本作圖并熟練

應(yīng)用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵.解析

如圖,連接AE,由作圖方法得MN垂直平分AC,∴775.(2018北京,17,5分)下面是小東設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.已知:直線l及直線l外一點(diǎn)P.

求作:直線PQ,使得PQ∥l.作法:如圖,

5.(2018北京,17,5分)下面是小東設(shè)計(jì)的“過直線外一78①在直線l上取一點(diǎn)A,作射線PA,以點(diǎn)A為圓心,AP長為半徑畫弧,交PA的延長線于點(diǎn)B;②在直線l上取一點(diǎn)C(不與點(diǎn)A重合),作射線BC,以點(diǎn)C為圓心,CB長為半徑畫弧,交BC的延長線于點(diǎn)Q;③作直線PQ.所以直線PQ就是所求作的直線.根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程,(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)(2)完成下面的證明.證明:∵AB=

,CB=

,∴PQ∥l(

)(填推理的依據(jù)).①在直線l上取一點(diǎn)A,作射線PA,以點(diǎn)A為圓心,AP長為半徑79解析

(1)補(bǔ)全圖形,如圖所示:

(2)AP;CQ;三角形的中位線平行于三角形的第三邊.解析

(1)補(bǔ)全圖形,如圖所示:806.(2015浙江杭州,21,10分)“綜合與實(shí)踐”學(xué)習(xí)活動準(zhǔn)備制作一組三角形,記這些三角形的三邊分別

為a,b,c,并且這些三角形三邊的長度為大于1且小于5的整數(shù)個單位長度.

(1)用記號(a,b,c)(a≤b≤c)表示一個滿足條件的三角形,如(2,3,3)表示邊長分別為2,3,3個單位長度的一個三

角形,請列舉出所有滿足條件的三角形;(2)用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足a<b<c的三角形(用給定的單位長度,不寫作法,保留作圖痕跡).6.(2015浙江杭州,21,10分)“綜合與實(shí)踐”學(xué)習(xí)活動81解析

(1)共九種:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4).(2)只有a=2,b=3,c=4的一個三角形.如圖的△ABC即為滿足條件的三角形.

解析

(1)共九種:(2,2,2),(2,2,3),(82一、選擇題(每小題3分,共24分)30分鐘50分1.(2019石家莊新華一模,5)將一副三角尺按如圖所示的方式擺放(兩條直角邊在同一條直線上,且兩銳角頂

點(diǎn)重合),連接另外兩個銳角頂點(diǎn),并測得∠1=47°,則∠2的度數(shù)為

()

A.60°

B.58°

C.45°

D.43°30分鐘1.(2019石家莊新華一模,5)將一副三角尺按如圖83答案

B如圖,∵∠AEB=60°,∠CED=45°,∴∠AED=75°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠2=180°-47°-75°=58°,故選B.

答案

B如圖,∵∠AEB=60°,∠CED=45°,842.(2019廊坊廣陽一模,5)在聯(lián)歡會上,甲、乙、丙3人分別站在不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C上,他們在玩

搶凳子的游戲,要在他們中間放一個凳子,誰先搶到凳子誰獲勝,為使游戲公平,凳子應(yīng)放的最恰當(dāng)?shù)奈恢檬?/p>

△ABC的

()A.三條高的交點(diǎn)

B.重心C.內(nèi)心

D.外心答案

D為使游戲公平,要使凳子到三個人的距離相等,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相

等可知,凳子要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上.故選D.2.(2019廊坊廣陽一模,5)在聯(lián)歡會上,甲、乙、丙3人分853.(2019唐山灤南一模,14)已知:△ABC中,AB=AC,求證:∠B<90°,下面寫出運(yùn)用反證法證明這個命題的四個

步驟:①∴∠A+∠B+∠C>180°,這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾;②因此假設(shè)不成立,∴∠B<90°;③假設(shè)在△ABC中,∠B≥90°;④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.這四個步驟正確的順序應(yīng)是

()A.③④①②

B.③④②①C.①②③④

D.④③①②3.(2019唐山灤南一模,14)已知:△ABC中,AB=A86答案

A用反證法證明這個命題的四個步驟:假設(shè)在△ABC中,∠B≥90°.由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°,∴∠A+∠B+∠C>180°,這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾,因此假設(shè)不成立,∴∠B<90°.故正確順序?yàn)棰邰堍佗?故選A.方法總結(jié)

