材料力學(xué)之靜不定系統(tǒng)

材料力學(xué)之靜不定系統(tǒng)第一頁，共36頁?！?1-1靜不定系統(tǒng)的概念目錄§11-2變形比較法§11-3力法.正則方程第二頁，共36頁。§11-1靜不定系統(tǒng)的概念

1.靜定和靜不定系統(tǒng)：

由靜力平衡方程可以求得全部未知力的結(jié)構(gòu)

稱為靜定結(jié)構(gòu)或靜定系統(tǒng)。

由靜力平衡方程不能求得全部未知力的結(jié)構(gòu)

稱為靜不定結(jié)構(gòu)或靜不定系統(tǒng)。一.基本概念：

2.靜不定次數(shù)：未知約束反力的數(shù)目與靜力學(xué)平衡方程的數(shù)目之差。

3.基本靜定系：

解除多余約束，代以多余約束反力，從而使得靜不定梁在形式上轉(zhuǎn)變成靜定梁，這種形式上的靜定系統(tǒng)稱為

原靜不定系統(tǒng)的基本靜定系。第三頁，共36頁?！?1-2變形比較法2.舉例說明：一.疊加法：(1)建立基本靜定系1.求解步驟：(2)將基本靜定系分解成各個(gè)載荷單獨(dú)作用情況的疊加，并求出各種情況下的某特殊位置（多余約束處）的變形量。(3)建立變形協(xié)調(diào)條件，求出未知約束反力。第四頁，共36頁。例1：試求圖示靜不定梁的約束反力：qBL第五頁，共36頁。（1）建立基本靜定系統(tǒng)如圖<a>所示（2）將圖<a>分解成圖<b>和圖<c>兩種情況的疊加圖中：解：qRBB(a)fBqq(b)RBB(C)(fB)RB第六頁，共36頁。（3）建立變形協(xié)調(diào)條件：因B點(diǎn)實(shí)際為一活動(dòng)鉸支座，故

即：

總結(jié)：疊加法解題，思路較為清晰，其中的各基本變形量的求解方法也較為靈活，但當(dāng)梁上載荷較多時(shí)，基本變形量較多，求解過程則相對(duì)較為復(fù)雜。故對(duì)多載荷作用的梁的靜不定問題不宜采用。第七頁，共36頁。二.能量法

（能量法中以卡氏定理求解靜不定問題特點(diǎn)較為突出，下面以卡氏定理為例進(jìn)行說明）1．步驟：

（1）建立基本靜定系

（2）求解彎矩方程

及

對(duì)多余約束的約束反力的偏導(dǎo)的位移。，并利用卡氏定理求出特殊位置處（多余約束處）（3）建立變形協(xié)調(diào)條件，確定多余約束束反力。

2．舉例說明——仍以上例為例進(jìn)行說明第八頁，共36頁。如圖：根據(jù)卡氏定理：

（1）建立基本靜定系如圖所示：（2）求解

及

解：qRBBx第九頁，共36頁。（3）建立變形協(xié)調(diào)條件并確定由于B點(diǎn)實(shí)際為一活動(dòng)鉸，故即：

（所求數(shù)值為正，說明RB的實(shí)際作用方向與假設(shè)方向一致）總結(jié)：同疊加法比較，利用卡氏定理求解fB

要比用疊加法求fB

要簡單，尤其在作用較多載荷時(shí)，故一般情況下，建議采用該種方法來求解彎曲靜不定問題。

目錄第十頁，共36頁。§11-3用力法解靜不定系統(tǒng)一．力法及正則方程的概念舉例說明：曲桿如圖a所示，試求支座B的約束反力完第十一頁，共36頁。第十二頁，共36頁。解：（一）建立基本靜定系如圖b所示。（二）將靜定系分解成圖C和圖e兩種情況的疊加若B點(diǎn)的豎向位移用表示，則：——（1）如圖d所示，若以

單位力時(shí)的豎向位移，因在線彈性范圍內(nèi)，位移與力成正比，故表示曲桿在B點(diǎn)處作用垂直向上的是單位力的倍，相應(yīng)地也應(yīng)該是的倍，即：——（2）

