高中數(shù)學復習-數(shù)列求和-裂項相消法

裂項相消法求和把數(shù)列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項．c1、特別是關于anan1,其中an是各項均不為０的等差數(shù)列,平時用裂項相消法，即利用cc11,其中danan=danan11anan12、常有拆項:1111)nn1n(n11(11)(2n1)(2n1)22n12n1n(n12)1[11)1]1)(n2n(n(n1)(n2)nn!(n1)!n!n11(n1)!n!(n1)!1例1求數(shù)列{}的前n和Sn．n(n1)1例2求數(shù)列{}的前n和Sn.n(n2)1例31}的前n和Sn.求數(shù)列{n(n1)(n2)例4求數(shù)列111的前ｎ項和。,,,,1223nn1例5:求數(shù)列111，，1,,,的前n項和Ｓ132435n(n2)2242(2n)2例６、求和Sn35(2n1)(2n1)132一、累加法1．適用于:an1anf(n)-—-—-———－-這是廣義的等差數(shù)列累加法是最基本的二個方法之一。２.若an1anf(n)(n2)，a2a1f(1)a3a2f(2)則an1anf(n)n兩邊分別相加得an1a1f(n)k1例1已知數(shù)列{an}滿足an1an2n1，a11,求數(shù)列{an}的通項公式。解：由an1an2n1得an1an2n1則an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1[2(n1)1][2(n2)1](221)(211)12[(n1)(n2)21](n1)12(n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2因此數(shù)列{an}的通項公式為ann2.例2已知數(shù)列{an}滿足an1an23n1，a3,求數(shù)列{an}的通項公式。1解法一:由an1an23n1得an1an23n1則3an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1(23n11)(23n21)(2321)(2311)32(3n13n23231)(n1)33(13n1)(n1)32133n3n133nn1因此an3nn1.解法二:an13an23n1兩邊除以3n1,得an1an21,3n13n33n1則an1an21,故3n1n33n13ananan1)(an1an2an2an3(a2a1a1n(nan1n2)(n2n3)21)333an133333(21n)(21n1)(2n12)(212)33333333332(n1)111113(3n3n3n13n232)11n1因此an2(n1)3n(13)12n11，3n3133223n則an2n3n13n1.322練習1。已知數(shù)列an的首項為１,且an1an2n(nN*)寫出數(shù)列an的通項公式.答案：n2n1anan11{an}a13(n2)練習２.已知數(shù)列滿足，n(n1)

，求此數(shù)列的通項公式.an2

1答案:裂項求和n評注:已知a1aan1anf(n)n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分,,其中ｆ(ｎ)可以是關于式函數(shù),求通項an。4①若ｆ(n）是關于n的一次函數(shù),累加后可轉變成等差數(shù)列求和;②若f(n）是關于n的二次函數(shù),累加后可分組求和；③若f(n)是關于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉變成等比數(shù)列求和;④若ｆ(n)是關于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。例３.已知數(shù)列{an}中,anSn1(ann),求數(shù)列{an}的通項公式.0且2anSn1(ann)Sn1(SnSn1n)解:由已知2an得2SnSn1,化簡有Sn2Sn21n,由種類(１)有Sn2S1223n，2n(n1)2n(n1)又S1a1得a11,因此Sn2,又an0,sn2,an2n(n1)2n(n1)2則此題也可以用數(shù)學歸納法來求解。二、累乘法1.適用于:an1f(n)an-——————－—-這是廣義的等比數(shù)列累乘法是最基本的二個方法之二。2．若an1a2a3f(2)，an1f(n)anf(n)，則f(1)，，a1a2anan1n兩邊分別相乘得，a1f(k)a1k1例4已知數(shù)列{an}滿足an12(n1)5na，a3，求數(shù)列{an}的通項公式.n1解:因為an12(n1)5nan，a13,因此an0，則an12(n1)5n，故an5ananan1a3a2aanana2a1112[2(n11)5n1][2(n21)5n2][2(21)52][2(11)51]32n1[n(n1)32]5(n1)(n2)2132n1n(n1)352n!2n1n(n1)因此數(shù)列{an}的通項公式為an352n!.例５。設an是首項為1的正項數(shù)列，且n1an21nan2an1an0（n=1,２,3，），則它的通項公式是an=_＿______.解:已知等式可化為:(an1an)(n1)an1nan0an1nan0(nN*)(n+1）an1nan0，即ann1ann1n2時,an1nananan1a2a1n1n2111an1an2a1=nn12=n。評注:此題是關于an和an1的二次齊次式,可以經過因式分解(一般情況時用求根公式）獲取an與an1的更為明顯的關系式，進而求出an.練習。已知an1nann1,a11，求數(shù)列{ａn}的通