高二數(shù)學(xué)：第二課時 兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用

第二課時兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用課標要求素養(yǎng)要求1.進一步理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別.2.會正確應(yīng)用這兩個計數(shù)原理計數(shù).通過進一步應(yīng)用兩個計數(shù)原理，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).新知探究青島是一座美麗的濱海城市，空氣良好，城市生活也很悠閑，海水清澈漂亮，能看到美麗的海岸線，青島的海鮮很便宜，海濱城市邊吃海鮮邊吹海風很愜意，小新決定“五一”期間從棗莊乘火車到濟南辦事，再于次日從濟南乘汽車到青島旅游，一天中火車有3班，汽車有2班，他將如何安排行程？問題上述情境中，小新從棗莊到濟南共有多少種不同的走法？提示因為乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，所以從棗莊到青島需乘一次火車再接著乘1次汽車就可以了，因此共有3×2＝6(種)不同的走法．兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系用兩個計數(shù)原理解決問題時，要明確是需要分類還是需要分步，有時，可能既要分類又要分步分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點用來計算完成一件事的方法種類不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的一種方法不能獨立完成這件事)注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整拓展深化[微判斷]1．分類計數(shù)是指將完成這件事的所有方式進行分類，每一類都能獨立完成該事件．(√)2.分步計數(shù)是指將完成這件事分解成若干步驟，當完成所有的步驟時，這個事件才算完成．(√)3．當一個事件既需要分步又需要分類時，分步和分類沒有先后之分．(×)提示當一個事件既需要分步又需要分類時，通常要明確是先分類后分步還是先分步后分類，并且要明確分類的標準和分步的程序問題．[微訓(xùn)練]1．有A，B兩種類型的車床各一臺，現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會操作兩種車床，丙只會操作A種車床，要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床，則不同的選派方法有()A．6種 B．5種C．4種 D．3種解析不同的選派情況可分為3類：若選甲、乙，有2種方法；若選甲、丙，有1種方法；若選乙、丙，有1種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，不同的選派方法有2＋1＋1＝4(種)．答案C2．某班有3名學(xué)生準備參加校運會的100米、200米、跳高、跳遠四項比賽，如果每班每項限報1人，則這3名學(xué)生的參賽的不同方法有()A．24種 B．48種C．64種 D．81種解析由于每班每項限報1人，故當前面的學(xué)生選了某項之后，后面的學(xué)生不能再報，由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×2＝24(種)不同的參賽方法．答案A[微思考]用前6個大寫英文字母和1～9九個阿拉伯數(shù)字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？提示編寫一個號碼要先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數(shù)字，我們可以用樹形圖列出所有可能的號碼．如圖：由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有6×9＝54(個)不同的號碼.題型一兩個計數(shù)原理在排數(shù)中的應(yīng)用【例1】用0，1，2，3，4五個數(shù)字，(1)可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(種)，即可以排成125個三位數(shù)字的電話號碼．(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(種)，即可以排成100個三位數(shù)．(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因而有12＋18＝30(種)排法，即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．【遷移】(變設(shè)問)由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？解完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1，3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用過的一個剩下的3個中任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步乘法計數(shù)原理知共有2×3×3×2＝36(個)．規(guī)律方法對于組數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則：(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵．一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解．(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位．【訓(xùn)練1】從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．6解析由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況；奇偶奇，偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共有12＋6＝18(種)情況．故選B.答案B題型二分配問題【例2】高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有()A．360種 B．420種C．369種 D．396種解析法一(直接法)以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為四類：第一類，四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；第二類，有三個班級去甲工廠，剩下的班級去另外四個工廠，其分配方案共有4×4＝16(種)；第三類，有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有6×4×4＝96(種)；第四類，有一個班級去甲工廠，其他班級去另外四個工廠，其分配方案有4×4×4×4＝256(種)．綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種)．法二(間接法)先計算四個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：5×5×5×5－4×4×4×4＝369(種)方案．