二項(xiàng)式定理相關(guān)的公式

2．運(yùn)算性質(zhì)：2．運(yùn)算性質(zhì)：aaammn(m,nZ)，(aaaaa1xa∴∴()=ab= a nnnb,nnb，Tk1nnxnnx運(yùn)算n個(gè)a

a01(a0)

an

1(a0,nN*)an 3．注意①aman可看作aman ∴aman=aman=amna②()n可看作anb

a

4、annam 2 例1求值：83,10012,()3,( 1）a2a,a33a2,aa(式中a＞0)

2)3a4a

3）aaa

a2a3a2

(a0);(2)(325125)45

2,(2)x2x2.回顧(ab)nCn0anCn1an1b1 Cnkankbk Cnn Cnkankbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).(ab)nCn0anCn1an1b1 (1)kCnkankbk (1)nCnn (1)kCnkankbk(1x)nC0

n

(2x)nC1

(2x)n1

(2x)nk

(2x)1anxnan1xn1 ankxnk 0 -1-（2）二項(xiàng)式系數(shù)（2）二項(xiàng)式系數(shù)Cn增減性與最大值：CC]①式中分別令x=1和x=-1，則可以得到C

C1

2n，即二項(xiàng)式系數(shù)和等于2n；

C1

2n1C

nm

n1

n1

nn

n12n

和C

n12n

⑴a0+a1+a2+a3……+an=f(1) ⑵a0-a1+a2-a3……+(-1)nan=f(-1)⑶a0+a2+a4+a6……=f(1)f(1)典例題

⑷a1+a3+a5+a7……=

f(1)f(1)例1．求(3x

3x1)4=

(3x)4

1(3x)3

2(3x)2

3(3x)

【練習(xí)1】求(3x1)4的展開式例2.已知在(3x

nr

1 r ()rx3()Cr r2

n2r

102r

=2，得r2所以所求的系數(shù)為C2()2

-2-解：由題意知，解：由題意知，22n2(2(2x)10r()(1)2210rC.已知.已知(3xx)的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x1)的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和大992，求(2x)的展開 2n 22nC10(2x)()8064.CC2Cr111r2r得得2CrCr1，即 2(r1)10r CC(2)CC(2)x3的系數(shù)應(yīng)為：C7(2)6C7(2)41008,填1008。

102r

k(kZ)，則r5

，故k可以取2,0,2，即r可以取2，5，8. 【練習(xí)2】若(x24x

n （1）(1)由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，(2x)10的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.T （2）設(shè)第r1項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大， r1

r10

r

r

Cr210r10Cr210r

Cr1211rCr129r

r ，解得r

C327x415360x4.10[練習(xí)3]已知(x

6；②第一個(gè)因式中取出1，則第二個(gè)因式中必出x3，其系數(shù)為6

例5（04安徽改編）(x

12)3的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是

解：(x 2)3[

]3

x3

C3

，即20-3-CC(r)C(1)a1xa2x2a3x3a4x4，則(aC (x)和和Can1bCCab。r解：記第解：記第r項(xiàng)系數(shù)為Tr，設(shè)第k項(xiàng)系數(shù)最大，則有T CC.2 C.277xy 4例6求（x3

10r1

r

(

(x)5(

)5當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(ab)n的展開式的中間項(xiàng)是C

n1a2b

n1

n1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(ab)n的展開式的中間項(xiàng)是 有理項(xiàng)

(x3

10

r 10r(1r r r1 求系數(shù)最大或最小項(xiàng) r1

r

rr為C5

(1)5462

求(x24x

)

r

C

r1.2r1k1 k18 k1 k18

即 (K2)!.(10K)! 2

1 K1K2 9K 解得3k4，系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)T

解：求系數(shù)絕對(duì)最大問題都可以將“(ab)n”型轉(zhuǎn)化為"(ab)n"型來處理，

3

，和第5項(xiàng)C5x2y5。例11．若(2x3)4a aa)2(aa)2的值為 -4-解：解：(2x3)令令x1，有(23)，，令x1，有(23)a1xa2x2...2004x2004，令x1，有(12)...a2004)2003a0=120032004...a1xaCCnxCnx...Cnx， n 當(dāng)x的絕對(duì)值與1相比很小且n很大時(shí)，x,x,....x 4a

a1xa2x2a3x3a4x44aaaaa 4(aaa)(aa) 故原式=(aaaaa).[(aaa)(aa)]=(23)4.(23)4=(1)41 【練習(xí)1】若(12x)2004a

a1xa2x2...2004x2004，則(aa)(aa)...(aa ) 2004a 2004aaa...a 令x0，有(10)2004a0

1故原式=(a

a

a【練習(xí)2】設(shè)(2x1)6a6x6

a5x5

，則a

a

a

...ar1

r

(2x)

6r

r

a

a

a

...a

a

a

a

a

a

a

a=(aaaa)(aaa)=1 10利用二項(xiàng)式定理求近似值分析：因?yàn)?.9986=(10.002)6，故可以用二項(xiàng)式定理展開計(jì)算。解：0.9986=(10.002)6=16.(0.002)