2020高中數(shù)學(xué) 第一章 空間幾何體 1 球的體積和表面積練習(xí)（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第8課時球的體積和表面積對應(yīng)學(xué)生用書P17知識點一球的表面積1．如果兩個球的半徑之比為1∶3，那么這兩個球的表面積之比為()A．1∶9B．1∶27C．1∶3D．1∶1答案A解析設(shè)這兩個球的表面積分別為S1，S2,半徑分別為r1,r2，則eq\f(S1,S2）＝eq\f(4πr\o\al（2,1),4πr\o\al（2,2)）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(r1，r2）)）2＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,3))）2＝eq\f(1,9)．2．過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為(）A．eq\f（3,16）B．eq\f（9，16)C．eq\f(3,8）D．eq\f（9，32)答案A解析設(shè)球的半徑為R，所得的截面為圓M，圓M的半徑為r．畫圖可知，R2＝eq\f(1，4)R2＋r2，∴eq\f(3，4)R2＝r2．又S球＝4πR2，截面圓M的面積為πr2＝eq\f（3，4）πR2,∴所得截面的面積與球的表面積的比為eq\f(\f(3,4）πR2，4πR2)＝eq\f（3,16)．故選A．知識點二球的體積3．三個球的半徑的比為1∶2∶3,那么最大的球的體積是其他兩個球的體積和的(）A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍答案C解析∵三個球的半徑之比是1∶2∶3，∴可設(shè)三個球的半徑依次為r,2r,3r，根據(jù)球的體積公式，得它們的體積分別為V1＝eq\f（4,3）πr3，V2＝eq\f（4,3）π(2r)3＝eq\f(32，3)πr3,V3＝eq\f(4,3）π(3r)3＝36πr3，∴兩個較小球的體積之和為V1＋V2＝eq\f(4,3)πr3＋eq\f（32，3)πr3＝12πr3，由此可得,最大的球的體積與另兩個球的體積之和的比為36πr3∶12πr3＝3∶1．4．若將氣球的半徑擴大到原來的2倍,則它的體積擴大到原來的（）A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍答案C解析設(shè)氣球原來的半徑為r，體積為V,則V＝eq\f（4，3）πr3．當(dāng)氣球的半徑擴大到原來的2倍后,其體積變?yōu)閑q\f（4，3)π（2r）3＝8×eq\f（4，3）πr3．故選C．知識點三與球有關(guān)的組合體問題5．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(）A．9π＋42B．36π＋18C．eq\f(9π,2）＋12D．eq\f（9π，2）＋18答案D解析該幾何體的上部是一個半徑為eq\f(3，2)的球，下部是一個底面邊長為3，高為2的正四棱柱，故其體積為eq\f（4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3,2）))3＋3×3×2＝eq\f（9π，2)＋18．6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正（主)視圖,側(cè)（左）視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為(）A．eq\f(\r(2)π,2)＋eq\f（1,2）B．eq\f(4π，3)＋eq\f（1，6）C．eq\f(\r(2）π，6）＋eq\f（1,6）D．eq\f(2π,3)＋eq\f(1，2）答案C解析由三視圖可得該幾何體的上部分是一個三棱錐，下部分是半球，所以根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得V＝eq\f（1，2)×eq\f（4π,3)×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r（2)，2)))3＋eq\f(1，3）×eq\f(1，2）×1×1×1＝eq\f(\r（2）π,6）＋eq\f（1,6）．故選C．知識點四球的切、接問題7．已知一個表面積為24的正方體，假設(shè)有一個與該正方體每條棱都相切的球，則此球的體積為（)A．eq\f(4π，3）B．4eq\r（3)πC．eq\f(24\r(6）π，3）D．eq\f(8\r（2）π,3)答案D解析設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝24，解得a＝2．又球與正方體的每條棱都相切，則正方體的面對角線長為2eq\r(2），等于球的直徑長，所以球的半徑長是eq\r（2)，所以此球的體積為eq\f（4，3)π×（eq\r（2))3＝eq\f(8\r（2)π,3)．8．已知球與棱長均為3的三棱錐的各條棱都相切，則該球的表面積為________．答案eq\f(9π，2）解析可采用補體的方法,如圖,先畫一個正方體，正方體的棱長為eq\f（3\r(2),2)，那么正方體的面對角線長為3，取四點構(gòu)成棱長為3的三棱錐，若與三棱錐的各棱均相切，即與正方體的各面相切，所以正方體的內(nèi)切球就是所求的球，球的半徑為正方體棱長的一半，即eq\f（3\r（2）,4），這樣球的表面積為S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3\r（2），4)））2＝eq\f(9π,2)．對應(yīng)學(xué)生用書P18一、選擇題1．