《線性代數(shù)(經管類)》綜合測驗題庫

《線性代數(shù)（經管類》綜合測驗題庫一、單項選擇題下列條件不能保證n階實對稱陣A為正定的( A.A-1正定B.A沒有負的特征值C.A的正慣性指數(shù)等于nD.A合同于單位陣二次型

）=x

2+x2+x2+2x1x2+2x1x3+2x2x3下列說確的( )3A.是正定的B.C.1D.2

1 2 3 ，f=XTAX，g=XTBX是兩個n()A.XT（A+B）XB.XTA-1XC.XTB-1XD.XTABX設A，B為正定陣，( A.AB，A+B都正定B.AB正定，A+B非正定C.AB非正定，A+B正定D.AB不一定正定，A+B正定二次型f=xTAx經過滿秩線性變換x=Py可化為二次型yTBy，則矩陣A與B( A.一定合同一定相似即相似又合同即不相似也不合同實對稱矩陣A的秩等于又它有t個正特征值，則它的符號差( A.rB.t-rC.2t-rD.r-t設3 1 8.f（x1,x2,x）=x2-2x1x2+4x2對應的矩陣( )3 1 設An是n階正交陣，且B=CTACA.A與B相似B.A與B等價C.A與B有相同的特征值

)不成立。D.A與B有相同的特征向量()A.B.屬于同一特征值的特征向量必線性相關C.相似矩陣必有相同的特征值D.特征值相同的矩陣未必相似()已知矩陣有一個特征值為0，( A.x=2.5B.x=1C.x=-2.5D.x=0已知3階矩陣A的特征值為1，2，3，|A-4E|=( A.2B.-6C.6D.24已知方陣A的特征值1,0,-1,則f（A）的特征值( A.3，1，1C.3，1，-1D.3，0，1設A的特征值為1，-1，向量α是屬于1的特征向量是屬-1的特征向量，則下列論斷正確的( )αβ線性無關α+β是A的特征向量αβ線性相關αβ必正交設α是矩陣A對應于特征值λ的特征向量為可逆矩陣則下列向量( 是P-1AP對應于λ的特征向量。A.αB.PαC.P-1αPD.P-1α2λ1,λ2都是n階矩陣Ax1x2分別是對應于λ1λ2(2必是A的特征向量。A.k1=0k2=0B.k1≠0k2≠0C.k1·k2=0D.k1≠0而k2=0()A.1，1B.2，2C.1，2D.0，019.n元線性方程組Ax=b有兩個解、c，則a-c是( )的解A.2Ax=bB.Ax=0C.Ax=aD.Ax=c非齊次線性方程組Ax=b中，系數(shù)矩陣A4，A4×6A.無法確定方程組是否有解B.C.方程組有惟一解D.方程組無解對于齊次線性方程組的系數(shù)矩陣化為階梯形( A.只能進行行變換B.只能進行列變換C.不能進行行變換D.可以進行行和列變換

)時，x=k1x1+k2x2)。1 22.x、x是AX=0的兩不對應成比例的解，其中A為n階方陣，則基礎解系中向量個數(shù)( A.至少21 B.無基礎解系C.至少1個D.n-1齊次線性方程組有非0解，則k=( A.1B.3C.-3D.-1設A是m行n列矩陣，r(A)=r，則下列正確的( A.Ax=0的基礎解系中的解向量個數(shù)可能為n-rB.Ax=0的基礎解系中的解向量個數(shù)不可能為n-rC.Ax=0的基礎解系中的解向量個數(shù)一定為n-rD.Ax=0的基礎解系中的解向量個數(shù)為不確定1 2 1 設β，β為的解向量，α為對應齊次方程組的解，( 1 2 1 A.β1+β2+2α1為該非齊次方程組的解B.β1+α1+α2為該非齊次方程組的解C.β1+β2為該非齊次方程組的解D.β1-β2+α1為該非齊次方程組的解對于齊次線性方程組而言，它的解的情況( )A.有惟一組解B.無解C.只有零解D.無窮多解α1,α2是另外一個向量，則α1+β與α2+β（）A.線性無關B.線性相關C.即線性相關又線性無關D.不確定已知向量組則向量組α1,α2,α3,α4,α5的一個極大無關組( )α13，α1α2，， α1α2α， ， α1α3α， 29.α1=（1,0,0）,α2=（2,1,0）,α3=（0,3,0）,α4=（2,2,2）的極大無關組是（）α1,α2B.α1,α3C.α1,α2,α4D.α1,α2,α330.向量組1，-，0（，4，1，，）的秩( A.1B.2C.3D.4設Amnmk列矩陣，則（A.r（A,B）小于等于與r（B）之和B.r（A,B）大于r（A）與r（B）之和C.r（A,B）小于r（A）與r（B）D.不確定向量組A()A.都能C.D.不確定含有零向量的向量( A.可能線性相關2B.必線性相關C.D.必線性無關21 2 α，α，…，1 2 （）A.線性無關B.線性相關