代（2）入（1）式可得：——（3）第十三頁，共36頁。（三）建立變形協(xié)調(diào)條件，并確定

因B點(diǎn)原為一活動(dòng)鉸支座，故即：——（4）

從而：式（4）所表示的標(biāo)準(zhǔn)式的方程式即為力法的正則方程，而上述的解題過程中以“力”為基本未知量，由變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程

的方法稱為力法。第十四頁，共36頁。二.典型例題分析：例11—1：圖a所示為經(jīng)過加固的橋式起重機(jī)大梁的計(jì)算簡圖，若作用于一根大梁上的吊重為P，試求水平拉桿CD因P而增加的內(nèi)力。第十五頁，共36頁。第十六頁，共36頁。、（三）求

由于：N=0，N1=0，且AC、BD

段

故：

——（1）

（一）建立基本靜定系如圖b所示。（二）作出僅在P力作用下的彎矩圖M圖及僅在單位力作用下的AB梁的M0圖及N0圖和CD桿的圖。

解：第十七頁，共36頁?！?2)第十八頁，共36頁。（四）建立正則方程：1.因CD桿為一連續(xù)桿，故

，從而正則方程應(yīng)為：

代入結(jié)果（1）（2）得：

討論：上式分母中的第2項(xiàng)下，因

為梁軸力的影響，一般情況大的影響。，故將其省略并不會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生很第十九頁，共36頁。例11—2：計(jì)算圖a所示桁架各桿的內(nèi)力，設(shè)各桿的材料相同，截面面積相等。

第二十頁，共36頁。（二）求出基本靜定系分別在P及單位力作用下的各桿軸力及有關(guān)數(shù)據(jù)見下表。（一）建立基本靜定系如圖b所示。以4桿為多余約束，假設(shè)將其切開，并代以多余約束力解：第二十一頁，共36頁。桿件編號(hào)NiNi0LiNiNi0LiNi0Ni0LiNiP=Ni+Ni0x11-P1a-Paa-P/22-P1a-Paa-P/2301a0aP/2401a0aP/25600第二十二頁，共36頁。

（三）應(yīng)用莫爾定理求

——（1）

——（2）（四）建立正則方程：

因4桿為一連續(xù)桿，故正則方程應(yīng)為：第二十三頁，共36頁。代入結(jié)果（1）（2）得：

由于

故可將及表中的有關(guān)數(shù)據(jù)代入即可求得各桿軸力。附：多次靜不定系統(tǒng)的正則方程：舉例說明：例11—3：圖a為一二次靜不定梁，試求其正則方程：第二十四頁，共36頁。（二）求

具體結(jié)果可根據(jù)莫爾定理或卡氏定理求得。的物理意義分別如圖c、d、e所示，（一）建立基本靜定系如圖b所示：解：第二十五頁，共36頁。（三）確定正則方程：如圖c、d、e所示：B點(diǎn)沿X2方向的位移：B點(diǎn)沿X1方向的位移:根據(jù)約束B的特點(diǎn)：

故：

——所求的正則方程第二十六頁，共36頁。上述方程組可寫成矩陣的形式：根據(jù)位移互等定理，容易證明：

故上述矩陣中獨(dú)立的系數(shù)只有4個(gè)，而系數(shù)矩陣本身則為一對(duì)稱矩陣。注：

根據(jù)上述原理可以將力法推廣到n個(gè)多余約束的靜不定系統(tǒng)，此時(shí)的正則方程應(yīng)為：第二十七頁，共36頁。矩陣形式為：

第二十八頁，共36頁。由對(duì)稱性知：A、B截面上剪力為零解：變形協(xié)調(diào)條件:例11—4：求圖示圓環(huán)的最大彎矩Mmax。EI為常量。第二十九頁，共36頁。MMPRMMMEIsMPREIRREIMPRMPRPRAAsAAA()(cos)()(cos).jjjqjjpppp=--===--=--?è???÷é?êêù?úú==-?è???÷=òò31131333320333201000003dd第三十頁，共36頁。第三十一頁，共36頁。例11—5：圖示小曲率桿在力偶m與均勻分布剪流q作用下處于平衡狀態(tài)，已知q、R與EI=常數(shù)，試求A截面的剪力、彎矩和軸力。解：第三十二頁，共36頁。例11—6：平面框架受切向分布載荷q作用，求A截面的剪力、彎矩和軸力。解：第三十三頁，共36頁。思考題11—1：試求圖示平面剛架