2018年文科數(shù)學(xué)全國(guó)三卷真題及答案

2018年數(shù)學(xué)試題文(全國(guó)卷3)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.)TOC\o"1-5"\h\z已知集合A={xIx-1三0},B={0,1,2},則AIB=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}(1+i)(2-i)=()A.-3—iB.-3+iC.3—iD.3+i中國(guó)古建筑借助樺卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫棒頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是棒頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()4.若sina=4.若sina=，則cos2a=3則不用現(xiàn)金支若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為付的概率為()則不用現(xiàn)金支TOC\o"1-5"\h\zA.B.C.D.函數(shù)f(x)=tanX的最小正周期為()1+tan2xA.—B.—C.兀D.2兀42下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)y=lnx的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱的是()A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)

8.直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上，則AABP面積的取值范圍是()A.[A.[2,6〕B.【4,8〕C.[V2,3何D.[2逅,3運(yùn)]已知雙曲線C：蘭-22=1(a>0,b>0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的a2b2距離為()A.72B.2C.D.2r22AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若AABC的面積為血+b2—c2，則c=4()A.B.巴C.色A.B.巴C.色D.巴34612.設(shè)A，BC，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，AABC為等邊三角形且其面積為"3，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A.12爲(wèi)B(tài).A.12爲(wèi)B(tài).1^-'3C.24杼D.54^3二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）TOC\o"1-5"\h\z13.已知向量a=（1,2）,b=（2,-2）,c=（1,分.若c〃（2a+b），則X=.14．某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異．為了解客戶的評(píng)價(jià)，該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是2x+y+3三0,15.若變量x,y滿足約束條件卜-2y+4三0,則z=x+-y的最大值是.x一2W0.'16.已知函數(shù)f（x）=In（1-x2-x）+1,f（a）=4，則f（-a）=.三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17~31題為必考題，每個(gè)試考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．）（一）必考題：共60分。17．（12分）等比數(shù)列｛a｝中，a=1，a=4a．n153⑴求｛a｝的通項(xiàng)公式；n⑵記S為｛a｝的前n項(xiàng)和.若S=63，求m.nnm18．（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位:min）繪制了如下莖葉圖:

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式si655689976210I2234566S776543328144521100g0⑴根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高并說(shuō)明理由；⑵求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:超過(guò)m不超過(guò)m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式⑶根據(jù)⑵中的列表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異附：K2(ad一be附：K2(ad一be)2(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)P(K2三k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是匚口上異于C，D的點(diǎn).⑴證明：平面AMD丄平面BMC；⑵在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC〃平面PBD說(shuō)明理由.