線性無關，β

，，，β … 1 2 β …

是它的加長向量組，則β

1，β

的線性相關性是C.既線性相關又線性無關D.不確定35.設=1,1,，=（0,1,3=1,0,，試判斷1,23的相關性（）A.線性無關B.線性相關C.既線性相關又線性無關D.不確定36.α，β，γ是三維列向量，且|α，β，γ|≠0，則向量組α，β，γ的線性相關性是（）A.線性無關B.線性相關C.既線性相關又線性無關D.不確定37.（-1，1）能否表示成和的線性組合？若能則表出系數(shù)( A.,1,1B.不能C.能,D.,1,-138.（，）能否表示成-，2，2）和6，）的線性組合？若能則表出系數(shù)( A.,系數(shù)不唯一B.不能C.能，-1，-1，1D.能，-1，1，039.設（，011，1-，則滿足條件3x+β=γ的x為( A.-1/3(0,1,-2)B.1/3(0,1,-2)C.(0,1,-2)D.(0,-1,2)設α，β，γ都是n維向量是數(shù)，下列運算不成立的( )A.α＋β=β＋αB.(α+β）＋γ=α＋（β＋γ）C.α，βD.α＋（－α）＝0若m×n矩陣C中n個列向量線性無關，則C的( A.大于m大于n等于n等于m42.向量組42.向量組的一個極大線性無關組可以取為α12 α1，α2C.α1，α2 43.設有向量組（）2 3 D.α1，α，α43.設有向量組（）2 3 44.若向量組，則該向量( A.當a≠1時線性無關B.線性無關C.a≠1且≠-2D.線性相關45.向量組45.向量組線性相關，則a的值為( )B.2C.4D.5對于向量組γ（i=1，2，…n）

