2020高中數(shù)學(xué) 第章 概率章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第3章概率用頻率估計(jì)概率【例1】為了為奧運(yùn)會(huì)做準(zhǔn)備,某射擊運(yùn)動(dòng)員在相同條件下進(jìn)行射擊訓(xùn)練，結(jié)果如下表：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率0.80.950.880。920。890。91（1）該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，擊中靶心的概率大約是多少？（2）假設(shè)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了300次，則擊中靶心的次數(shù)大約是多少?(3）假設(shè)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了10次,前9次中有8次擊中靶心，那么第10次一定擊中靶心嗎？［解]（1）由表可知，擊中靶心的頻率在0。9附近，故擊中靶心的概率大約是0。9。（2)擊中靶心的次數(shù)大約是300×0。9＝270（次）．（3）由概率的意義,可知概率是個(gè)常數(shù)，不因試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化．最后一次擊中靶心的概率仍是0。9,所以不一定擊中靶心．概率是一個(gè)常數(shù)，但除了特殊幾類概型，概率并不易知,故可以用頻率來(lái)估計(jì)．1．對(duì)一批U盤進(jìn)行抽檢,結(jié)果如下表：抽出件數(shù)a50100200300400500次品件數(shù)b345589次品頻率eq\f(b，a）(1）計(jì)算表中次品的頻率；(2)從這批U盤中任意抽取一個(gè)是次品的概率約是多少?（3）為保證買到次品的顧客能夠及時(shí)更換，要銷售2000個(gè)U盤，至少需進(jìn)貨多少個(gè)U盤?[解］(1)表中次品頻率從左到右依次為0.06，0.04，0。025，0。017，0.02,0.018.（2）當(dāng)抽取件數(shù)a越來(lái)越大時(shí)，出現(xiàn)次品的頻率在0。02附近擺動(dòng)，所以從這批U盤中任意抽取一個(gè)是次品的概率約是0.02.(3)設(shè)需要進(jìn)貨x個(gè)U盤，為保證其中有2000個(gè)正品U盤,則x(1－0.02)≥2000，因?yàn)閤是正整數(shù),所以x≥2041，即至少需進(jìn)貨2041個(gè)U盤．互斥事件與對(duì)立事件的概率【例2】某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中,購(gòu)滿100元商品得一張獎(jiǎng)券,多購(gòu)多得，每1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位．設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：(1）P(A)，P（B),P（C）；（2）抽取1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率；(3）抽取1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)或一等獎(jiǎng)的概率．［解］由題意事件A、B、C為互斥事件．（1）∵每1000張獎(jiǎng)券中設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè),一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè),∴P(A）＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f（10,1000)＝eq\f(1,100），P（C）＝eq\f(50,1000）＝eq\f(1，20).(2)設(shè)“抽取1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”為事件D，則P(D)＝P(A)＋P(B）＋P（C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20）＝eq\f(61,1000）。(3）設(shè)“抽取1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)或一等獎(jiǎng)”為事件E,則P(E）＝1－P(A)－P(B)＝1－eq\f（1，1000）－eq\f(1,100）＝eq\f（989,1000）。］求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先求其對(duì)立事件的概率，若A與B互為對(duì)立事件，則利用公式P（A)＝1－P(B)求解．2．根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0。5，購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3.(1)求該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率;（2)求該地1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率．[解］記A表示事件：該車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)；B表示事件：該車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)；C表示事件:該車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種；D表示事件：該車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買．（1）由題意得P（A)＝0.5，P（B）＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A）＋P（B)＝0。5＋0.3＝0。8.(2）因?yàn)镈與C是對(duì)立事件，所以P(D)＝1－P（C)＝1－0.8＝0。2.古典概型【例3】從含有兩件正品a1，a2和一件次品b的三件產(chǎn)品中每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次．（1）求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率；（2)如果將“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”，則取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率是多少？