多元復(fù)合函數(shù)微分法

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——多元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（三）腳本編寫：彭亞新課件制作：彭亞新第五講多元復(fù)合函數(shù)微分法主講教師：彭亞新多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!章多元函數(shù)微分學(xué)第五節(jié)多元復(fù)合函數(shù)微分法熟悉多元函數(shù)全導(dǎo)數(shù)的概念和計算方法。熟練掌握復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則。能熟練地、準(zhǔn)確地計算二、三元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。了解全微分形式不變性。本節(jié)教學(xué)要求：多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!請點(diǎn)擊第五節(jié)多元復(fù)合函數(shù)微分法一.全導(dǎo)數(shù)三.全微分形式不變性二.鏈導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!多元函數(shù)經(jīng)復(fù)合運(yùn)算后,一般仍是多元函數(shù),但也可能成為一元函數(shù).按前面關(guān)于多元函數(shù)的討論方法,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的研究可從復(fù)合后成為一元函數(shù)的情況開始.這就是全導(dǎo)數(shù)問題.一.全導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!例解你能由此猜想到多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則嗎？+多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!(全導(dǎo)數(shù)公式)定理多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!(全導(dǎo)數(shù)公式)現(xiàn)在證明定理定理多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!由可導(dǎo),故必連續(xù),從而時,定理獲證為什么取絕對值?多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!設(shè)以下函數(shù)滿足定理的條件,寫出二元和三元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)公式:請同學(xué)自己寫例多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!你做對了嗎?多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!假設(shè)所有出現(xiàn)的函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算均成立,試想一下如何求下面函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!從上面的作法可以看出,將復(fù)合的多元函求函數(shù)偏導(dǎo)數(shù).全導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo),在具體求導(dǎo)過程中實質(zhì)上是數(shù)中其余的變量看成常數(shù),對某一個變量運(yùn)用你能由此得出多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則嗎?多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!定理設(shè)在點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)可微,則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),且處均可導(dǎo),且在m個n元函數(shù)

一個m元函數(shù)

一個n元函數(shù)該定理可視為全導(dǎo)數(shù)定理的推廣:看成常數(shù),運(yùn)用全導(dǎo)數(shù)公式,將求導(dǎo)記號作相應(yīng)改變即可證明該定理.將諸多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!設(shè)求例解多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!設(shè)求令則關(guān)于u的一元函數(shù)例解多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!設(shè)其中求令則例解多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!設(shè)函數(shù)均可微,求gg例解多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!對二元函數(shù)來說,在可微的條件下,f的全微分總可寫為：不論x和y是自變量還是中間變量,詳細(xì)的推導(dǎo)過程請同學(xué)自己看書.多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!設(shè)應(yīng)用全微分形式不變性求與比較,得例解多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!下面看另一種解法.例解多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!將例中的情形進(jìn)行一般性的描述由此可推至一般的情況多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!+全導(dǎo)數(shù)公式圖示多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!從而由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)定義,取的極限:給x

以增量,相應(yīng)地有證多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!設(shè),求令則例解多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!開始對答案多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!一般多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二.鏈導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!將y看成常數(shù)將x看成常數(shù)分別將x,y看成常數(shù),按全導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo),而在具體運(yùn)算時,實質(zhì)上又是求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!定理設(shè)在點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)可微,則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),且處均可導(dǎo),且在m個n元函數(shù)

一個m元函數(shù)

一個n元函數(shù)多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!設(shè)滿足定理的條件,則有例多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!設(shè)求例解多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!設(shè)求自己做例解多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!設(shè)函數(shù)均可微,求gg例解多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!記得嗎?一元函數(shù)的微分有一個重要性質(zhì)：一階微分形式不變性對函數(shù)不論u是自變量還是中間變量,在可微的條件下,均有三.全微分形式不變性多元復(fù)合函數(shù)微分法共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第