2020高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.2.2 三角形中的幾何計(jì)算練習(xí)（含解析）5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第6課時(shí)三角形中的幾何計(jì)算知識(shí)點(diǎn)一三角形的面積問(wèn)題1．已知三角形的一邊長(zhǎng)為14，這條邊所對(duì)的角為60°，另兩條邊之比為8∶5，則這個(gè)三角形的面積為_(kāi)_______．答案40eq\r（3）解析設(shè)另兩條邊分別為8t，5t,t＞0，則142＝(8t)2＋（5t）2－2×8t×5t×cos60°，得49t2＝142，t＝2，故S＝eq\f(1，2）×16×10×sin60°＝40eq\r(3)．2．在△ABC中,a，b，c為它的三邊，且三角形的面積為eq\f（a2＋b2－c2，4），則角C等于________．答案eq\f(π,4）解析∵S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，∴sinC＝eq\f(a2＋b2－c2，2ab)．又cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab），∴sinC＝cosC．∴∠C＝eq\f(π，4)．3．在△ABC中，角A，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，cosA＝eq\f(4,5)，B＝60°，b＝eq\r（3）．(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面積．解（1）∵角A，B，C為三角形內(nèi)角，且B＝60°,cosA＝eq\f(4，5)．∴C＝120°－A，sinA＝eq\f(3，5）．∴sinC＝sin（120°－A)＝eq\f(\r（3），2)cosA＋eq\f（1,2)sinA＝eq\f(3＋4\r（3），10)．（2）由（1）知，sinA＝eq\f(3,5），sinC＝eq\f(3＋4\r(3），10）．又∵B＝60°,b＝eq\r（3)，∴由正弦定理,得a＝eq\f（bsinA,sinB）＝eq\f（6，5）,∴S△ABC＝eq\f（1,2）absinC＝eq\f(1,2）×eq\f（6，5)×eq\r(3）×eq\f（3＋4\r(3），10）＝eq\f(36＋9\r(3），50）．4．在△ABC中，內(nèi)角A，B,C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a,b，c，已知c＝2，C＝eq\f（π,3)．（1）若△ABC的面積等于eq\r(3），求a，b；(2）若sinC＋sin（B－A)＝2sin2A，求△ABC的面積．解(1）由余弦定理及已知條件,得a2＋b2－ab＝4．又因?yàn)椤鰽BC的面積等于eq\r(3),所以eq\f（1，2)absinC＝eq\r（3）,得ab＝4，聯(lián)立方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，)）解得a＝2，b＝2．（2)由題意,得sin(B＋A)＋sin（B－A）＝4sinAcosA,即sinBcosA＝2sinAcosA．當(dāng)cosA＝0時(shí),A＝eq\f（π,2），B＝eq\f（π，6）,∴a＝eq\f(4\r（3），3），b＝eq\f(2\r(3)，3)．∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2）·eq\r(a2－b2）·b＝eq\f(2\r（3）,3）．當(dāng)cosA≠0時(shí),sinB＝2sinA,由正弦定理，知b＝2a，聯(lián)立方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a2＋b2－ab＝4，,b＝2a，)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\f(2\r(3），3)，，b＝\f(4\r(3）,3).）)∴△ABC的面積S＝eq\f（1,2）absinC＝eq\f（2\r(3),3）．知識(shí)點(diǎn)二三角形中的幾何計(jì)算5．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r（3）＋1，AD＝eq\r(6)，∠ABC＝120°，∠DAB＝75°，則CD＝()A．eq\r（3)B．2eq\r(2)C．2eq\r(3）D．eq\r(2）＋1答案A解析如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E,過(guò)C作CF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于F，則DE∥CF,∠CBF＝60°，DE＝ADsin∠DAB＝eq\r（6)×sin(45°＋30°）＝eq\r（6）×eq\f（\r（6)＋\r(2），4）＝eq\f（3＋\r（3），2)，CF＝BCsin∠CBF＝（eq\r（3)＋1)×eq\f(\r（3），2)＝eq\f(3＋\r(3)，2）,所以四邊形DEFC是矩形，CD＝EF＝AB－AE＋BF，因?yàn)锳E＝ADcos∠DAB＝eq\r(6)×cos（45°＋30°）＝eq\r（6)×eq\f（\r（6)－\r(2），4)＝eq\f(3－\r(3),2)，BF＝BCcos∠CBF＝(eq\r（3）＋1)×eq\f（1,2)＝eq\f（\r（3）＋1,2),所以CD＝1－eq\f(3－\r（3)，2)＋eq\f（\r(3）＋1,2）＝eq\r(3）．