線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例

線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例1基因間“距離”的表示在ABO血型的人們中，對(duì)各種群體的基因的頻率進(jìn)行了研究。如果我們把四種等位基因A1，A2，B，O區(qū)別開，有人報(bào)道了如下的相對(duì)頻率，見表1.1。表1.1基因的相對(duì)頻率愛斯基摩人f1i班圖人f2i英國(guó)人f3i朝鮮人f4iA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合計(jì)1.0001.0001.0001.000問題一個(gè)群體與另一群體的接近程度如何？換句話說，就是要一個(gè)表示基因的“距離”的合宜的量度。解有人提出一種利用向量代數(shù)的方法。首先，我們用單位向量來表示每一個(gè)群體。為此目的，我們?nèi)∶恳环N頻率的平方根，記.由于對(duì)這四種群體的每一種有，所以我們得到.這意味著下列四個(gè)向量的每個(gè)都是單位向量.記在四維空間中，這些向量的頂端都位于一個(gè)半徑為1的球面上.現(xiàn)在用兩個(gè)向量間的夾角來表示兩個(gè)對(duì)應(yīng)的群體間的“距離”似乎是合理的.如果我們把a(bǔ)1和a2之間的夾角記為θ，那么由于|a1|=|a2|=1，再由內(nèi)只公式，得而故得°.按同樣的方式，我們可以得到表1.2.表1.2基因間的“距離”愛斯基摩人班圖人英國(guó)人朝鮮人愛斯基摩人0°23.2°16.4°16.8°班圖人23.2°0°9.8°20.4°英國(guó)人16.4°9.8°0°19.6°朝鮮人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可見，最小的基因“距離”是班圖人和英國(guó)人之間的“距離”，而愛斯基摩人和班圖人之間的基因“距離”最大.2Euler的四面體問題問題如何用四面體的六條棱長(zhǎng)去表示它的體積？這個(gè)問題是由Euler（歐拉）提出的.解建立如圖2.1所示坐標(biāo)系，設(shè)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（a1,b1,c1）,(a2,b2,c2)和（a3,b3,c3），并設(shè)四面體O-ABC的六條棱長(zhǎng)分別為由立體幾何知道，該四面體的體積V等于以向量組成右手系時(shí)，以它們?yōu)槔獾钠叫辛骟w的體積V6的EQ\F(1,6).而于是得將上式平方，得根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有于是（2.1）由余弦定理，可行同理將以上各式代入（2.1）式，得（2.2）這就是Euler的四面體體積公式.例一塊形狀為四面體的花崗巖巨石，量得六條棱長(zhǎng)分別為l=10m,m=15m,n=12m,p=14m,q=13m,r=11m.則代入（2.1）式，得于是即花崗巖巨石的體積約為195m3.古埃及的金字塔形狀為四面體，因而可通過測(cè)量其六條棱長(zhǎng)去計(jì)算金字塔的體積.3動(dòng)物數(shù)量的按年齡段預(yù)測(cè)問題問題某農(nóng)場(chǎng)飼養(yǎng)的某種動(dòng)物所能達(dá)到的最大年齡為15歲，將其分成三個(gè)年齡組：第一組，0～5歲；第二組，6～10歲；第三組，11～15歲.動(dòng)物從第二年齡組起開始繁殖后代，經(jīng)過長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)，第二組和第三組的繁殖率分別為4和3.第一年齡和第二年齡組的動(dòng)物能順利進(jìn)入下一個(gè)年齡組的存活率分別為EQ\F(1,2)和EQ\F(1,4).假設(shè)農(nóng)場(chǎng)現(xiàn)有三個(gè)年齡段的動(dòng)物各100頭，問15年后農(nóng)場(chǎng)三個(gè)年齡段的動(dòng)物各有多少頭？問題分析與建模因年齡分組為5歲一段，故將時(shí)間周期也取為5年.15年后就經(jīng)過了3個(gè)時(shí)間周期.設(shè)表示第k個(gè)時(shí)間周期的第i組年齡階段動(dòng)物的數(shù)量（k=1，2，3；i=1，2，3）.