[解］(1）每次取一件，取出后不放回，則連續(xù)取兩次的所有基本事件共有6個(gè),分別是（a1,a2），（a1，b)，（a2,a1）,（a2，b），(b，a1），（b，a2），其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品．可以確定這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品”，則A包含的基本事件是(a1，b)，(a2，b)，（b，a1）,(b，a2）．因?yàn)锳中的基本事件的個(gè)數(shù)為4，所以P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f（2，3).（2)有放回地連續(xù)取出兩件，則所有的基本事件共有9個(gè),分別是（a1,a1）,（a1，a2）,(a1，b），（a2，a1），（a2，a2),(a2，b），（b，a1）,(b，a2），(b，b)．由于每一件產(chǎn)品被取到的機(jī)會(huì)均等，因此可以確定這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用B表示“取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品”，則B包含的基本事件是(a1,b）,(a2，b），(b，a1），（b，a2）．因?yàn)锽中的基本事件的個(gè)數(shù)為4,所以P(B)＝eq\f(4，9）.古典概型求解需注意的問(wèn)題解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)，即有限性和等可能性．另外，在求古典概型問(wèn)題的概率時(shí),往往需要我們將所有基本事件一一列舉出來(lái)，以便確定基本事件總數(shù)及事件所包含的基本事件數(shù)．這就是我們常說(shuō)的窮舉法．在列舉時(shí)應(yīng)注意按一定的規(guī)律、標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏．3．甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2、紅桃3、紅桃4、方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上．甲先抽，乙后抽，各抽一張，抽到的牌不放回．(1）設(shè)(i,j）表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出甲、乙二人抽到的牌的所有情況；（2)若甲抽到紅桃3，則乙抽出的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？(3)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝；反之，則乙勝．你認(rèn)為此游戲是否公平，說(shuō)明你的理由．[解]（1）甲、乙二人抽到的牌的所有情況(方片4用4′表示，紅桃2、紅桃3、紅桃4分別用2，3，4表示)為：（2，3），（2，4)，（2,4′)，(3，2），(3，4）,（3，4′)，(4,2），(4，3），(4，4′),（4′，2），(4′,3)，（4′，4),共12種情況．(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2或4或4′，因此乙抽到的牌的牌面數(shù)字大于3的概率為eq\f(2,3）。（3)甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙抽到的牌的牌面數(shù)字大的情況有（3，2)，（4，2)，(4,3），（4′,2),(4′，3)，共5種，所以甲勝的概率為p1＝eq\f(5,12),乙勝的概率為p2＝1－p1＝eq\f（7,12).因?yàn)閑q\f(5,12）〈eq\f（7，12），所以此游戲不公平．幾何概型【例4】在半徑為1的圓上隨機(jī)地取兩點(diǎn)，連成一條弦，則弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少？思路點(diǎn)撥:密切注意題目條件,搞清幾何概型的“測(cè)度”類型．[解]在圓上隨機(jī)地取兩點(diǎn)，可以看成先取定一點(diǎn)后，再隨機(jī)地取另一點(diǎn)，如圖所示，△BCD為單位圓O的內(nèi)接等邊三角形，在圓O上可取定點(diǎn)B，當(dāng)另一點(diǎn)E取在劣弧CD上時(shí),BE〉BC.記事件A＝{弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)｝，劣弧CD的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的eq\f(1，3),所以由幾何概型的概率計(jì)算公式得P（A）＝eq\f（1,3）.1．過(guò)半徑為1的圓內(nèi)一條直徑上的任意一點(diǎn)作垂直于該直徑的弦,求弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率．［解］記事件A＝{弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)}，如圖所示，不妨在過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形BCD的頂點(diǎn)B的直徑BE上任取一點(diǎn)作垂直于直徑的弦，顯然當(dāng)弦為CD時(shí)等于邊長(zhǎng)，弦長(zhǎng)大于CD的條件是圓心O到弦的距離小于OF,由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f（\f（1，2）×2,2)＝eq\f（1,2），即弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是eq\f（1，2）。2.以半徑為1的圓內(nèi)任一點(diǎn)為中點(diǎn)作弦，求弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率．［解］記事件A＝｛弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)},如圖所示，作圓內(nèi)接等邊三角形BCD的內(nèi)切圓，當(dāng)以內(nèi)切圓(小圓)上任一點(diǎn)為中點(diǎn)作弦時(shí)，弦長(zhǎng)等于圓（大圓)內(nèi)接等邊三角形BCD的邊長(zhǎng)，所以弦長(zhǎng)超過(guò)圓（大圓）內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，弦的中點(diǎn)在小圓內(nèi),易得小圓半徑為eq\f(1,2),所以由幾何概型的概率公式得P(A）＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)））\s\up8（