故選A．6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c,cos2B－5cos(A＋C）＝2．(1)求角B的大??；（2)若cosA＝eq\f（1,7)，△ABC的面積為10eq\r(3)，求BC邊上的中線長(zhǎng)．解（1)由題易知2cos2B－1＋5cosB＝2,即2cos2B＋5cosB－3＝0，解得cosB＝eq\f（1，2)或cosB＝－3(舍去)．又0＜B＜π，∴B＝eq\f（π,3）．（2）∵cosA＝eq\f(1,7），∴sinA＝eq\f（4\r（3）,7)．∴S△ABC＝eq\f(1，2)bcsinA＝10eq\r（3)，∴bc＝35．①由正弦定理，得eq\f(b,sin\f(π,3）)＝eq\f(c,sin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π，3）))）,又sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（A＋\f(π，3)））＝eq\f（1，2）sinA＋eq\f(\r(3）,2)cosA＝eq\f(5\r(3)，14），∴5b＝7c，②由①②知，b＝7，c＝5，∴由余弦定理，得a＝eq\r(52＋72－2×5×7×\f（1,7)）＝8，∴BC邊上的中線長(zhǎng)為eq\r（52＋42－2×5×4×\f(1，2))＝eq\r(21)．7．在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A,B，C所對(duì)的邊，又c＝eq\r（21）,b＝4，且BC邊上的高h(yuǎn)＝2eq\r(3）．(1)求角C；(2）求邊a的長(zhǎng)．解(1)由于△ABC為銳角三角形,過(guò)A作AD⊥BC于D點(diǎn)，sinC＝eq\f（2\r(3）,4)＝eq\f（\r(3),2)，則C＝60°．（2）由余弦定理，可知c2＝a2＋b2－2abcosC，則（eq\r(21)）2＝42＋a2－2×4×a×eq\f(1,2),即a2－4a－5＝0．所以a＝5或a＝－1（舍去)．因此所求角C＝60°,邊a長(zhǎng)為5．易錯(cuò)點(diǎn)一解三角形時(shí)忽視解的個(gè)數(shù)8．已知△ABC中，B＝30°，AB＝2eq\r（3），AC＝2，求△ABC的面積．易錯(cuò)分析三角形內(nèi)角的正弦值都是正數(shù)，而這個(gè)內(nèi)角可能是銳角，也可能是鈍角，該題求出sinC后易丟掉C＝120°的情況漏解面積eq\r（3)．解由正弦定理,得sinC＝eq\f（ABsinB，AC）＝eq\f(2\r(3)sin30°，2)＝eq\f（\r(3),2）．∵AB＞AC，∴C＝60°或C＝120°．當(dāng)C＝60°時(shí)，A＝90°，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝2eq\r(3）;當(dāng)C＝120°時(shí)，A＝30°，S△ABC＝eq\f(1，2)AB·ACsinA＝eq\r(3)．故△ABC的面積為2eq\r(3）或eq\r(3）．易錯(cuò)點(diǎn)二忽略角的隱含范圍9．在△ABC中，B＝3A，求eq\f(b,a)的取值范圍．易錯(cuò)分析解三角形時(shí)角的范圍至關(guān)重要,該題中易由A，B為三角形內(nèi)角得A∈(0°,60°)致錯(cuò)，所以審題時(shí)要仔細(xì)挖掘隱含條件．解由正弦定理得eq\f（b,a)＝eq\f（sinB,sinA）＝eq\f(sin3A,sinA)＝eq\f（sinA＋2A,sinA）＝eq\f（sinAcos2A＋cosAsin2A，sinA）＝cos2A＋2cos2A＝4cos2A－1．∵A＋B＋C＝180°，B＝3A．∴A＋B＝4A＜180°,∴0°＜A＜45°．∴eq\f（\r（2）,2）＜cosA＜1，∴1＜4cos2A－1＜3，∴1＜eq\f（b,a)＜3．

一、選擇題1．已知圓的半徑R＝4，a，b，c為該圓的一個(gè)內(nèi)接三角形的三條邊，若abc＝16eq\r（2),則該三角形的面積為（）A．2eq\r(2）B．8eq\r(2)C．eq\r(2）D．eq\f（\r（2),2)答案C解析S＝eq\f（1，2）absinC＝eq\f(1,2)ab·eq\f(c,2R)＝eq\f(abc，4R）＝eq\f(16\r（2)，4×4)＝eq\r（2)．故選C．2．已知三角形的兩邊之差為2，夾角的余弦為eq\f(3,5），面積為6，那么這個(gè)三角形的兩邊分別為（）A．1和3B．2和4C．3和5D．4和6答案C解析設(shè)該三角形的某兩邊為b,c，夾角為A．依題意有c－b＝2，cosA＝eq\f（3,5），則sinA＝eq\f（4，5）．