因?yàn)槟骋粫r(shí)間周期第二年齡組和第三年齡組動(dòng)物的數(shù)量是由上一時(shí)間周期上一年齡組存活下來動(dòng)物的數(shù)量，所以有又因?yàn)槟骋粫r(shí)間周期，第一年齡組動(dòng)物的數(shù)量是由于一時(shí)間周期各年齡組出生的動(dòng)物的數(shù)量，所以有于是我們得到遞推關(guān)系式：用矩陣表示則其中則有結(jié)果分析15年后，農(nóng)場(chǎng)飼養(yǎng)的動(dòng)物總數(shù)將達(dá)到16625頭，其中0～5歲的有14375頭，占86.47%，6～10歲的有1375頭，占8.27%，11～15歲的有875頭，占5.226%.15年間，動(dòng)物總增長(zhǎng)16625-3000=13625頭，總增長(zhǎng)率為13625/3000=454.16%.注要知道很多年以后的情況，可通過研究式中當(dāng)趨于無窮大時(shí)的極限狀況得到.關(guān)于年齡分布的人口預(yù)測(cè)模型我們將人口按相同的年限（比如5年）分成若干年齡組，同時(shí)假設(shè)各年齡段的田、女人口分布相同，這樣就可以通過只考慮女性人口來簡(jiǎn)化模型.人口發(fā)展隨時(shí)間變化，一個(gè)時(shí)間周期的幅度使之對(duì)應(yīng)于基本年齡組間距（如先例的5年），令是在時(shí)間周期k時(shí)第i個(gè)年齡組的（女性）人口，i=1,2,…,n.用1表示最低年齡組，用n表示最高年齡組，這意味著不考慮更大年齡組人口的變化.假如排除死亡的情形，那么在一個(gè)周期內(nèi)第i個(gè)年齡組的成員將全部轉(zhuǎn)移到i+1個(gè)年齡組.但是，實(shí)際上必須考慮到死亡率，因此這一轉(zhuǎn)移過程可由一存活系數(shù)所衰減.于是，這一轉(zhuǎn)移過程可由下述議程簡(jiǎn)單地描述：其中是在第i個(gè)年齡組在一個(gè)周期的存活率，因子可由統(tǒng)計(jì)資料確定.惟一不能由上述議程確定的年齡組是其中的成員是在后面的周期內(nèi)出生的，他們是后面的周期內(nèi)成員的后代，因此這個(gè)年齡組的成員取決于后面的周期內(nèi)各組的出生率及其人數(shù).于是有方程（3.1）這里是第i個(gè)年齡組的出生率，它是由每時(shí)間周期內(nèi)，第i個(gè)年齡組的每一個(gè)成員的女性后代的人數(shù)來表示的，通?？捎山y(tǒng)計(jì)資料來確定.于是我們得到了單性別分組的人口模型，用矩陣表示便是或者簡(jiǎn)寫成（3.2）矩陣稱為L(zhǎng)eslie矩陣.由（3.2）式遞推可得這就是Leslie模型.4企業(yè)投入產(chǎn)生分析模型問題某地區(qū)有三個(gè)重要產(chǎn)業(yè)，一個(gè)煤礦、一個(gè)發(fā)電廠和一條地方鐵路.開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費(fèi)及0.25元的運(yùn)輸費(fèi).生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費(fèi)，0.05元的電費(fèi)及0.05元的運(yùn)輸費(fèi).創(chuàng)收一元錢的運(yùn)輸費(fèi),鐵路要支付0.55元的煤費(fèi)及0.10元的電費(fèi).在某一周內(nèi)，煤礦接到外地金額為50000元的定貨，發(fā)電廠接到外地金額為25000元的定貨，外界對(duì)地方鐵路沒有需求.問三個(gè)企業(yè)在這一周內(nèi)總產(chǎn)值多少才能滿足自身及外界的需求？數(shù)學(xué)模型設(shè)x1為煤礦本周內(nèi)的總產(chǎn)值，x2為電廠本周的總產(chǎn)值，x3為鐵路本周內(nèi)的總產(chǎn)值，則（4.1）即即矩陣A稱為直接消耗矩陣，X稱為產(chǎn)出向量，Y稱為需求向量，則方程組（4.1）為即，（4.2）其中矩陣E為單位矩陣，（E-A）稱為列昂杰夫矩陣，列昂杰夫矩陣為非奇異矩陣.投入產(chǎn)出分析表設(shè)D=（1，1，1）C.矩陣B稱為完全消耗矩陣，它與矩陣A一起在各個(gè)部門之間的投入產(chǎn)生中起平衡作用.矩陣C可以稱為投入產(chǎn)出矩陣，它的元素表示煤礦、電廠、鐵路之間的投入產(chǎn)出關(guān)系.