+0γ+…+0γ=0，則γ，γ

，…，γ

是( )向量組iB.線性相關C.線性無關D.任意

1 2

1 2 n設A，B是兩個同階的上三角矩陣，那么AT·BT是( )矩陣A.上三角C.D.既非上三角也非下三角48.如果A2-6A=E，則A-1=()A.A-3EB.A+3EC.A+6ED.A-6E49.下列關于可逆矩陣的性質，不正確的( )A.（AT）-1=（A-1）TB.可逆矩陣可以從矩陣等式的同側消去C.AkAl=Ak+lD.A0=150.設A=，則A*=( )。51.52.設A，B，C是n階方陣，下列各式中未必成立的( A.ABC=ACBB.（A+B）+C=A+（B+C）C.A（B+C）=AC+AB53.54.55.A.2x=7B.y=xC.y=x+1D.y=x-1設A、B是同階對稱矩陣，則AB是( A.對稱矩陣非對稱矩陣反對稱矩陣不一定是對稱矩陣設A3階矩陣，且已知，則A必有一個特征值為（）3階矩陣A與B相似，且已知A2，2，3.則（）下列矩陣中不是二次型的矩陣的是（）已知A是一個三階實對稱正定的矩陣，那么A的特征值可能是（）61.A為三階矩陣，為它的三個特征值.其對應的特征向量為.設，則下列等式錯誤的是（）62.n元實二次型正定的充分必要條件是（）該二次型的秩該二次型的負慣性指數(shù)該二次型的正慣性指數(shù)＝D.該二次型的正慣性指數(shù)63.已知相似，則有（）64.設（）A.線性無關64.設（）C.對應分量成比例D.可能有零向量二次型的矩陣為（）二次型的矩陣為（）則下列結論錯誤的是（）.則下列結論錯誤的是（）,則常數(shù)應滿足（）,則常數(shù)k為（）設則齊次方程組的基礎解系中含有解向量的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4非齊次方程組有解的充分必要條件是（）a，b為何值時，上述非齊次線性方程組無解（）A.a≠1時，r（A）=2，r（A，b）≥3B.a=1時，r（A）=2，r（A，b）≥3C.a≠1，r（A）=r（A，b）=4D.a=1，r（A）=r（A，b）=4a，b為何值時，上述非齊次線性方程組有唯一解（A.a≠1，r（A）=r（A，b）=4B.a≠1，r（A）=r（A，b）=3C.a=1時，r（A）=2，r（A，b）≥3D.a=1時，r（A）=2，r（A，b）=3下列關于線性方程組的說法不正確的是（）齊次方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是r（A）大于未知數(shù)的個數(shù)n非齊次線性方程組Ax=b有解系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相等的秩如果A）=A=（n為未知數(shù)的個數(shù)，則方程組Ax=b有惟一的解如果A=rA=（n小于未知數(shù)的個數(shù)，則方程組Ax=b有無窮多解下列說法不正確的是（）77.77.設下列說確的是（）下列說法不正確的是（）設3元線性方程組Ax=A的秩為，方程組Ax=b的通解為（）設Am×n矩陣，方程Ax=0僅有零解的充分必要條件是（）A.A的行向量組線性無關B.A的行向量組線性相關C.A的列向量組線性無關D.A的列向量組線性相關如果方程組有非零解，則k=（）A.-2B.-1C.1D.2已知是非齊次線性方程組的兩個不同的解，是其導出組Ax=0程組Ax=b的通解可以表為（）若是線性方程組的解，是方程組的解，則（）.