反證法的證明步驟:①假設(shè);②合情推理;③導(dǎo)出矛盾;④結(jié)論.答案

A用反證法證明這個命題的四個步驟:方法總結(jié)

874.(2019石家莊橋西一模,12)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心,以大于

AC的長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,作直線MN交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接CD.若∠B=34°,則∠BDC的度數(shù)是

()

A.68°

B.112°

C.124°

D.146°答案

B∵∠ACB=90°,∠B=34°,∴∠A=56°,∵DE是AC的垂直平分線,∴DA=DC,∴∠DCA=∠A=56°,∴∠BCD=90°-56°=34°,∴∠BDC=180°-34°-34°=112°,故選B.4.(2019石家莊橋西一模,12)如圖,在△ABC中,∠A885.(2019張家口橋東一模,10)在等邊三角形ABC中,D,E分別是BC,AC的中點(diǎn),點(diǎn)P是線段AD上的一個動點(diǎn),當(dāng)

△PCE的周長最小時,P點(diǎn)的位置在

()

A.△ABC的重心處

B.AD的中點(diǎn)處C.A點(diǎn)處

D.D點(diǎn)處5.(2019張家口橋東一模,10)在等邊三角形ABC中,D89答案

A連接BP,∵△ABC是等邊三角形,D是BC的中點(diǎn),∴AD是BC的垂直平分線,∴PB=PC,∴△PCE的周長=EC+EP+PC=EC+EP+BP,∴當(dāng)B、P、E在同一直線上時,△PCE的周長最小,∵BE為AC邊上的中線,∴點(diǎn)P為△ABC的重心,故選A.

答案

A連接BP,∵△ABC是等邊三角形,D是BC的906.(2018秦皇島海港一模,2)如圖,在△ABC中,D是BC延長線上一點(diǎn),∠B=40°,∠ACD=120°,則∠A等于

(

)

A.80°

B.70°C.60°

D.90°答案

A∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠A+∠B,∵∠ACD=120°,∠B=40°,∴∠A=120°-40°=80°,故選A.6.(2018秦皇島海港一模,2)如圖,在△ABC中,D是B917.(2018邢臺寧晉質(zhì)檢,13)如圖,小明為了測量河寬AB,先在BA延長線上取一點(diǎn)D,再在同岸取一點(diǎn)C,測得∠

CAD=60°,∠BCA=30°,AC=15m,則河寬AB為

()

A.15mB.5

mC.10

mD.12

m答案

A∵∠CAD是△ABC的外角,∴∠CAD=∠BCA+∠B,∵∠CAD=60°,∠BCA=30°,∴∠B=30°,∴∠B=∠BCA.∴AC=AB,∵AC=15m,∴AB=15m,故選A.7.(2018邢臺寧晉質(zhì)檢,13)如圖,小明為了測量河寬AB928.(2018石家莊十八縣一模,13)如圖,在△ABC中,∠A=80°,將△ABC沿過點(diǎn)C的一條直線進(jìn)行裁剪,得到兩個

新的三角形,若這兩個新的三角形都是等腰三角形,則∠B的度數(shù)不可能是

()

A.10°

B.22.5°

C.25°

D.40°答案

B設(shè)過點(diǎn)C的直線交AB于D.若∠B=∠BCD=10°,則∠ADC=20°,CD=BD,∴∠ACD=80°,CD=AD,選項(xiàng)A符合題意;若∠B=∠BCD=22.5°,則∠ADC=45°,CD=BD,∴∠ACD=55°,選項(xiàng)B不符合題意;若∠B=∠BCD=25°,則∠ADC=50°,CD=BD,∴∠ACD=50°,AC=AD,選項(xiàng)C符合題意;若∠B=∠BCD=40°,則∠ADC=80°,CD=BD,∴∠ADC=∠A,AC=CD,選項(xiàng)D符合題意.故選B.8.(2018石家莊十八縣一模,13)如圖,在△ABC中,∠93二、填空題(每小題3分,共6分)9.(2019唐山古冶一模,8)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD、CE分別是△ABC的中線和角平分線.若∠CAD=20°,

則∠ACE的度數(shù)是

.