向量D稱為總投入向量，它的元素是矩陣C的對(duì)應(yīng)列元素之和，分別表示煤礦、電廠、鐵路得到的總投入.由矩陣C，向量Y，X和D，可得投入產(chǎn)出分析表4.1.表4.1投入產(chǎn)出分析表單位：元煤礦電廠鐵路外界需求總產(chǎn)出煤礦電廠鐵路總投入計(jì)算求解按（4.2）式解方程組可得產(chǎn)出向量X，于是可計(jì)算矩陣C和向量D，計(jì)算結(jié)果如表4.2.表4.2投入產(chǎn)出計(jì)算結(jié)果單位：元煤礦電廠鐵路外界需求總產(chǎn)出煤礦036505.9615581.5150000102087.48電廠25521.872808.152833.002500056163.02鐵路25521.872808.150028330.02總投入51043.7442122.2718414.525交通流量的計(jì)算模型問題圖5.1給出了某城市部分單行街道的交通流量（每小時(shí)過車數(shù)）.假設(shè)：（1）全部流入網(wǎng)絡(luò)的流量等于全部流出網(wǎng)絡(luò)的流量；（2）全部流入一個(gè)節(jié)點(diǎn)的流量等于全部流出此節(jié)點(diǎn)的流量.試建立數(shù)學(xué)模型確定該交通網(wǎng)絡(luò)未知部分的具體流量.建模與計(jì)算由網(wǎng)絡(luò)流量假設(shè)，所給問題滿足如下線方程組：系數(shù)矩陣為增廣矩陣階梯形最簡(jiǎn)形式為其對(duì)應(yīng)的齊次方程組為?。▁5,x8）為自由取值未知量，分別賦兩組值為（1,0），（0,1），得齊次方程組基礎(chǔ)解系中兩個(gè)解向量其對(duì)應(yīng)的非齊次方程組為賦值給自由未知量（x5,x8）為（0,0）得非齊次方程組的特解于是方程組的通解其中k1，k2為任意常數(shù)，x的每一個(gè)分量即為交通網(wǎng)絡(luò)未知部分的具體流量，它有無窮多解.6小行星的軌道模型問題一天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽運(yùn)行的軌道，他在軌道平面內(nèi)建立以太陽為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，在兩坐標(biāo)軸上取天文測(cè)量單位（一天文單位為地球到太陽的平均距離：1.4959787×1011m）.在5個(gè)不同的時(shí)間對(duì)小行星作了5次觀察，測(cè)得軌道上5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如表6.1.表6.1坐標(biāo)數(shù)據(jù)x1x2x3x4x5X坐標(biāo)5.7646.2866.7597.1687.408y1y2y3y4y5Y坐標(biāo)0.6481.2021.8232.5263.360由Kepler（開普勒）第一定律知，小行星軌道為一橢圓.現(xiàn)需要建立橢圓的方程以供研究（注：橢圓的一般方程可表示為.問題分析與建立模型天文學(xué)家確定小行星運(yùn)動(dòng)的軌道時(shí)，他的依據(jù)是軌道上五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)：（x1,y1）,（x2,y2）,（x3,y3）,（x4,y4）,（x5,y5）.由Kepler第一定律知，小行星軌道為一橢圓.而橢圓屬于二次曲線，二次曲線的一般方程為.為了確定方程中的五個(gè)待定系數(shù)，將五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入上面的方程，得這是一個(gè)包含五個(gè)未知數(shù)的線性方程組，寫成矩陣求解這一線性方程組，所得的是一個(gè)二次曲線方程.為了知道小行星軌道的一些參數(shù),還必須將二次曲線方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式:由于太陽的位置是小行星軌道的一個(gè)焦點(diǎn),這時(shí)可以根據(jù)橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸計(jì)算出小行星的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離,以及橢圓周長(zhǎng).