20．（12分）已知斜率為k的直線1與橢圓C送++二1交于A，B兩點(diǎn)?線段AB的中點(diǎn)為M（】，m）（m〉。）?⑴證明：k<--;2uuruturuur0■證明：2FP二FA+FBuuuruuuruuur⑵設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且FP+FA+FB=21．（12分）已知函數(shù)f（x）=3二.ex⑴求由線y=f（x）在點(diǎn)（0,-1）處的切線方程;⑵證明：當(dāng)a三1時(shí)，f（x）+e三0.（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22．［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OO的參數(shù)方程為F―汽（9為參數(shù)）,Iy=sin9過(guò)點(diǎn)C,-<2）且傾斜角為a的直線l與0O交于A,B兩點(diǎn).⑴求a的取值范圍；⑵求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.23．［選修4—5：不等式選講］（10分）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1+|x-1|.⑴畫(huà)出y=f（x）的圖像；⑵當(dāng)x丘［0,+8）,f（X）Wax+b,求a+b的最小值參考答案一、選擇題1.答案：C解答：A二｛xIx—1>0｝二｛xIx>1｝,B二｛0,1,2｝，二AIB二｛1,2｝.故選C.答案：D解答：(1+i)(2—i)—2+i—i2—3+i，選D.答案：A解答：根據(jù)題意，A選項(xiàng)符號(hào)題意;答案：B27解答：cos2a—1一2sin2a—1一§—9?故選B.答案：B解答：由題意P—1—0.45—0.15—0.4.故選B.答案：C解答：sinxtanxcosxsinxcosx1.f(x)————sinxcosx—sin2x,1+tan2xsin2xsin2x+cos2x21+cos2x2兀???f(x)的周期T—亍—兀?故選C.答案：B解答：f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱，則f(x)=f(2—x)—ln(2—x).故選B.答案：A解答：由直線x+y+2—0得A(—2,0),B(0,—2)，二IAB1=\；22+22—2\2，圓2+2(x—2)2+y2=2的圓心為(2,0)圓心到直線x+y+2—0的距離為=2^2,1+1???點(diǎn)P到直線x+y+2—0的距離的取值范圍為2邁—邁<d<2^2+邁，即__.1<2<d<3巨，二S—IABIdg[2,6].AABP2答案：D解答：當(dāng)x—0時(shí)，y—2，可以排除A、B選項(xiàng)；又因?yàn)閥'——4x3+2x——4x（x+才）（x—才），則f'（x）>0的解集為（-叫-耳）U（0，￥），f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（—O—￥），（°，￥）;f'（x）<0的解222邁集為（—亍，°）U（丁，+Q，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（一丁，°），（丁,+Q?結(jié)合圖象,可知D選項(xiàng)正確.答案：D解答：cb由題意e=—=J2，則一-1，故漸近線方程為x土y—0，則點(diǎn)（4,0）到漸近線的距離aa為d-竺-2?邁■故選D.答案:C解答：SAABC=丄absinC,故tanC=1,^2a2+SAABC=丄absinC,故tanC=1,^24二4二2abcosC，又SAABCC=—.故選C.4答案:B解答：如圖，AABC為等邊三角形，點(diǎn)0為A,B,C,D外接球的球心，G為AABC的重心，由S=9J3，得AB=6，取BC的中點(diǎn)H，二AH=AB-sin60o=3爲(wèi)，二AG=-AH=2爲(wèi),AABC3???球心0到面ABC的距離為d="2-(2j3)2=2，二三棱錐D-ABC體積最大值V=1xV=1x9爲(wèi)x(2+4)=18朽.D-ABC3二、填空題113.答案：2解答：解答：rr2a+b=(4,2)，rr1■/c//(2a+b),.?.1x2—九x4=0，解得X=-.214．答案：分層抽樣解答：由題意，不同齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異，故采取分層抽樣法.15．答案：3解答：由圖可知在直線x―2y+4=0和x=2的交點(diǎn)(2,3)處取得最大值，故z=2+3x3=3.

16.答案：16.答案：—2解答：f(—x)—lnC+x2+x11(xGR)f(x)+f(—x)=ln(*1+x2—x)+1+ln(1+x2+x)+1—ln(1+x2—x2)+2=2,f(a)+f(—a)—2，二f(—a)——2.三、解答題17.答案:(1)a—2n-1或a—(—2)n-1；(2)6.nna解答：（1）設(shè)數(shù)列｛a｝的公比為q，二q2—4，二q—±2.na3..a—2n—1c或a—(—2)n—1.nn由(1)知，S—「亍—2n—1或S—1：(-；)"—1n1—2n1+23—2m—2m—1—63或S—m3—63(舍)，解答：x—84x—74.7（1）第一種生產(chǎn)方式的平均數(shù)為x1—84，第二種生產(chǎn)方式平均數(shù)為x2—74"x>x，所以第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時(shí)間大于第二種，.?.第二種生產(chǎn)方式的12效率更高.