設的基礎解系，則下列正確的是（）若齊次方程組有非零解，則下列正確的是（）下列說法不正確的是（）一個向量αα=0兩個向量線性相關的充分必要條件是分量成比例C.nn維向量線性相關的充分必要條件是相應的行列式為D.當向量個數(shù)小于維數(shù)時，向量組必線性相關向量組的秩的充分必要條件是（）全是非零向量中任意兩個向量都不成比例D.中任意個向量都線性無關維向量組線性相關的（）A.充分條件B.必要條件C.充要條件89.的秩為（）D.89.的秩為（）設向量組線性相關，則必可推出（）A.中至少有一個向量為零向量B.中至少有兩個向量成比例C.中至少有一個向量可以表示為其余向量的線性組合D.中每一個向量都可以表示為其余向量的線性組合已知向量組的一組基，則向量在這組基下的坐標是（A.（2，3，1）B.（3，2，1）C.（1，2，3）D.（1，3，2）設β可由向量線性表示，則下列向量中β只能是（）A.（2，1，1）B.（-3，0，2）C.（1，1，0）D.（0，-1，0）向量組線性無關的充分必要條件是（）均不為零向量中任意兩個向量不成比例C.中任意s-1D.中任意一個向量均不能由其余s-194.設AA︱=2，則的值為（）95.設（）A.-4B.-2C.2D.496.設Ann≥2，則︱=（）A.(-5)n︱AB.-5︱A︱C.5A︱︱A97.設A4×5矩陣，秩（）A.A中的4階子式都不為0B.A中存在不為0的4階子式C.A中的3階子式都不為0D.A中存在不為0的3階子式3階方陣A2，則與A等價的矩陣為（）下列命題正確的是（）A.兩個零矩陣必相等B.C.A+EA-）=2-2D.若A≠0，AB=AC則必有B=C.設矩陣，則（）設A2階可逆矩陣，且已知，則A=（）設矩陣（）設A為反對稱矩陣，下列說確的是（）下列結論正確的是（）都是nA.則下列等式錯誤的是（）設是nn階零矩陣，的逆矩陣為（）C是（）.109.設則下列各式中正確的是（109.設則下列各式中正確的是（）設某3階行列式︱A︱的第二行元素分別為-1,2,3,對應的余子式分別為-3,-2,1，則此行列式︱A︱的值為（）.A.3B.15C.-10D.8f（x）的常數(shù)項為（）A.4B.1C.-1D.-4行列式中第三行第二列元素的代數(shù)余子式的值為（）A.3B.-2C.0D.1113.設行列式113.設行列式則D1的值為（）B.-6C.6D.15設A為三階方陣且（）A.-108B.-12C.12D.108設A是n為實數(shù)，下列各式成立的是（）.設A3階方陣，且已知（）下列等式成立的是（）,.118.設A.k-1B.k（）C.1D.k+1119.設（）A.18B.-18C.-6D.6120.設行列式（A.-3）B.-1C.1D.3設都是三階方陣，且，則下式（）.下面結論正確的是（）A.B.零矩陣都是方陣C.所有元素都是0的矩陣是零矩陣D.行列式（）125.如果（）已知（125.如果（）126.計算四階行列式=( )A.x+3x-）3B.（x+3x-）2C.（x+3a）2（x-a）2D.（x+3a）3（x-a）行列式D如果按照第n列展開是（A.a1nA1n+a2nA2n+...+annAnnB.a11A11+a21A21+...+an1An1C.a11A11+a12A21+...+a1nAn1D.a11A11+a21A12+...+an1A1n關于n個方程的n元齊次線性方程組的克拉默法則，說確的是（。0，則方程組必有無窮多解如果行列式不等于0，則方程組只有零解如果行列式等于0，則方程組必有惟一解0，則方程組必有零解=（。A.18B.15C.12D.24130.≠A.1

