2020高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習(xí)課講義 2-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精模塊復(fù)習(xí)課一、常用邏輯用語(yǔ)1．充分條件與必要條件（1）若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)若p?q，則p是q的充要條件．（3)若p?q，qp，則p是q的充分不必要條件．(4）若pq，q?p，則p是q的必要不充分條件．(5)若pq，qp，則p是q的既不充分也不必要條件．2．全稱命題與存在性命題的否定（1)全稱命題的否定p：?x∈M，p（x)．綈p：?x∈M，綈p(x)．（2)存在性命題的否定p：?x∈M,p(x）．綈p：?x∈M，綈p（x)．二、圓錐曲線與方程1．橢圓（1）橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于｜F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上：eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2,b2）＝1(a>b>0），焦點(diǎn)在y軸上:eq\f(y2，a2)＋eq\f(x2,b2）＝1(a〉b〉0）．(3）橢圓的幾何性質(zhì)①范圍：對(duì)于橢圓eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2，b2)＝1（a>b〉0），－a≤x≤a，－b≤y≤b。②對(duì)稱性：橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2，b2）＝1或eq\f（y2,a2)＋eq\f（x2,b2)＝1（a>b〉0),關(guān)于x軸，y軸及原點(diǎn)對(duì)稱．③頂點(diǎn)：橢圓eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(－a，0），A2(a,0），B1(0，－b），B2(0，b)．④離心率：e＝eq\f(c，a)，離心率的范圍是e∈(0，1）．⑤a,b,c的關(guān)系：a2＝b2＋c2.2．雙曲線（1）雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于｜F1F2(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上：eq\f(x2，a2）－eq\f（y2，b2)＝1（a>0，b>0），焦點(diǎn)在y軸上:eq\f（y2，a2）－eq\f(x2，b2)＝1(a>0，b>0)；(3)雙曲線的幾何性質(zhì)①范圍：對(duì)于雙曲線eq\f（y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a>0，b>0)，y≥a或y≤－a，x∈R,②對(duì)稱性：雙曲線eq\f(x2，a2)－eq\f（y2,b2）＝1或eq\f（y2，a2）－eq\f（x2，b2）＝1(a〉0，b〉0）關(guān)于x軸，y軸及原點(diǎn)對(duì)稱．③頂點(diǎn)：雙曲線eq\f（x2,a2）－eq\f(y2,b2）＝1(a〉0，b>0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(－a,0)，A2（a,0），雙曲線eq\f(y2，a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a〉0，b>0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1′(0，－a)，A2′(0,a），④漸近線：雙曲線eq\f（x2，a2）－eq\f(y2，b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b，a）x，雙曲線eq\f(y2,a2）－eq\f(x2,b2）＝1（a>0，b>0）的漸近線方程為y＝±eq\f(a，b）x。⑤離心率:e＝eq\f（c,a),雙曲線離心率的取值范圍是e∈（1,＋∞），⑥a，b,c的關(guān)系：c2＝a2＋b2。3．拋物線（1)拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．(2）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上:y2＝±2px（p>0），焦點(diǎn)在y軸上：x2＝±2py（p〉0)．（3）拋物線的幾何性質(zhì)①范圍：對(duì)于拋物線x2＝2py（p〉0)，x∈R,y∈[0，＋∞）．②對(duì)稱性：拋物線y2＝±2px(p〉0），關(guān)于x軸對(duì)稱,拋物線x2＝±2py（p〉0)，關(guān)于y軸對(duì)稱．③頂點(diǎn):拋物線y2＝±2px和x2＝±2py(p〉0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0)．④離心率：拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比叫做拋物線的離心率,由拋物線的定義知e＝1。三、空間向量與立體幾何1．空間向量及其運(yùn)算(1）共線向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0),(2)P，A，B三點(diǎn)共線?eq\o（OP,\s\up8(→)）＝xeq\o(OA,\s\up8(→）)＋yeq\o(OB，\s\up8（→)）(x＋y＝1），（3)共面向量定理:p與a,b共面?p＝xa＋yb,(4）P,A，B,C四點(diǎn)共面?eq\o(OP,\s\up8（→））＝xeq\o(OA，\s\up8(→)）＋yeq\o(OB，\s\up8（→)）＋zeq\o（OC，\s\up8(→）)(x＋y＋z＝1),(5)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組｛x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．