線性代數(shù)課件-第62講慣性定理

第62線性代數(shù)59主講 大學(xué)徐小湛教

July第62

July第62高等數(shù)學(xué)138講（優(yōu)酷網(wǎng)線性代數(shù)59講（優(yōu)酷網(wǎng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)70講 傳課考研題評(píng)講 傳課 ::@川大徐小

July第62及線性代數(shù)59講受 各地大學(xué)生的歡 件 課程的 望對(duì)你的學(xué)習(xí)有所幫助 現(xiàn)在我 的課望對(duì)你的學(xué)習(xí)有所幫助大學(xué)徐小(聯(lián) 的著作權(quán)，大學(xué)徐小(聯(lián)

July5.7第62講慣性定理大 徐小優(yōu)酷網(wǎng) 第62《《高等數(shù)學(xué) 和《線性代川大徐小 請(qǐng)?jiān)趦?yōu)酷網(wǎng)搜川大徐小

July第62

July

第62p.130,例f(1x2,x3)2x1x22132x2經(jīng)正交變 1

得標(biāo)準(zhǔn)

徐小 f2y2y2x1 6y1

1

2y)2y2x2

6y2

x

y

3 3四

z3小 6

另一標(biāo)準(zhǔn)

July第62 f(1x2,x3)2x1x22x2x32x2經(jīng)正交變 1

得標(biāo)準(zhǔn)形

徐小 6x1

1 1

y1

x

y

f2 y2 2

6 2x y

3 2 3

2y)y 6

0

z1z2y1 z1

大學(xué)徐小y y 2

0

z2

得另一標(biāo)準(zhǔn)y 1z川四 3 3川四

July第62 f(1x2,x3)2x1x22132x2標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范可以看出

f2y2y2 fz2z2

兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形所含平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)相（都是3項(xiàng)

大學(xué)徐小

July第62二次 f(1x2,x3)2x1x22132x2標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范

f2y2y2 fz2z2 大三個(gè)二次型的矩陣分別

徐小01

2

1 A10

010 010 10

01

0Julyf(1x2,x3)2x1x22132x2

第62f2y2y2

fz2z2 三個(gè)二次型的矩陣分別

大學(xué)徐小01 A10

2 1010 1

1 2010 2 10

00 大學(xué)徐小 第62系數(shù)的項(xiàng)數(shù)也是唯一的

Whythisterm

（慣性定理

Sylvester’slawof準(zhǔn)形中一定恰好有r項(xiàng)非零項(xiàng)。并且假設(shè)有兩x=Cyx=Pzfky2ky2...k flz2lz2...lz2

ProvedProvedk1k2kr中正數(shù)的個(gè)數(shù)l1l2lr中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等（從而負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)也相等）第62ThispropertyisnamedafterJ.J.Sylvesterwhopublisheditsproofin1852

July第62結(jié)果，就是著名的慣性定律(lawofinertia)，化成規(guī)范形，其中的指p是唯一確定的，來被雅可比(Jacobi)重新發(fā)現(xiàn)并證明．

July第 大 集》(Thecollectedmathematicalpapers “不變式”、“判別式”等都是他首先使用的． “不變式”、“判別式”等都是他首先使用的．過《詩(shī)體法則》(Lawsofverse,1870)等著作．他對(duì)

July第62frfky2...ky2 y2

大學(xué)徐小 r小... r小二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)(negativeindex二次型的符號(hào)差

(ki0,i1,...,

July第62fky2...ky2

y2 ...k 大學(xué)徐小

(ki0,i1,...,f(ky)2.(ky)2( )2.(ky 學(xué)fz2...z2z2 ...z2學(xué)

規(guī)范形如果我們約定二次型的規(guī)范形中所有正項(xiàng)位所有負(fù)項(xiàng)之前，則二次型的規(guī)范形是唯一的 第62

大學(xué)徐小下面證明規(guī)范形的唯一性

July設(shè)二次型f(1,...)的秩r，經(jīng)過可逆變換x=Cy和x=Pzfy2...y2y2 ... fz2...z2z2 ...z2

第62

大學(xué)徐小用反證法。假設(shè)p>q,我們來推

July第62fy2...y2y2 ...y2 fz2...z2z2 ...z2

y用反證法。假設(shè)p>q,我們來推 y由假

2...y2y2 ...y2 小z2...z2z2 ...z小 其 zP1xP1Cy

July假設(shè)p>q,我們來推 由假

第62y2...y2y2 ...y2 z2

2

...