）時，方程組只有零解。B.2C.3D.4131.=（A.-9mB.9m132.設132.設=（。已知三階行列式D1，2，3-1，1，2，D的值為（）A.-3B.-7C.3D.7行列式中元素g的代數(shù)余子式的值為（A.bcf-bdeB.bde-bcfC.acf-adeD.ade-acf下列行列式的值為（。136.n階行列式（）等于-1。當a=( )時，行列式的值為零A.0B.1C.-2C.2行列式的值等于（A.abcdB.dC.6D.0行列式的充要條件是（）A.a≠2B.a≠0C.a≠2a≠0D.a≠2a≠0計算：綜合測驗題庫答案與解析一、單項選擇題n答案解析：A-1正定表明存在可逆矩陣C使CTA-1C=I，兩邊求逆得到nC-1A（CT）-1=C-1A（C-1）T=Inn即A合同于I，A正定，因此不應選A。nC是A正定的定義，也不是正確的選擇。D表明A的正慣性指數(shù)等于n，故A是正定陣，于是只能B。事實上，一個矩陣沒有負的特征值，但可能有零特征值，而正定陣的特征值必須全是正數(shù)。答案解析：二次型的矩陣所以r（A）=1，故選項C正確，選項A，B，D都不正確。1 2 答案解析：因為fn所以An個特征值λ，λ，…，λ1 2 jjjj|A|＞0APj=λP，則A-1PP，A-1njjjj這說明A-1為正定陣，XTA-1X為正定二定型，同理，XTB-1X為正定二次型，對任意n維非零列向量X都有XT（A+B）X=XTAX+XTBX＞0。這說明XT（A+B）X為正定二次型，由于兩個同階對稱陣的乘積未必為對稱陣，所以XTABX未必為正定二次型。答案解析：∵A、B正定∴對任何元素不全為零的向量X永遠有XTAX＞0；同時XTBX＞0因此A+B不一定正定，甚至AB可能不是對稱陣。=yT（PTAP）y=yTBy，即B=PTAP，所以矩陣A與B一定合同。只有當P是正交矩陣時，由于PT=P-1，所以A與B即相似又合同。答案解析：A的正慣性指數(shù)為t，負慣性指數(shù)為r-t，因此符號差等于2t-r。1 2 3 13 31 1答案解析：主對角線元素對應x，x，x平方項系數(shù)。a 和a 系數(shù)的和對應xx的系數(shù)1 2 3 13 31 11 2 3 12 12 21 12 答案解析xxx平方項系數(shù)對應主對角線元素0xx系-對應a 和a 系數(shù)的和a =-1,a 1 2 3 12 12 21 12 答案解析：∵C是正交陣，所以CT=C-1,B=C-1AC，因此A與B相似，A對。C0，CTAC相當對A與B對。兩個相似矩陣AB對。（λE-A）X=0,（λE-B）X=0是兩個不同的齊次線性方程組，非零解是特征向量，一般情況這兩個方程的非零解常常不同，所以只有D不對，選D。答案解析：屬于同一特征值的特征向量未必線性相關，比如單位陣的特征值全是1，但它有n個線性無關的特征向量，因此應選擇B。答案解析：C是對稱陣，必相似于對角陣，故選C。答案解析：|A|=5-2x，A有零特征值，得|A|=0，故x=2.5，顯然應選A。答案解析：∵3階矩陣A的特征值為1,2,3∴E-A|展開式含有三個因子乘積（λ-λ-（-）∵|λE-A|展開式λ31∴E-A|λ-（λ-λ-）∵A為3階矩陣∴|AE=-）3E-A|（-）3（λ-λ-（λ-）4。答案解析：設A的特征值是，則）的特征值就是λ，把1,0,-1依次代入，得到31，。答案解析：屬于不同特征值的特征向量必線性無關，因此選擇A。答案解析：∵設P-1AP=B∴A=PBP-1又∵Aα=λ0α∴PBP-1α=λ0α∴B（P-1α）=λ0(P-1α)1 2 1 的特征向量不能是零向量，所以kk不同時為零，所以ACx組的解，兩個方程的兩個非零向量解之和不再是其中一個方程的解，所以A的特征向量不選B。選D是因為k2=0，k1≠0，x=k1x1仍然是A1 2 1 答案解析：得到特征值是1，1。答案解析：A(a-c)=Aa-Ac=0，所以a-c是Ax=0的解。64，因此方程組有無窮多解，選B.答案解析：齊次線性方程組的系數(shù)矩陣化為階梯形時只能進行行變換1 答案解析：x、x不對應成比例，所以這兩個解是線性無關的，從而基礎解系中向量個數(shù)至少是1 答案解析：答案解析：∴k=3時，|A|=0有非0解答案解析：教材P1124.1.1答案解析：本題考查線性方程組的解的性質，依題意知，（β1β2）＝，0（β11α）＝10，（β12）＝，0β1β2α1）＝0，，因此選。答案解析：這是一個齊次線性方程組，只需求出系數(shù)矩陣的秩就可以判斷解的情況。