答案C規(guī)律方法選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法(1)當涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法．(2)當涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若按對象特征抽取的，則按分類進行．②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．【訓(xùn)練2】(1)有4位老師在同一年級的4個班級中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是()A．11 B．10C．9 D．8(2)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有()A．280種 B．240種C．180種 D．96種解析(1)法一設(shè)四個班級分別是A，B，C，D，它們的老師分別是a，b，c，d，并設(shè)a監(jiān)考的是B，則剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級，共有3種不同的方法；同理當a監(jiān)考C，D時，剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級也各有3種不同的方法．這樣，由分類加法計數(shù)原理知共有3＋3＋3＝9(種)不同的安排方法．法二讓a先選，可從B，C，D中選一個，即有3種選法．若選的是B，則b從剩下的3個班級中任選一個，也有3種選法，剩下的兩個老師都只有一種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有3×3×1×1＝9(種)不同安排方法．(2)由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法．后面三項工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案．答案(1)C(2)B題型三涂色問題【例3】如圖所示，要給“創(chuàng)”、“新”、“設(shè)”、“計”四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，有多少種不同的涂色方法？解創(chuàng)、新、設(shè)、計四個區(qū)域依次涂色，分四步．第1步，涂“創(chuàng)”區(qū)域，有3種選擇．第2步，涂“新”區(qū)域，有2種選擇．第3步，涂“設(shè)”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”、“新”區(qū)域顏色不同，有1種選擇．第4步，涂“計”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”“設(shè)”區(qū)域顏色不同，有1種選擇．所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(種)．規(guī)律方法求解涂色(種植)問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解，常用方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析；(2)以顏色(種植作物)為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類加法計數(shù)原理分析；(3)對于涂色(立方體)問題將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問題.【訓(xùn)練3】如圖所示，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有四種不同的花供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法種數(shù)為()A．96 B．84C．60 D．48解析依次種A，B，C，D4塊，當C與A種同一種花時，有4×3×1×3＝36(種)種法；當C與A所種的花不同時，有4×3×2×2＝48(種)種法．由分類加法計數(shù)原理知，不同的種法種數(shù)為36＋48＝84.答案B一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習重點提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．2．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是兩個最基本，也是最重要的原理，是解答排列、組合問題，尤其是較復(fù)雜的排列、組合問題的基礎(chǔ)．3．應(yīng)用分類加法計數(shù)原理要求分類的每一種方法都能把事件獨立完成；應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理要求各步均是完成事件必須經(jīng)過的若干彼此獨立的步驟．一般是先分類再分步，分類時要設(shè)計好標準，設(shè)計好分類方案，防止重復(fù)和遺漏．若正面分類種類比較多，而問題的反面種類比較少時，則使用間接法會簡單一些．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c為二次函數(shù)，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，則不同的二次函數(shù)的個數(shù)為()A．125 B．15C．100 D．10解析若y＝ax2＋bx＋c為二次函數(shù)，則a≠0，要完成該事件，需分步進行：第一步，對于系數(shù)a有4種不同的選法；第二步，對于系數(shù)b有5種不同的選法；第三步，對于系數(shù)c有5種不同的選法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有4×5×5＝100(個)．答案C2．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144 B．120C．72 D．24解析剩余的3個座位共有4個空隙供3人(不妨記為甲、乙、丙)選擇就座，因此，可分三步：甲從4個空隙中任選一個空隙，有4種不同的選擇；乙從余下的3個空隙中任選一個空隙，有3種不同的選擇；丙從余下的2個空隙中任選一個空隙，有2種不同的選擇．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為4×3×2＝24.故選D.答案D3．兩人進行乒乓球比賽，采取五局三勝制，即先贏三局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有()A．10種 B．15種C．20種 D．30種解析由題意知，比賽局數(shù)最少為3局，至多為5局．當比賽局數(shù)為3局時，情形為甲或乙連贏3局，共2種；當比賽局數(shù)為4局時，若甲贏，則前3局中甲贏2局，最后一局甲贏，共有3種情形；同理，若乙贏，則也有3種情形，所以共有6種情形；當比賽局數(shù)為5局時，前4局，甲、乙雙方各贏2局，最后一局勝出的人贏，若甲前4局贏2局，共有贏取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六種情形，所以比賽局數(shù)為5局時共有2×6＝12(種)，綜上可知，共有2＋6＋12＝20(種)．故選C.答案C4．(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展開式中有__________項．