答案

35°二、填空題(每小題3分,共6分)答案

35°94解析

∵AB=AC,AD是△ABC的中線,∴∠ABC=∠ACB,∠BAD=∠CAD=20°,∴∠ACB=

=70°,∵CE是∠ACB的角平分線,∴∠ACE=

∠ACB=35°.解析

∵AB=AC,AD是△ABC的中線,9510.(2018石家莊十八縣一模,18)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=4,依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡,計(jì)算CD的長

為

.

答案

3解析

由尺規(guī)作圖可知,∠BAD=∠B,∴AD=BD,在Rt△ACD中,AD2=CD2+AC2,∵BC=8,AC=4,∴AD2=(8-AD)2+42,解得AD=5,∴CD=BC-BD=8-5=3.10.(2018石家莊十八縣一模,18)如圖,在Rt△ABC96三、解答題(共20分)11.(2019廊坊廣陽一模改編)數(shù)學(xué)課上,張老師寫了如下兩個例題:例1:等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度數(shù).(答案:35°)例2:等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度數(shù).(答案:40°或70°或100°)張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式,小敏編了如下一題:變式:等腰三角形ABC中,∠A=70°,求∠B的度數(shù).(1)請你解答上述的變式題;(2)在等腰三角形ABC中,設(shè)∠A=x°,請用x表示出∠B的度數(shù);(3)結(jié)合(1)(2),小敏發(fā)現(xiàn),∠A的度數(shù)不同,得到∠B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同,當(dāng)∠B有三個不同的度數(shù)時,請

你探索x的取值范圍.三、解答題(共20分)97解析

(1)若∠A為頂角,則∠B=(180°-∠A)÷2=55°;若∠A為底角,∠B為頂角,則∠B=180°-2×70°=40°;若∠A為底角,∠B為底角,則∠B=70°.∴∠B=55°或40°或70°.(2)若∠A為頂角,則∠B=

°;若∠A為底角,∠B為頂角,則∠B=(180-2x)°;若∠A為底角,∠B為底角,則∠B=x°.(3)分兩種情況:①當(dāng)90≤x<180時,∠A只能為頂角,∴∠B的度數(shù)只有一個(不符合題意,舍去).②當(dāng)0<x<90時,依題意得解析

(1)若∠A為頂角,則∠B=(180°-∠A)÷98

即x≠60時,∠B有三個不同的度數(shù).綜上所述,可知當(dāng)0<x<90且x≠60時,∠B有三個不同的度數(shù).

9912.(2018唐山豐南一模,20)如圖,已知△ABC中,AB=2,BC=4,畫出△ABC的高AD和CE,并求出

的值.

12.(2018唐山豐南一模,20)如圖,已知△ABC中,A100解析

AD和CE如圖.

∵S△ABC=

BC·AD=

AB·CE,∴BC·AD=AB·CE.∵AB=2,BC=4,∴4AD=2CE,∴

=

=

.解析

AD和CE如圖.101一、選擇題(每小題3分,共21分)1.(2019唐山豐潤一模,16)如圖,△ABC的周長為19,點(diǎn)D,E在邊BC上,∠ABC的平分線垂直于AE,垂足為N,∠

ACB的平分線垂直于AD,垂足為M,若BC=7,則MN的長度為

()

A.2

B.3

C.

D.

25分鐘43分25分鐘102答案

D∵BN平分∠ABC,BN⊥AE,∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE,在△BNA和△BNE中,

∴△BNA≌△BNE,∴BA=BE,∴△BAE是等腰三角形,同理可得△CAD是等腰三角形,∴點(diǎn)N是AE中點(diǎn),點(diǎn)M是AD中點(diǎn)(三線合一),∴MN是△ADE的中位線,∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12,∴DE=BE+CD-BC=5,∴MN=

DE=

.故選D.思路分析

首先證明△BNA≌△BNE,得到BA=BE,即△BAE是等腰三角形,同理可得△CAD是等腰三角形,

根據(jù)題意求出DE,然后根據(jù)三角形中位線定理求得MN的長.解題關(guān)鍵

本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì),掌握三角形的中位線平行于第三邊,并

且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.答案

D∵BN平分∠ABC,BN⊥AE,∴∠NBA=1032.(2019廊坊安次一模,9)如圖,已知△ABC(AC<BC),用尺規(guī)在BC上確定一點(diǎn)P,使PA+PC=BC,則符合要求的

作圖痕跡是

()