系數(shù)矩陣A=以-2-33加到第三列上，得，因此r（A）=3，系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)個數(shù)，因此方程組只有零解，選C。答案解析：例如，α1=（1,1）,α2=（0,2）,β=（-1,-1）則α1,α2線性無關，而α1+β=（0,0）,α2+β=（-1,1）線性相關。如果β=（0,0）,那么α1+β,α2+β還是線性無關的.答案解析：進去，就一定線性相關，由計算知α1,α2,α4線性無關，但α1,α2,α3,α4線性相關，所以選C。答案解析：把向量組拼成矩陣并用初等變換求秩：求出秩等于2.答案解析：教材P100的推論答案解析：向量組的任何一個部分組都能由該向量組線性表示.答案解析：含有零向量的向量組必線性相關。答案解析：根據(jù)線性無關組的加長向量組也無關.答案解析：系數(shù)行列式等于2，判斷出是線性無關的，所以選A答案解析：首先排除C，因為向量不可能線性相關又線性無關,只能是相關或者無關.再根據(jù)教材91頁兩個重要結論得出本題答案為A答案解析：假定（-1，1）=λ1（1，0）+λ2（2，0）,λ1和λ2答案解析：假定（4，0）=λ1（-1，2）+λ2（3，2）+λ3（6，4）=（-λ1，2λ1）+（3λ2，2λ2）+（6λ3，4λ3）=（-λ1+3λ2+6λ3，2λ1+2λ2+4λ3）可得方程組：因此，第一個向量是其余向量的線性組合，而且表示不唯一，它的表示式可為：（4，0）=-（-1，2）-（3，2）+（6，4）或（4，0）=-（-1，2）+（3，2）+0·（6，4）3x+β=γ.答案解析：應該是α，β對應分量都相等，可以說明α=β。答案解析：C的秩等于C的列向量組的秩，也等于C的行向量組的秩，而C的列向量組的秩為n，故選C。答案解析：可以把α1，α2，α3，α4組成一個矩陣，化簡為階梯形后，可見向量組的秩為3，α1，α2，α3可構成一個極大線性無關組，故選C。答案解析：不妨將每個向量看成是列向量，設A1,…,αBβ1,…,，則分塊陣AB）的秩就是3，因為A,）A+（B，故3≤+r2,即3-12，應該選擇B。答案解析：答案解析：答案解析：和C向量組中的向量每個乘以零再求和永遠等于零向量，因此無法判斷這組向量是否線性相關，故應選Ｄ。答案解析：AT、BT均為下三角矩陣，因此ATBT也是下三角矩陣答案解析：A（A-6E）=E，因此A-1=A-6En答案解析：參見教材50-51頁，A0=E。n答案解析：二階矩陣的伴隨矩陣就是原矩陣的主對角元素互換，副對角元素換號。答案解析：答案解析：矩陣的乘法一般不滿足交換律。答案解析：2×2矩陣，而C和D2×3陣，不可能和AA中矩陣是非異陣，而A是奇異陣，B中矩陣和A1，必等價。答案解析：答案解析：因為A，B為對稱矩陣，即AT=A，BT=B。又（AB）T=BTAT=BA，若A與B乘積可交換，即AB=BA，則（AB）T=BA=AB，即AB為對稱矩陣。所以AB與BA不一定相等，所以AB不一定是對稱矩陣。答案解析：答案解析：答案解析：答案解析：答案解析：因為實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)，故A，C都不正確；又因為正定矩陣的特征值均為正數(shù)，故B也不正確；應用排除法，知答案為D.答案解析：答案解析：二次型正定的充分必要條件是二次型的正慣性指數(shù)＝n答案解析：答案解析：答案解析：A屬于不同特征值的特征向量線性無關.答案解析：答案解析：二次型的矩陣的定義答案解析：根據(jù)相似矩陣的性質判斷B錯誤.答案解析：根據(jù)特征值，特征向量的定義和性質判斷A錯誤.答案解析：答案解析：答案解析：向量答案解析：向量答案解析：非齊次線性方程組有解的充分必要條件r（A）=r（A，b）答案解析：答案解析：答案解析：請參看教材P112答案解析：答案解析：根據(jù)P112基礎解系的定義知道基礎解系一定是線性無關的，所以B錯誤.77.正確答案：B答案解析：ηAx=b的一個解，ξ是它的導出組Ax=0ξ+ηAx=b.C根據(jù)解的.答案解析：答案解析：設為齊次方程組的系數(shù)矩陣的列向量組，則齊次方程組可寫成AX=0.Ax=0僅有零解的充分必要條件是r（A）=未知數(shù)的個數(shù)（即矩陣A的列數(shù)）.答案解析：即1（k+=，所以k=-1（）答案解析：答案解析：考查齊次方程組和非齊次線性方程組解的性質答案解析：答案解析：答案解析：齊次方程組有非零解的充分必要