解析要得到項數(shù)分三步：第一步，從第一個因式中取一個因子，有2種取法；第二步，從第二個因式中取一個因子，有3種取法；第三步，從第三個因式中取一個因子，有4種取法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有2×3×4＝24(項)．答案245．將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有__________種．解析分別用a，b，c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)放入a，再安排第二塊田，有2種方法b或c，不妨設(shè)放入b，第三塊也有2種方法a或c.(1)若第三塊田放c：abc第四、五塊田分別有2種方法，共有2×2＝4(種)方法．(2)若第三塊田放a：aba第四塊有b或c2種方法：①若第四塊放c：abac第五塊有2種方法；②若第四塊放b：abab第五塊只能種作物c，共1種方法．綜上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(種)方法．答案42基礎(chǔ)達標一、選擇題1．由數(shù)字1，2，3組成的無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為()A．15 B．12C．10 D．5解析分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個；第二類組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個；第三類組成3位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個．由分類加法計數(shù)原理知共有偶數(shù)1＋2＋2＝5(個)．答案D2．甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下．由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種 B．5種C．6種 D．12種解析若甲先傳給乙，則有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3種不同的傳法；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳法，故共有3＋3＝6(種)不同的傳法．答案C3．若三角形的三邊長均為正整數(shù)，其中一邊長為4，另外兩邊長分別為b，c，且滿足b≤4≤c，則這樣的三角形有()A．10個 B．14個C．15個 D．21個解析當b＝1時，c＝4；當b＝2時，c＝4，5；當b＝3時，c＝4，5，6；當b＝4時，c＝4，5，6，7.故共有1＋2＋3＋4＝10(個)這樣的三角形．答案A4．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中，第一、二象限不同點的個數(shù)為()A．18 B．16C．14 D．10解析分兩類：一是以集合M中的元素為橫坐標，以集合N中的元素為縱坐標，有3×2＝6(個)不同的點，二是以集合N中的元素為橫坐標，以集合M中的元素為縱坐標，有4×2＝8(個)不同的點，故由分類加法計數(shù)原理得共有6＋8＝14(個)不同的點．答案C5．有6種不同的顏色，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有()A．4320種 B．2880種C．1440種 D．720種解析第1個區(qū)域有6種不同的涂色方法，第2個區(qū)域有5種不同的涂色方法，第3個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第4個區(qū)域有3種不同的涂色方法，第5個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第6個區(qū)域有3種不同的涂色方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×5×4×3×4×3＝4320(種)不同的涂色方法．答案A二、填空題6．如圖所示為一電路圖，則從A到B共有__________條不同的單支線路可通電．解析按上、中、下三條線路可分為三類：上線路中有3條，中線路中有1條，下線路中有2×2＝4(條)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有3＋1＋4＝8(條)．答案87．古人用天干、地支來表示年、月、日、時的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成__________組．解析分兩類：第一類，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×6＝30(組)不同的結(jié)果；同理，第二類也有30組不同的結(jié)果，共可得到30＋30＝60(組)．答案608．4名同學(xué)分別報名參加學(xué)校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的一個運動隊，則不同的報法有__________種．解析由于每個同學(xué)報哪個運動隊沒有限制，因此，每個同學(xué)都有3種報名方法，4個同學(xué)全部報完，才算完成這件事，故共有3×3×3×3＝81(種)不同的報法．答案81三、解答題9．將三個分別標有A，B，C的球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子中．求：(1)1號盒中無球的不同方法種數(shù)；(2)1號盒中有球的不同放法種數(shù)．解(1)1號盒中無球即A，B，C三球只能放入2，3，4號盒子中，有33＝27(種)放法；(2)1號盒中有球可分三類：一類是1號盒中有一個球，共有3×32＝27(種)放法，一類是1號盒中有兩個球，共有3×3＝9(種)放法，一類是1號盒中有三個球，有1種放法．共有27＋9＋1＝37(種)放法．10．若直線方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0，1，2，3，5這五個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？解分兩類完成．第1類，當A或B中有一個為0時，表示的直線為x＝0或y＝0，共2條．第2類，當A，B都不為0時，直線Ax＋By＝0被確定需分兩步完成．第1步，確定A的值，有4種不同的方法；第2步，確定B的值，有3種不同的方法．由分步乘法計數(shù)原理知，共可確定4×3＝12(條)直線．由分類加法計數(shù)原理知，方程所表示的不同直線共有2＋12＝14(條)．能力提升11．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同．在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有()A．60條 B．62條C．71條 D．80條解析利用兩個計數(shù)原理結(jié)合分類討論思想求解．當a＝1時：若c＝0，則b2有2個取值，共2條拋物線；若c≠0，則c有4個取值，b2有2個取值，共有2×4＝8(條)拋物線．當a＝2時：若c＝0，則b2有3個取值，共有3條拋物線；若c≠0，當c取1時，b2有2個取值，共有2條拋物線；當c?。?時，b2有2個取值，共有2條拋物線；當c取3時，b2有3個取值，共有3條拋物線；當c?。?時，b2有3個取值，共有3條拋物線．∴a＝2時共有3＋2＋2＋3＋3＝13(條)拋物線．同理，a＝－2，－3，3時，共有拋物線3×13＝39(條)