2020高中數(shù)學(xué) 第四章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù) 4.5 增長速度的比較學(xué)案 第二冊

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE22-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4．5增長速度的比較考點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)平均變化率了解平均變化率描述增長速度的概念數(shù)學(xué)抽象模型增長差異了解在實際生活中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型數(shù)學(xué)建模問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P38－P40的內(nèi)容，思考以下問題：1．平均變化率是如何定義的？2．如何用平均變化率描述增長速度？3．線性增長、指數(shù)增長、對數(shù)增長有什么關(guān)系?1．平均變化率我們已經(jīng)知道，函數(shù)y＝f(x）在區(qū)間[x1，x2］(x1<x2時)或［x2,x1]（x1>x2時）上的平均變化率為eq\f(Δf，Δx）＝eq\f(f（x2）－f(x1）,x2－x1）.也就是說，平均變化率實質(zhì)上是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，這也可以理解為：自變量每增加1個單位，函數(shù)值平均將增加eq\f（Δf,Δx)個單位．因此，可用平均變化率來比較函數(shù)值變化的快慢．2．幾類不同增長的函數(shù)模型（1)一次函數(shù)模型一次函數(shù)模型y＝kx(k>0）的增長特點是直線上升,其增長速度不變．(2）指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a〉1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇,形象地稱為“爆炸式增長”．（3）對數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a>1）的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．(4）冪函數(shù)模型當(dāng)x〉0，n>1時，冪函數(shù)y＝xn是增函數(shù)，且當(dāng)x〉1時，n越大其函數(shù)值的增長速度就越快．判斷正誤(正確的打“√",錯誤的打“×”)(1)增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．()(2）對任意的x＞0，kx＞logax.()(3）對任意的x＞0，ax＞logax。()（4)在指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型、一次函數(shù)模型中增長速度較慢的函數(shù)模型是對數(shù)函數(shù)模型．(）答案：（1)√(2）×（3)×(4）√下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝ex B．y＝lnxC．y＝3x D．y＝e－x答案：A函數(shù)f（x)＝eq\r(x）從0到2的平均變化率為(）A.eq\f(\r（2），2) B．1C．0 D．2解析:選A。由題意可知，函數(shù)f(x)＝eq\r（x）從0到2的平均變化率為eq\f(f（2)－f（0)，2－0）＝eq\f(\r（2)，2)，故選A.平均變化率的比較(1)在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四個函數(shù)①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝eq\f(1,x)中，平均變化率最大的是()A．④ B．③C．② D．①（2)汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖像如圖所示，在時間段[t0，t1］，[t1，t2]，［t2,t3］上的平均速率分別為v1，v2,v3，則三者的大小關(guān)系為________．【解析】（1)Δx＝0。3時，①y＝x在x＝1附近的平均變化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均變化率k2＝2＋Δx＝2。3;③y＝x3在x＝1附近的平均變化率k3＝3＋3Δx＋(Δx）2＝3。99；④y＝eq\f（1，x)在x＝1附近的平均變化率k4＝－eq\f(1,1＋Δx)＝－eq\f（10,13）。所以k3＞k2＞k1＞k4，故應(yīng)選B。（2)v1＝eq\f(s(t1)－s（t0）,t1－t0)＝kOA，v2＝eq\f（s（t2）－s（t1）,t2－t1)＝kAB,v3＝eq\f(s（t3)－s(t2）,t3－t2)＝kBC,又因為kBC＞kAB＞kOA,所以v3＞v2＞v1?！敬鸢浮?1)B(2）v3＞v2＞v1eq\a\vs4\al()求平均變化率的主要步驟（1）求Δy＝f（x2）－f（x1)．(2）求Δx＝x2－x1.(3)求平均變化率eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(f(x2）－f(x1)，x2－x1).1．函數(shù)f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之間的平均變化率為k1，在x0－Δx到x0之間的平均變化率為k2，則k1，k2的大小關(guān)系是（）A．k1＜k2 B．k1＞k2C．k1＝k2 D．無法確定解析：選D。k1＝eq\f（f（x0＋Δx）－f（x0），Δx)＝2x0＋Δx,k2＝eq\f（f(x0）－f（x0－Δx），Δx)＝2x0－Δx,又Δx可正可負且不為零，所以k1，k2的大小關(guān)系不確定,選D。2.如圖顯示物體甲、乙在時間0到t1范圍內(nèi)，路程的變化情況，下列說法正確的是________．①在0到t0范圍內(nèi)，甲的平均速率大于乙的平均速率；②在0到t0范圍內(nèi)，甲的平均速率小于乙的平均速率；③在t0到t1范圍內(nèi),甲的平均速率大于乙的平均速率；④在t0到t1范圍內(nèi),甲的平均速率小于乙的平均速率．解析：由圖像知，0～t0范圍：v甲＝v乙＝eq\f(s0,t0)；t0～t1范圍：v甲＝eq\f(s2－s0，t1－t0)，v乙＝eq\f(s1－s0，t1－t0）.