K2二na—bc)2二4°心15—5X5)2二10>6.6353)???有(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20x20x20x3)???有的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.19．解答：(1)t正方形ABCD丄半圓面CMD,?AD丄半圓面CMD，二AD丄平面MCD.CM在平面MCD內(nèi)，AD丄CM，又M是半圓弧CD上異于C,D的點(diǎn)，?CM丄MD.又ADIDM=D，?CM丄平面ADM，:CM在平面BCM內(nèi)，?平面BCM丄平面ADM.(2)線段AM上存在點(diǎn)P且P為AM中點(diǎn)，證明如下：連接BD,AC交于點(diǎn)O，連接PD,PB,PO；在矩形ABCD中，O是AC中點(diǎn)，P是AM的中點(diǎn)；?OP//?OP//MC，tOP在平面PDB內(nèi)，MC不在平面PDB內(nèi)，?mc//平面PDB.20．解答：(1)設(shè)直線1方程為y=kx+t，設(shè)A(x,y),B(x,y),1122y=kx+1<x2y2聯(lián)立消y得(4k2+3)x2+8ktx+4t2—12=0,—+二=1TOC\o"1-5"\h\zI43則A=64k2t2—4(412—12)(3+4k2)>0,得4k2+3>12…①，—8kt6t且x+x==2,y+y=k(x+x)+2t==2m,123+4k2512123+4k2'■/m>0，二t>0且k<0.3+4k2且t=…②.—4k由①②得4k由①②得4k2+3>(3+4k2)216k2■/k<0，二k<■/k<0，二k<—-.2uuruuruurr(2)FP+FA+FB=0uuruuurrFP+2FM=0,■/M(1護(hù)),F(1,0)P的坐標(biāo)為(1,—2m).由于P在橢圓上，???4+警=1，二m=I,M(1,—|),=1，y—y兩式相減可得x—x12x+xT”，y+y12又叮x又叮x2=2，人+y2，二k=—1,3直線1方程為y—4=—(x—1),即y=—x+4,x2y2+-消去y得28x消去y得28x2—56x+1二0x1,214土3^21142+y22+y22=35IFAI+IFB1=(x-1)2+y2+uur,33IFP1=\：(1-1)2+(-2-0)2=2，uuuruuuruuur/.IFAI+IFB1=21FPI.21．解答:(1)由題意：f(x)=ax2+x-1得ex(2ax+1)e(2ax+1)ex-(ax2+x-1)ex-ax2+2ax-x+2(ex)2ex2f'(0)=-=2，即曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線斜率為2,二y-(-1)=2(x—0)，即2x—y—1=0；2)證明：由題意：原不等式等價(jià)于：ex+1+ax2+x-1>0恒成立；令g(x)=ex+1+ax2+x-1，/.g'(x)=ex+1+2ax+1,g''(x)=ex+1+2a,■/a>1，二g''(x)>0恒成立，/.g'(x)在(-a,+8)上單調(diào)遞增，g'(x)在(―叫+8)上存在唯一x使g'(x)=0,00ex0+1+2ax0+1=0，即ex0+1=-2ax0一1，且g(x)在(-8,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,+8)上單調(diào)遞增，???g(x)>g(x0)-又g(x)=ex0+1+ax2+x-1=ax2+(1-2a)x-2=(ax+1)(x-2)，00000000g)=e1-a—1,va>1,二0We-a—1<e—1，二xW-—,二g(x)>0,得證.

a0a0綜上所述：當(dāng)a>1時(shí)，f(x)+e>0.

22．解答：fx二cos0(1)eO的參數(shù)方程為fQ，二eO的普通方程為x2+y2=1，當(dāng)a=90。時(shí),[y二sm6直線：l:x=0與eO有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)az90。時(shí)，設(shè)直線l的方程為y二xtana-邁，由直線l與eO有兩個(gè)交點(diǎn)有10+0f21<1，得tan2a>1，二tana>1或tana<—1,二1+tan2a45°<a<90?；?0°<a<135。，綜上aG(45。,135。).x2+y2=1①有x2+(kx—yl2)2=1，整理⑵點(diǎn)P坐標(biāo)為(xx2+y2=1①有x2+(kx—yl2)2=1，整理丸③x—1+k2

y=三④1+k2方程為y=戲-邁，A(x1,y1)丸③x—1+k2

y=三④1+k2得(1+k2)x2—2屁