答案

D由選項(xiàng)A可得PB=AB,所以BC=AB+PC;由選項(xiàng)B可得PA=PC,所以BC=PB+PA;由選項(xiàng)C可得PC=

AC,所以BC=PB+AC;由選項(xiàng)D可得PB=PA,所以BC=PA+PC.故選D.思路分析

要使PA+PC=BC,只需PA=PB,所以只有作AB的中垂線才能滿足這個條件.2.(2019廊坊安次一模,9)如圖,已知△ABC(AC<B1043.(2019石家莊新華一模,15)如圖,在銳角△ABC中,延長BC到點(diǎn)D,點(diǎn)O是AC邊上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)O作直線

MN∥BC,M、N分別交∠ACB、∠ACD的平分線于E、F兩點(diǎn),連接AE、AF,在下列結(jié)論中:①OE=OF;②CE=CF;③若CE=12,CF=5,則OC的長為6;④當(dāng)AO=CO時,四邊形AECF是矩形.其中正確的是

()

A.①④

B.①②

C.①②③

D.②③④3.(2019石家莊新華一模,15)如圖,在銳角△ABC中,105答案

A∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE,∵M(jìn)N∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∴∠OEC=∠ACE,∴OE=OC,同理可得OC=OF,∴OC=OE=OF,故①正確;∵∠BCD=180°,∴∠ECF=90°,若CE=CF,則∠OEC=∠BCE=45°,∠ACB=90°,與已知矛盾,故②錯誤;∵∠ECF=90°,CE=12,CF=5,∴EF=

=

=13,∴OC=

EF=6.5,故③錯誤;∵OE=OF,OA=OC,∴四邊形AECF是平行四邊形,∵∠ECF=90°,∴四邊形AECF是矩形,故④正確.故選A.答案

A∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE,106思路分析

根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可以證明OE=OC,OC=OF,即可判斷①正確.首先證明∠

ECF=90°,若CE=CF,則∠OEC=∠BCE=45°,顯然不可能,故②錯誤.利用勾股定理可得EF=13,推出OC=

EF=6.5,故③錯誤.根據(jù)矩形的判定方法即可證明④正確.解后反思

對于多個結(jié)論的正確性的判斷問題,需要學(xué)生熟練掌握角平分線的定義,平行線的性質(zhì),矩形的

判定等知識,注意小綜合題在中考復(fù)習(xí)中以一代全的作用.思路分析

根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可以證明OE1074.(2019保定定興一模,11)如圖,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)P是三角形內(nèi)的任意一點(diǎn),PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,

若△ABC的周長為12,則PD+PE+PF=

()

A.12

B.8

C.4

D.34.(2019保定定興一模,11)如圖,△ABC是等邊三角形108答案

C延長EP、FP分別交AB、BC于G、H,由PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,可得四邊形PGBD,EPHC是平行四邊形,∴PG=BD,PE=HC,∵△ABC是等邊三角形,PF∥AC,PD∥AB,∴△PFG,△PDH是等邊三角形,∴PF=PG=BD,PD=DH,又△ABC的周長為12,∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=

×12=4,故選C.

答案

C延長EP、FP分別交AB、BC于G、H,109解題關(guān)鍵

本題主要考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)和等邊三角形的判定及性質(zhì),能否把PD+PE+PF的長

轉(zhuǎn)化為BC的長是解題的關(guān)鍵.解題關(guān)鍵

本題主要考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)和等邊三1105.(2018保定定興二模,7)如圖,將∠BAC沿DE向∠BAC內(nèi)折疊,使AD與A'D重合,AE與A'E重合,若∠A=30°,則

∠1+∠2=()

A.50°

B.60°

C.45°

D.以上都不對答案

B連接AA',∵∠1=∠DAA'+∠DA'A,∠2=∠EAA'+∠EA'A,∴∠1+∠2=∠DAA'+∠DA'A+∠EAA'+∠EA'A=∠DAE+∠DA'E,由折疊可得∠DAE=∠DA'E=30°,∴∠1+∠2=60°,故選B.5.(2018保定定興二模,7)如圖,將∠BAC沿DE向∠B1116.(2018石家莊裕華一模,10)如圖,DE是線段AB的中垂線,AE∥BC,∠AEB=120°,AB=8,則點(diǎn)A到BC的距離是

()

A.4

B.4