(6）空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3）,b＝(b1，b2,b3),則①a±b＝（a1±b1,a2±b2，a3±b3),②λa＝（λa1，λa2，λa3)，③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3,④a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，⑤a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，⑥|a|＝eq\r(a·a）＝eq\r（a\o\al(2,1）＋a\o\al(2,2)＋a\o\al（2，3)），⑦cos〈a，b〉＝eq\f（a·b，|a｜|b|)＝eq\f（a1b1＋a2b2＋a3b3，\r(a\o\al（2,1)＋a\o\al(2,2）＋a\o\al(2,3））\r(b\o\al（2，1）＋b\o\al（2，2）＋b\o\al（2,3）)），⑧若A（x1，y1，z1）,B（x2,y2，z2)，則eq\o(AB，\s\up8（→)）＝（x2－x1，y2－y1，z2－z1），｜eq\o(AB，\s\up8（→)）|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12）.2．立體幾何中的向量方法（1）異面直線所成的角兩條異面直線所成的角為θ，兩條異面直線的方向向量分別為a，b，則cosθ＝｜c(diǎn)os<a，b>｜＝eq\f（|a·b|，｜a|｜b|),(2）直線與平面所成的角直線與平面所成的角為θ，直線的方向向量為a，平面的法向量為n,則sinθ＝｜c(diǎn)os<a,n>｜＝eq\f(｜a·n|,|a||n｜）(3）二面角二面角為θ，n1，n2為兩平面的法向量,則|cosθ|＝|cos<n1，n2〉｜＝eq\f（|n1·n2|，｜n1||n2｜）1．使a>b成立的充分不必要條件是a>b－1.(×）a>b－1a>b。2．當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件．（√)3．“全等三角形的面積相等”是存在性命題．（×）4．命題p:?x∈（0，＋∞)，則x2＋2x＋1〉0，則綈p為：?x∈（－∞，0]，使x2＋2x＋1≤0.（×)［提示］綈p應(yīng)為?x∈(0，＋∞),使x2＋2x＋1≤0.5．命題“菱形的兩條對(duì)角線相等”是全稱命題且是真命題．(×）［提示]此命題是全稱命題，但是是假命題．6．“x>6”是“x>1"的充分不必要條件．(√)［提示］x>6?x>1，但x>1x>6.7．平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓．（×)8．橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為a＋c，最小距離為a－c。（√)[提示］橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離有最大值或最小值．9．已知F1(－4,0)，F(xiàn)2（4，0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓．（×）［提示］|F1F2｜＝8，故點(diǎn)的軌跡是線段F1F10．橢圓2x2＋3y2＝12的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±eq\r（2）)．（×）［提示]橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,6）＋eq\f（y2，4)＝1，c2＝a2－b2＝2，故橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±eq\r（2）,0）．11．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2，25）＋eq\f（y2，m2）＝1（m>0），焦距為6,則實(shí)數(shù)m的值為4。（×）[提示]當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由25－m2＝9得m＝4，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m2－25＝9得m＝eq\r（34)。12．已知F1(－4,0）,F2(4,0）,動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1｜－｜PF2｜＝8，則點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支．(×）［提示］點(diǎn)P的軌跡是一條射線．13．“0≤k〈3”是方程eq\f(x2，k＋1)＋eq\f（y2，k－5)＝1表示雙曲線的充要條件．（×）［提示］當(dāng)0≤k<3時(shí)，方程eq\f（x2，k＋1)＋eq\f（y2,k－5)＝1表示雙曲線，若方程eq\f（x2，k＋1）＋eq\f(y2，k－5）＝1表示雙曲線，則有（k＋1）(k－5）<0，即－1〈k〈5，故原命題錯(cuò)誤．14．雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)為2.(×）[提示］雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2，4）－eq\f（y2,8)＝1，因此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4。