根據(jù)二次曲線理論,可得橢圓經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移兩種變換后的方程如下:所以,橢圓長(zhǎng)半軸:;橢圓短半軸:;橢圓半焦矩:.計(jì)算求解首先由五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)形成線性方程組的系數(shù)矩陣使用計(jì)算機(jī)可求得從而的特征值于是,橢圓長(zhǎng)半軸,短半軸,半焦距.小行星近日點(diǎn)距和遠(yuǎn)日點(diǎn)距為最后,橢圓的周長(zhǎng)的準(zhǔn)確計(jì)算要用到橢圓積分,可以考慮用數(shù)值積分解決問題,其近似值為84.7887.7人口遷移的動(dòng)態(tài)分析問題對(duì)城鄉(xiāng)人口流動(dòng)作年度調(diào)查,發(fā)現(xiàn)有一個(gè)穩(wěn)定的朝向城鎮(zhèn)流動(dòng)的趨勢(shì):每年農(nóng)村居民的2.5%移居城鎮(zhèn),而城鎮(zhèn)居民的1%遷出.現(xiàn)在總?cè)丝诘?0%位于城鎮(zhèn).假如城鄉(xiāng)總?cè)丝诒３植蛔?并且人口流動(dòng)的這種趨勢(shì)繼續(xù)下去,那么一年以后住在城鎮(zhèn)人口所占比例是多少?兩年以后呢?十年以后呢?最終呢?解設(shè)開始時(shí),令鄉(xiāng)村人口為城鎮(zhèn)人口為一年以后有鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)人口或?qū)懗删仃囆问?兩年以后,有.十年以后,有事實(shí)上,它給出了一個(gè)差分方程:.我們現(xiàn)在來解這個(gè)差分方程.首先年之后的分布(將對(duì)角化):這就是我們所要的解,而且容易看出經(jīng)過很長(zhǎng)一個(gè)時(shí)期以后這個(gè)解會(huì)達(dá)到一個(gè)極限狀態(tài)總?cè)丝谌允?與開始時(shí)一樣,但在此極限中人口的在城鎮(zhèn),而在鄉(xiāng)村.無論初始分布是什么樣,這總是成立的.值得注意這個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)正是的屬于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性質(zhì):人口總數(shù)保持不變,而且鄉(xiāng)村和城鎮(zhèn)的人口數(shù)決不能為負(fù).前一性質(zhì)反映在下面事實(shí)中:矩陣每一列加起來為1;每個(gè)人都被計(jì)算在內(nèi),而沒有人被重復(fù)或丟失.后一性質(zhì)則反映在下面事實(shí)中:矩陣沒有負(fù)元素;同樣地和也是非負(fù)的,從而和和等等也是這樣.8常染色體遺傳模型為了揭示生命的奧秘,遺傳學(xué)的研究已引起了人們的廣泛興趣.動(dòng)植物在產(chǎn)生下一代的過程中,總是將自己的特征遺傳給下一代,從而完成一種“生命的延續(xù)”.在常染色體遺傳中,后代從每個(gè)親體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因,形成自己的基因?qū)?人類眼睛顏色即是通過常染色體控制的,其特征遺傳由兩個(gè)基因和控制.基因?qū)κ呛偷娜?眼睛是棕色,基因?qū)κ堑娜?眼睛為藍(lán)色.由于和都表示了同一外部特征,或認(rèn)為基因支配,也可認(rèn)為基因?qū)τ诨騺碚f是隱性的(或稱為顯性基因,為隱性基因).下面我們選取一個(gè)常染色體遺傳——植物后代問題進(jìn)行討論.某植物園中植物的基因型為,,.人們計(jì)劃用型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代.經(jīng)過若干年后,這種植物后代的三種基因型分布將出現(xiàn)什么情形?我們假設(shè)分別代表第代植物中,基因型為,和的植物占植物總數(shù)的百分率,令為第代植物的基因分布,表示植物基因型的初始分布,顯然,我們有(8.1)先考慮第代中的型，第代型與型相結(jié)合，后代全部是型；第代的型與和與相結(jié)合，后代是型的可能性為；代的型與型相結(jié)合，后代不可能是型。因此，我們有（8.2）同理,我們有（8.3）（8.4）將(8.2),(8.3),(8.4)式相加,得（8.5）將(8.5)式遞推,并利用