其中zP1x z

y

徐小11

z

y

學(xué)徐小n

nn n

Julyz1

k11

y1

第62 z

y

n

nn nk11y1k1nyn齊次線性方程

y

大學(xué)徐小

大

ynJulyk11y1k1nyn y

n個(gè)未知q(np)n(q個(gè)方

yp1

n(qp) yn代入等式(1)

方程組有非零解(y1,...,yp小y 12y20202y2y小y 1大 徐小

大學(xué)徐小

(y1,...,yp代入方程組

代入等式(1)

02...02 ...

...h2 q1 q1

這與等式(1)左 學(xué) 學(xué)

y2...y2大 大

徐小徐小

故p>q不可能同理q>p也不可能。所以p=q，規(guī)范形唯一 第62 大學(xué)徐小

July第62合同于一個(gè)形

大學(xué)EE

徐小

npq 0的矩陣(規(guī)范矩陣 大學(xué)徐小 0

July第62因?yàn)槲覀兛梢杂谜蛔儞Qx=Py將二次f=xTAx化為標(biāo)準(zhǔn)fλy2...λ 其中1,...,λn是A的特

因此，兩個(gè)同階實(shí)對(duì)稱矩陣A與B合同的因此，兩個(gè)同階實(shí)對(duì)稱矩陣A與B合同的分必要條件是A和B的正特征值和負(fù)特征

July

第62

July第62

July1如果1如果n階實(shí)對(duì)稱矩陣按合同關(guān)《高等代數(shù)》223頁(yè)5 因?yàn)槊恳粋€(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣都合同于Ep

大學(xué)徐小

Onpq

大學(xué)徐小

July第62 因?yàn)槊恳粋€(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣都合同于某個(gè)范矩陣Ep

大學(xué)徐小 所以，只需討論有

n On

矩陣大學(xué)徐小正慣性指p可以0n之間的任何數(shù)

July第62p=0時(shí)，q=0,1,…, 共有n+1個(gè)選擇 大 徐小p=n-1時(shí) 共有2個(gè)選擇p=n

有1個(gè)選擇

學(xué)徐小共有12nn11(n1)(n100

July 共n+1個(gè)選擇p=1時(shí)，q=0,1,…,n-1共n個(gè)選擇p=n-1時(shí) 共2個(gè)選擇p=n時(shí) 共1個(gè)選擇

第62共有12nn11(n1)(n2川大個(gè)不同的n階規(guī)范矩陣川大

徐小12(n12(n1)(n2)

July例如，2階實(shí)對(duì)稱矩陣按合同關(guān)系可以分為6大學(xué)徐小

0

0

1 p0,q

p0,q

p0,q 大 0

1

1

徐小第62講慣第62講慣 2p1,q

p1,q

p2,q

July0 0

p

000 000

0 0 q

q q qp

徐小

階實(shí)對(duì)稱矩陣按合同關(guān)系可分為階實(shí)對(duì)稱矩陣按合同關(guān)系可分為2q

q

川大學(xué)徐小qq第62p

0

0

0 1p

0 00

0

1

學(xué) 學(xué)

大

11p 11

p 0

1

1 q

q qJuly2

第62f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx 的秩r,正慣性指數(shù)p和負(fù)慣性指數(shù)q 大 若令yxx,yxx,yxx徐小 大則二次型可化為大則二次型可化為fy2y2

徐小

y1x1y x

1 011化的(不可逆

y

1

July第62f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx r正慣性指p和負(fù)慣性指q： 展 f2x22x22x22x： 211 矩陣：A12 12

大學(xué)徐小湛求A的特征值，即知f的秩及正(負(fù))慣性指學(xué)11學(xué)11112111 1λ1000

July211 矩陣：A12 12

第62求Af的11111111 1λ1000(3λ)