15．等軸雙曲線的漸近線相同．(√)［提示］等軸雙曲線的漸近線方程都是y＝±x。16．到定點(diǎn)和定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線．（×）［提示]當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)點(diǎn)的軌跡是一條直線．17．拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4）)）。（×)[提示]拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,2）y,故焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（1，8）)）.18．拋物線y2＝2px(p〉0)中過(guò)焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為2p。(√)［提示]拋物線中通徑是最短的弦長(zhǎng)．19．拋物線y＝ax2（a≠0）的準(zhǔn)線方程為y＝2,則實(shí)數(shù)a的值是eq\f（1，8）。(×）［提示］拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f（1,a)y，則－eq\f（1,4a）＝2，解得a＝－eq\f（1，8).20．AB為拋物線y2＝2px(p＞0）的過(guò)焦點(diǎn)Feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（p,2），0)）的弦,若A(x1，y1)，B(x2，y2），則｜AB｜＝x1＋x2＋p.(√）21．若空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C滿足eq\o(OP,\s\up8（→））＝eq\f(1，2)eq\o(OA,\s\up8（→））＋eq\f(3，2)eq\o（OB，\s\up8（→）)－eq\o（OC，\s\up8（→))，則點(diǎn)P與A，B，C共面．(√)［提示]eq\f(1,2)＋eq\f（3,2)－1＝1，故四點(diǎn)共面．22．a(chǎn)，b為空間向量，則cos<a，b>＝cos〈b，a〉．（√)［提示]<a，b〉＝〈b，a〉，則cos<a，b〉＝cos〈b,a>．23．兩個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面的法向量也垂直．(√)［提示]由平面法向量的定義可知．24．直線與平面垂直，則直線的方向向量與平面的法向量垂直．（×)[提示］直線的方向向量與平面的法向量平行．25．若向量e1，e2,e3是三個(gè)不共面的向量，且滿足k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，則k1＝k2＝k3＝0.(√)［提示］假設(shè)k1≠0,則e1＝－eq\f(k2，k1)e2－eq\f（k3，k1）e3，則e1，e2，e3共面．26．若直線的方向向量與平面的法向量所成的角為150°,則直線與平面所成的角為30°。（×）［提示]直線與平面所成的角為60°。27．若直線與平面所成的角為0°，則直線在平面內(nèi)．(×)［提示］直線與平面也可能平行．28．兩個(gè)平面的法向量所成的角為120°，則兩個(gè)平面所成的二面角也是120°.(×)［提示]二面角的度數(shù)是120°或60°.29．兩條異面直線所成的角為30°，則兩條直線的方向向量所成的角可能是150°.（√）[提示]根據(jù)向量所成角的定義知正確．30．若二面角是30°，則在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)與二面角的棱垂直的直線的方向向量所成的角也是30°。(×)［提示］在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量所成的角是30°或150°.1．（2018·全國(guó)卷Ⅱ)雙曲線eq\f（x2，a2）－eq\f（y2,b2）＝1（a〉0,b>0)的離心率為eq\r（3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r（2)x B．y＝±eq\r(3）xC．y＝±eq\f(\r(2），2)x D．y＝±eq\f(\r（3),2）xA[因?yàn)殡p曲線的離心率為eq\r(3)，所以eq\f(c，a）＝eq\r（3），即c＝eq\r(3)a.又c2＝a2＋b2，所以(eq\r（3）a）2＝a2＋b2,化簡(jiǎn)得2a2＝b2,所以eq\f（b,a）＝eq\r（2）.因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b，a）x，所以y＝±eq\r(2)x。故選A]2．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)（－2,0）且斜率為eq\f(2，3）的直線與C交于M，N兩點(diǎn),則eq\o(FM，\s\up8(→）)·eq\o（FN，\s\up8(→））＝（）A．5 B．6C．7 D．8D[法一:過(guò)點(diǎn)（－2，0）且斜率為eq\f(2，3)的直線的方程為y＝eq\f(2,3)（x＋2）,由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝\f(2，3)x＋2,,y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，，y＝2))或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝4,,y＝4,）)不妨設(shè)M（1，2)，N(4,4），易知F(1，0)，所以eq\o(FM,\s\up8（→））＝（0,2),eq\o（FN,\s\up8（→））＝(3，4)，所以eq\o（FM，\s\up8(→）)·eq\o（FN，\s\up8（→)）＝8.