64個半徑都為eq\f(a,4)的球，記它們的體積之和為V甲，表面積之和為S甲;一個半徑為a的球，記其體積為V乙，表面積為S乙，則()A．V甲>V乙且S甲〉S乙B．V甲〈V乙且S甲〈S乙C．V甲＝V乙且S甲>S乙D．V甲＝V乙且S甲＝S乙答案C解析64個半徑都為eq\f（a,4）的球，它們的體積之和為V甲＝64×eq\f（4，3)πeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（a,4)))3＝eq\f(4，3)πa3，表面積之和為S甲＝64×4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a，4）)）2＝16πa2；一個半徑為a的球，其體積為V乙＝eq\f（4,3）πa3，表面積為S乙＝4πa2．所以V甲＝V乙且S甲〉S乙，故選C．2．兩個球的表面積之差為48π,它們的大圓周長之和為12π,則這兩個球的半徑之差為(）A．1B．2C．3D．4答案B解析設(shè)兩個球的半徑分別為R1,R2,且R1〉R2,則4π（Req\o\al(2,1)－Req\o\al(2,2））＝48π,2π（R1＋R2）＝12π，所以R1－R2＝2．3．正方體的內(nèi)切球與外接球的體積之比為（）A．1∶3B．1∶eq\r（3)C．1∶3eq\r(3）D．1∶2eq\r（3）答案C解析設(shè)正方體的棱長為a，則其內(nèi)切球的半徑為eq\f(1,2)a,外接球的半徑為eq\f(\r(3),2）a，所以內(nèi)切球與外接球的體積之比為eq\f(\f(4，3)π\(zhòng)f(1,2)a3,\f（4，3）π\(zhòng)f(\r（3）,2)a3)＝eq\f（1，3\r(3））．4．已知底面邊長為1，側(cè)棱長為eq\r(2)的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為(）A．eq\f(32π，3）B．4πC．2πD．eq\f(4π，3）答案D解析因為該正四棱柱的外接球的半徑是該正四棱柱體對角線長的一半,所以半徑r＝eq\f（1，2)eq\r（12＋12＋\r(2）2）＝1，所以V球＝eq\f(4π，3)×13＝eq\f（4π,3)．5．一平面截一球得到直徑為2eq\r(5）cm的圓面，球心到這個平面的距離是2cm，則該球的體積是（)A．12πcm3B．36πcm3C．64eq\r(6）πcm3D．108πcm3答案B解析設(shè)球心為O，截面圓心為O1，連接OO1，則OO1垂直于截面圓O1．如圖所示，在Rt△OO1A中，O1A＝eq\r（5）cm，OO1＝2cm，∴球的半徑R＝OA＝eq\r(22＋\r(5)2)＝3(cm),∴球的體積V＝eq\f（4,3)×π×33＝36π（cm3）．二、填空題6．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________．答案eq\f(4π，3)解析由三視圖可知該幾何體是一個組合體,上部分是半徑為1的球的eq\f(1，4)，其體積V1＝eq\f(1,4)×eq\f（4π,3)×13＝eq\f(π,3）；下部分是底面半徑為1，高為1的圓柱，其體積V2＝π×12×1＝π．所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝eq\f（4π,3)．7．一個球與一個正三棱柱(底面為等邊三角形，側(cè)棱與底面垂直）的兩個底面和三個側(cè)面都相切，若棱柱的體積為48eq\r(3），則球的表面積為________．答案16π解析根據(jù)題意可知球的直徑等于正三棱柱的高，三棱柱底面正三角形三邊中點組成的正三角形全等于球內(nèi)大圓的內(nèi)接正三角形．設(shè)正三棱柱底面邊長為a，高為h，球的半徑為R．由正三棱柱的體積V＝eq\f(\r（3)，4）a2h＝48eq\r(3)，得a2h＝192，又h＝2R，eq\r（3)R＝eq\f（1，2）a，所以（2eq\r（3）R)2·2R＝192，所以R＝2,所以球的表面積為S＝4πR2＝16π．8．如圖，若球O的半徑為5，一個內(nèi)接圓臺的兩底面半徑分別為3和4(球心O在圓臺的兩底面之間），則圓臺的體積為________．答案eq\f（259π，3)解析作經(jīng)過球心的截面(如圖)，由題意得O1A＝3，O2B＝4，OA＝OB＝5，則OO1＝4，OO2＝3,O1O2＝7,所以V＝eq\f(π，3)×（32＋eq\r（32×42)＋42）×7＝eq\f(259π,3)．三、解答題9．若一個底面邊長為eq\f（\r(6),2），側(cè)棱長為eq\r（6）的正六棱柱的所有頂點都在一個球面上,求該球的體積和表面積．解在底面正六邊形ABCDEF中，連接BE，AD交于O，連接BE1,則BE＝2OE＝2DE＝eq\r（6)，在Rt△BEE1中，BE1＝eq\r（BE2＋E1E2）＝2eq\r（3),所以2R＝2eq\r(3）,則R＝eq\r(3)，所以球的體積為V球＝eq\f(4，3）πR3＝4eq\r（3)π，球的表面積S球＝4πR2＝12π．10．如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，求該幾何體的表面積(其中∠BAC＝30°）及其體積．解如圖所示，過點C作CO1⊥AB于點O1，在半圓中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°,AB＝2R，∴AC＝eq\r(3）R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r（3),2）R，∴S球＝4πR2，S圓錐AO1側(cè)＝π×eq\f（\r（3），2)R×eq\r(3）R＝eq\f（3,2）πR2,S圓錐BO1側(cè)＝π×eq\f（\r(3）,2)R×R＝eq\f(\r（3）,2）πR2，∴S幾何體表＝S球＋S