又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝6，所以bc＝15．又c－b＝2，故c＝5，b＝3．故選C．3．平行四邊形中，AC＝eq\r（65)，BD＝eq\r(17），周長(zhǎng)為18，則平行四邊形面積是（)A．16B．17．5C．18D．18．53答案A解析設(shè)兩鄰邊AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α,則a＋b＝9,a2＋b2－2abcosα＝17，a2＋b2－2abcos（180°－α)＝65．解得:a＝5，b＝4，cosα＝eq\f(3,5)或a＝4,b＝5,cosα＝eq\f（3，5)，∴S?ABCD＝absinα＝16．4．已知方程x2sinA＋2xsinB＋sinC＝0有重根，則△ABC的三邊a,b，c滿足關(guān)系式（)A．b＝acB．b2＝acC．a(chǎn)＝b＝cD．c＝ab答案B解析由Δ＝0，得4sin2B－4sinAsinC＝0．結(jié)合正弦定理得b2＝ac．故選B．5．如圖,平面上有四個(gè)點(diǎn)A,B,P，Q，其中A,B為定點(diǎn)，且AB＝eq\r(3），P，Q為動(dòng)點(diǎn)，且滿足AP＝PQ＝QB＝1，又△APB和△PQB的面積分別為S和T，則S2＋T2的最大值為(）A．eq\f（6，7）B．1C．eq\r(3)D．eq\f(7，8)答案D解析PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcosA＝PQ2＋BQ2－2PQ·BQcosQ，即3＋1－2eq\r（3)cosA＝1＋1－2cosQ，所以cosQ＝eq\r(3）cosA－1，所以S2＋T2＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3）,2）sinA））2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)sinQ)）2＝eq\f（3,4）sin2A＋eq\f（1,4）sin2Q＝eq\f（3,4）(1－cos2A）＋eq\f（1，4）(1－cos2Q）＝－eq\f(3，2）cosA－eq\f(\r（3),6)2＋eq\f（7，8)，所以當(dāng)cosA＝eq\f(\r(3）,6）時(shí)，S2＋T2取得最大值eq\f(7,8）．故選D．二、填空題6．在△ABC中，已知a＝8，c＝18，S△ABC＝36eq\r（3）,則B等于________．答案eq\f(π，3）或eq\f（2π,3)解析由S＝eq\f（1，2)acsinB得eq\f(1，2）×8×18×sinB＝36eq\r（3)，∴sinB＝eq\f（\r（3),2）．又∵B∈（0,π)，∴B＝eq\f（π,3)或eq\f（2π，3）．7．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角為120°，則該三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案30解析∵a－b＝4，∴a>b．又∵a＋c＝2b，∴b＋4＋c＝2b．∴b＝4＋c，∴a>b〉c．∴最大角為A，∴A＝120°．∴cosA＝eq\f（b2＋c2－a2，2bc)＝－eq\f(1,2）．∴b2＋c2－a2＝－bc．∴b2＋(b－4）2－（b＋4)2＝－b(b－4）,即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b．∴b2－10b＝0，∴b＝10，a＝14，c＝6,∴三角形的周長(zhǎng)為a＋b＋c＝30．8．在△ABC中，a2－b2＋bccosA－accosB＝________．答案0解析由余弦定理cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc)，得bccosA＝eq\f（1，2)(b2＋c2－a2)，同理accosB＝eq\f(1,2)（a2＋c2－b2）．∴a2－b2＋bccosA－accosB＝a2－b2＋eq\f（1，2）（b2＋c2－a2)－eq\f（1,2）(a2＋c2－b2)＝a2－b2＋b2－a2＝0．三、解答題9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b,c，且eq\r(3）(a－ccosB）＝bsinC．（1)求角C的大??；（2)若△ABC的面積S＝10eq\r(3），a＋b＝13，求sinAsinB及cosAcosB的值．解(1)eq\r（3)（a－ccosB）＝bsinC?eq\r(3）[sin（B＋C)－sinCcosB］＝sinBsinC，∴eq\r(3)sinBcosC＝sinBsinC，又在△ABC中，sinB≠0,∴tanC＝eq\r（3）?C＝60°．(2)S＝10eq\r(3)＝eq\f（1，2）absin60°?ab＝40，由余弦定理得c2＝（a＋b)2－2ab－2abcosC＝（a＋b)2－3ab＝49，∴c＝7,∴由正弦定理得sinAsinB＝eq\f（ab，c2)sin260°＝eq\f（30，49),∴cosAcosB＝cos(A＋B）＋sinAsinB＝－cosC＋eq\f（30,49）＝－eq\f（1,2)＋eq\f（30，49）＝eq\f(11，