故選D。法二：過(guò)點(diǎn)（－2，0）且斜率為eq\f（2，3）的直線的方程為y＝eq\f(2，3)（x＋2），由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝\f(2，3)x＋2，，y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，設(shè)M(x1，y1），N(x2，y2），則y1＞0，y2＞0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以eq\o(FM，\s\up8(→））＝（x1－1，y1)，eq\o(FN，\s\up8(→)）＝（x2－1，y2)，所以eq\o(FM,\s\up8（→)）·eq\o（FN，\s\up8（→)）＝(x1－1)(x2－1）＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4eq\r(x1x2)＝4－5＋1＋8＝8.故選D.］3．（2018·全國(guó)卷Ⅱ)在長(zhǎng)方體ABCD.A1B1C1D1中，AB＝BC＝1,AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（)A.eq\f（1,5） B.eq\f（\r(5)，6)C。eq\f(\r（5），5） D。eq\f（\r(2),2）C[法一：如圖，補(bǔ)上一相同的長(zhǎng)方體CDEF-C1D1E1F1，連接DE1,B1E1。易知AD1∥DE1，則∠B1DE1為異面直線AD1與DB1所成角．因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD。A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r（3),所以DE1＝eq\r(DE2＋EE\o\al（2，1)）＝eq\r（12＋\r(3）2)＝2，DB1＝eq\r（12＋12＋\r(3)2）＝eq\r（5），B1E1＝eq\r(A1B\o\al（2,1）＋A1E\o\al(2，1)）＝eq\r（12＋22)＝eq\r(5），在△B1DE1中，由余弦定理得cos∠B1DE1＝eq\f（22＋\r(5)2－\r（5)2，2×2×\r（5)）＝eq\f(\r（5），5),即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f（\r（5)，5)，故選C。法二：如圖，連接BD1，交DB1于O,取AB的中點(diǎn)M,連接DM，OM,易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角．因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD。A1B1C1D1中，AB＝BC＝1,AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r（AD2＋DD\o\al（2,1））＝2,DM＝eq\r（AD2＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)AB)）2)＝eq\f（\r（5)，2)，DB1＝eq\r（AB2＋AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r（5)，所以O(shè)M＝eq\f（1,2)AD1＝1，OD＝eq\f（1，2)DB1＝eq\f（\r（5）,2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（5），2)）)2－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（5），2))）2，2×1×\f（\r(5），2)）＝eq\f（\r（5)，5),即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f（\r（5)，5），故選C.法三：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示．由條件可知D（0，0，0），A（1，0,0），D1（0，0，eq\r(3）)，B1（1，1，eq\r(3）),所以eq\o(AD1,\s\up8（→))＝（－1，0，eq\r（3)），eq\o（DB1,\s\up8（→))＝(1,1，eq\r（3)),則由向量夾角公式，得cos〈eq\o（AD1,\s\up8（→)），eq\o(DB1,\s\up8(→）)〉＝eq\f（\o(AD1，\s\up8（→））·\o（DB1，\s\up8(→)）,｜\o（AD1，\s\up8(→）)|·｜\o(DB1,\s\up8（→)）|）＝eq\f(2，2\r（5））＝eq\f(\r(5),5），即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f（\r（5），5），故選C.]4．(2018·全國(guó)卷Ⅰ）已知雙曲線C：eq\f（x2，3)－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N。若△OMN為直角三角形，則｜MN｜＝（）A．eq\f(3，2) B．3C．2eq\r(3) D．4B［因?yàn)殡p曲線eq\f(x2，3）－y2＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r（3），3)x，所以∠MON＝60°。