大學(xué)徐小湛

(3λ)[(2λ)(1λ)2](3λ)(λ2大學(xué)徐A的特征值：3,3,

f的秩和正慣性指數(shù)都是2，負(fù)慣性指數(shù)是0July第62題正確的是如A與B等價(jià)，則A與B如A與B等價(jià)，則A與B如A與B相似，則A與B

大學(xué)徐小如A與B合同，則A與B

July第62解對(duì)相似合同等例如 大學(xué)徐小A1

B 0

等 0

0

乘以-1得 川 徐小不相似，因?yàn)樘卣髦?或行列式，或跡川 徐小不合同，因?yàn)檎龖T性指數(shù)不相等

July相似合同

第62兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同，不一定相似，例 A1，

C 大0

02

徐小 合同，因?yàn)橹群驼龖T性指數(shù)相等，都是大學(xué)徐小不相似，因?yàn)樘卣髦?或行列式，或跡)不相

July相似合同等

第62 兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣相似，則一定合同 角線元素為特征值。由合同關(guān)系的傳遞性兩矩陣也合同

大學(xué)徐小

July如A與B等價(jià)，則A與B相似如A與B等價(jià)，則A與B如A與B相似，則A與B合同

第62選大學(xué)徐小如A與B合同，則A與B

July第62大學(xué)大學(xué) 課程 傳 課程 傳課件可在課程學(xué)習(xí)資

July第62

July4

2001年數(shù)學(xué)一考研

第6211140001110B00111000111000A A與

徐小(A)合同且相 (B)合同但不相大(C)不合同但相 (D)不合同且不相似 大

July

第62從而可以判斷兩個(gè)矩陣是否合同和相似大學(xué)徐小湛大學(xué)徐小湛(1)兩個(gè)同階實(shí)對(duì)稱矩陣相似的充分必要條件是 徐小它們有相同的特征值及徐小它們有相同的特征值及重?cái)?shù)(2)(2)兩個(gè)同階實(shí)對(duì)稱矩陣合同

July 1 1

第62A 1 1 Allcolumnssubtractcolumn

1111AλE1111AλE11111111111144114λ41λ 141141100000001111100大 特征 ,,,0大

徐小徐小July 1

B400000000第0000000A

1 1 1

A與對(duì)角陣B相似由特征值可以看出：A與B的秩都是 徐小學(xué)注意：相似的實(shí)對(duì)稱矩陣一定合同 小學(xué)大 徐小

王萼芳

July設(shè)11111111

第62 0 0A

B 11111111

0 0A與

(A)合同(A)合同且(B)合同但不(C)不合同但相

(D)不合同且不相大 徐小

大學(xué)徐小

July5

2007年數(shù)學(xué)一考研

第62

100A

B010 2A與

000

(A)合同，且相 (B)合同，但不相大(C)不合同，但相 (D)既不合同，也不相似 大

July

第62A

100

B 2

0 大 相似矩陣有相同的跡

徐小trA222 trB110 大學(xué)徐小為判斷A與B是否合同，求A的特征值從而知道A的秩與正慣性指數(shù)

July

第62A1

1 大 2

徐小Allrowsaddedtorow

AllcolumnssubtractcolumnAλE

2λ 2λ

λ 2λ 2λ學(xué) 3λ學(xué)

λ(3

大λ3

July

100

第62A

1

B010 2

000與B的特征值1,1,0不同，A與B不相似A的特征值2正，0A和B的秩和正慣性指數(shù)都是

所以A與B合同 大學(xué)徐小

July

第621 0 A

1

1

B0101 2A與(A)合同，且相(C)不合同，但相

0(B)合同(B)合同，但不相(D)不合同，也不相記?。合嗨埔欢ê贤?，合同不一定相似 湛

July2001年數(shù)學(xué)三考研

第62Aij是A=(aij)nxn中元素aij的代 (i,二次

f(

,...x

)

AijxA Ai j大學(xué)徐小湛X=(x1xn)Tf(X寫成矩陣形式，并證明二次型f(X)的矩陣是A-1.同？說明理由 大學(xué)徐小

July第626設(shè)An階實(shí)對(duì)稱矩陣，秩Aij是A=(aij)nxn中元素aij的代 (i,Af(A

,...x)

Aijx二次

i jX=(x1xn)Tf(X寫成矩陣形f(XA-徐小大