高二數(shù)學(xué)：專題02二項(xiàng)式定理（解析版）（人教A版選擇性必修第三冊(cè)）

專題02二項(xiàng)式定理一、單選題1．（2020·吐魯番市高昌區(qū)第二中學(xué)高二期末）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．第5項(xiàng) B．第5項(xiàng)或第6項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．不存在【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意，展開式中的通項(xiàng)為，令，可得；則其常數(shù)項(xiàng)為第項(xiàng)；故選．2．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C．30 D．50【答案】B【詳解】表示5個(gè)因式的乘積，在這5個(gè)因式中，有2個(gè)因式都選，其余的3個(gè)因式都選1，相乘可得含的項(xiàng)；或者有3個(gè)因式選，有1個(gè)因式選，1個(gè)因式選1，相乘可得含的項(xiàng)，故項(xiàng)的系數(shù)為，故選B．3．（2020·江蘇高一期中）二項(xiàng)式的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由得：展開式的通項(xiàng)為，令，據(jù)題意此方程有解，，當(dāng)時(shí)，最小為，故選：B.4．（2021·山東濟(jì)寧市·高三一模）若的展開式中的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．1 D．2【答案】A【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，得，則，所以，解得.故選：A5．（2020·山東棗莊市·高二期末）若展開式的常數(shù)項(xiàng)等于，則（）A． B． C．2 D．3【答案】C【詳解】解：展開式的通項(xiàng)公式為：，所以當(dāng)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為：，的展開式無(wú)常數(shù)項(xiàng)，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為：，解得：故選：C.6．（2021·貴州高三開學(xué)考試（理））已知二項(xiàng)式的展開式中，第二項(xiàng)和第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式展開式中第二項(xiàng)和第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,所以,所以,故選：C7．（2021·湖北黃岡市·高二期末）已知二項(xiàng)式的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A．-80 B．80 C．-160 D．-120【答案】C【詳解】解：因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，所以的展開式的通項(xiàng)為，令，得，故，故展開式中的系數(shù)為故選：C8．（2020·安徽省太和第一中學(xué)高二月考（理））已知，則()A． B．0 C．14 D．【答案】B【詳解】解：由題知，，且，則，，所以.故選：B.9．（多選）（2021·全國(guó)高三其他模擬）已知，則（）A．B．C．D．【答案】ABC【詳解】因?yàn)榱?，得，故選項(xiàng)A正確；令，得，所以，故選項(xiàng)C正確；易知該二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，令，得，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:：ABC10．（多選）（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）(多選題)若二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15，則實(shí)數(shù)m的值可能為（）A．1 B．－1C．2 D．－2【答案】AB【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，，令，得，常數(shù)項(xiàng)為，，得，故答案為.故選：AB11．（多選）（2020·江蘇宿遷市·宿遷中學(xué)高二期中）對(duì)于展開式的二項(xiàng)式系數(shù)下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， D．【答案】ABCD【詳解】解：選項(xiàng)A：由組合數(shù)的運(yùn)算直接可得，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：由楊輝三角直接可得，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：二項(xiàng)式展開式中，令，不論為奇數(shù)還是偶數(shù)，都可得，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：由選項(xiàng)C可知，故選項(xiàng)D正確.故選：ABCD12．（多選）（2021·江蘇省天一中學(xué)高三二模）已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．展開式中常數(shù)項(xiàng)為160C．展開式系數(shù)的絕對(duì)值的和1458D．若為偶數(shù)，則展開式中和的系數(shù)相等【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，令二項(xiàng)式中的為1得到展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為，，故A正確；對(duì)于B，，展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)展開式是中常數(shù)項(xiàng)為：令,得可得展開式中常數(shù)項(xiàng)為：，當(dāng)展開式是中常數(shù)項(xiàng)為：令,得(舍去)故的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，求其展開式系數(shù)的絕對(duì)值的和與展開式系數(shù)的絕對(duì)值的和相等，令，可得：展開式系數(shù)的絕對(duì)值的和為：.故C正確；對(duì)于D，展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)為偶數(shù)，保證展開式中和的系數(shù)相等①和的系數(shù)相等，展開式系數(shù)中系數(shù)為：展開式系數(shù)中系數(shù)為：此時(shí)和的系數(shù)相等，②和的系數(shù)相等，展開式系數(shù)中系數(shù)為：展開式系數(shù)中系數(shù)為：此時(shí)和的系數(shù)相等，③和的系數(shù)相等，展開式系數(shù)中系數(shù)為：展開式系數(shù)中系數(shù)為：此時(shí)和的系數(shù)相等，故D正確；綜上所在，正確的是：ACD故選：ACD.二、填空題13．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在如圖所示的三角形數(shù)陣中，從第3行開始，每一行除1以外，其他每一個(gè)數(shù)字都是其上一行的左、右兩個(gè)數(shù)字之和.若在此數(shù)陣中存在某一行，滿足該行中有三個(gè)相鄰的數(shù)字之比為，則這一行是第______行（填行數(shù)）.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561【答案】98【詳解】三角形數(shù)陣中，第n行的數(shù)由二項(xiàng)式系數(shù)組成，如果第n行中有，，那么，解得，故答案為：98.14．（2020·湖南高二月考）如圖中的楊輝三角最早出現(xiàn)于我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》．它有很多奇妙的性質(zhì)，如除1以外的每個(gè)數(shù)等于它“肩上”兩數(shù)之和、揭示了（為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律等．由此可得圖中第7行從左到右數(shù)第4個(gè)數(shù)是__