不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線與直線y＝eq\f（\r（3),3）x交于點(diǎn)M，由△OMN為直角三角形，不妨設(shè)∠OMN＝90°,則∠MFO＝60°，又直線MN過(guò)點(diǎn)F（2,0)，所以直線MN的方程為y＝－eq\r（3）(x－2)，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝－\r（3）x－2，,y＝\f(\r(3),3）x，)）得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（3，2）,,y＝\f（\r(3），2)，))所以Meq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3,2),\f(\r（3）,2）)）,所以｜OM|＝eq\r（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3，2))）2＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3），2))）2）＝eq\r(3），所以|MN｜＝eq\r（3）|OM|＝3，故選B.]5．（2018·全國(guó)卷Ⅲ）已知點(diǎn)M（－1，1)和拋物線C:y2＝4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°,則k＝________.［解析］法一:由題意知拋物線的焦點(diǎn)為（1，0）,則過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線方程為y＝k（x－1)（k≠0）,由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，，y2＝4x))消去y得k2（x－1）2＝4x，即k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0。設(shè)A（x1，y1)，B（x2，y2），則x1＋x2＝eq\f（2k2＋4,k2)，x1x2＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝kx－1，,y2＝4x））消去x得y2＝4eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，k）y＋1）)，即y2－eq\f（4,k)y－4＝0，則y1＋y2＝eq\f（4,k），y1y2＝－4。由∠AMB＝90°，得eq\o(MA,\s\up8(→))·eq\o(MB,\s\up8（→))＝(x1＋1，y1－1）·（x2＋1，y2－1）＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－（y1＋y2）＋1＝0，將x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2），x1x2＝1與y1＋y2＝eq\f(4，k)，y1y2＝－4代入，得k＝2.法二:設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，A（x1,y1),B(x2，y2）,則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y\o\al(2,1)＝4x1,y\o\al(2,2）＝4x2,））所以yeq\o\al（2,1）－yeq\o\al(2，2）＝4(x1－x2)，則k＝eq\f（y1－y2，x1－x2）＝eq\f(4，y1＋y2）.取AB的中點(diǎn)M′(x0，y0）,分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足分別為A′，B′，又∠AMB＝90°，點(diǎn)M在準(zhǔn)線x＝－1上，所以｜MM′｜＝eq\f(1，2）|AB｜＝eq\f（1，2）（|AF|＋|BF｜)＝eq\f（1,2)（｜AA′|＋｜BB′｜)．又M′為AB的中點(diǎn)，所以MM′平行于x軸，且y0＝1,所以y1＋y2＝2，所以k＝2。[答案］26．(2018·全國(guó)Ⅰ卷）如圖，四邊形ABCD為正方形,E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn),以DF為折痕把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF.（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；（2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值．［解］（1）由已知可得，BF⊥PF,BF⊥EF，又PF?平面PEF,EF?平面PEF，且PF∩EF＝F,所以BF⊥平面PEF。又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD。（2)作PH⊥EF，垂足為H。由（1）得,PH⊥平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn),eq\o(HF,\s\up8(→））的方向?yàn)閥軸正方向,|eq\o(BF，\s\up8(→）)｜為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz.由（1)可得，DE⊥PE。又DP＝2，DE＝1,所以PE＝eq\r（3）.又PF＝1，EF＝2,PF2＋PE2＝EF2，故PE⊥PF.可得PH＝eq\f（\r(3),2)，EH＝eq\f（3,2）.則H(0,0，0），Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，0,\f（\r(3），2))），Deq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－1,－\f(3,2），0）),eq\o（DP，\s\up8(→))＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1