因為s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0,所以v甲＞v乙．所以③正確．答案：③函數(shù)模型增長差異的比較甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發(fā)向同一個方向運動,其路程fi(x）(i＝1，2，3，4）關(guān)于時間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x）＝2x－1，f2（x)＝x2，f3（x)＝x,f4(x）＝log2(x＋1），有以下結(jié)論：①當(dāng)x＞1時，甲走在最前面；②當(dāng)x＞1時，乙走在最前面；③當(dāng)0＜x＜1時，丁走在最前面，當(dāng)x＞1時，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它們一直運動下去,那么最終走在最前面的是甲．其中，正確結(jié)論的序號為________．【答案】③④⑤eq\a\vs4\al（)常見的函數(shù)模型及增長特點（1）線性函數(shù)模型線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k＞0）的增長特點是直線上升,其增長速度不變．(2）指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y＝ax（a＞1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快,即增長速度急劇,形象地稱為“指數(shù)爆炸”．（3）對數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a＞1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．1．下列函數(shù)中,增長速度越來越慢的是（)A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x2 D．y＝6x解析：選B。D中一次函數(shù)的增長速度不變，A、C中函數(shù)的增長速度越來越快，只有B中對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，符合題意．2.“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝”．如圖給出了紅豆生長時間t（月)與枝數(shù)y(枝)的關(guān)系圖,那么最適合擬合紅豆的枝數(shù)與生長時間的關(guān)系的函數(shù)是()A．指數(shù)函數(shù)y＝2tB．對數(shù)函數(shù)y＝log2tC．冪函數(shù)y＝t3D．二次函數(shù)y＝2t2解析:選A.根據(jù)已知所給的關(guān)系圖,觀察得到圖像在第一象限，且從左到右圖像是上升的，并且增長速度越來越快,根據(jù)四個選項中函數(shù)的增長趨勢可得，用指數(shù)函數(shù)擬合最好，故選A.不同增長函數(shù)模型的圖像特征函數(shù)f(x)＝lgx，g（x)＝0。3x－1的圖像如圖所示．（1）指出圖中C1，C2分別對應(yīng)哪一個函數(shù)；（2）比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖像交點為分界點,對f（x），g(x）的大小進行比較)．【解】（1）由函數(shù)圖像特征及變化趨勢,知曲線C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x）＝0。3x－1，曲線C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x）＝lgx.(2）當(dāng)x∈(0,x1）時，g(x）＞f(x）；當(dāng)x∈(x1,x2)時,g（x）＜f(x）；當(dāng)x∈(x2,＋∞)時，g（x）＞f（x）．g（x）呈直線增長，函數(shù)值變化是均勻的，f（x)隨著x的增大而逐漸增大，其函數(shù)值變化得越來越慢．eq\a\vs4\al（)由圖像判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的方法根據(jù)圖像判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)時,通常是觀察函數(shù)圖像上升得快慢,即隨著自變量的增大，圖像最“陡"的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖像趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)；圖像增長速度不變的是一次函數(shù)．1．以下是三個變量y1，y2，y3隨變量x變化的函數(shù)值表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011。58522.3222。5852。8073…其中關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的函數(shù)是________．解析:從表格可以看出，三個變量y1，y2，y3都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y1的增長速度最快,畫出它們的圖像（圖略）,可知變量y1呈指數(shù)函數(shù)變化．答案：y12.為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克）與時間t（小時）成正比，藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，16）））eq\s\up12(t－a)(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中所提供的信息，回答下列問題:(1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克）與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式為________．（2)據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學(xué)生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，至少要經(jīng)過________小時后，學(xué)生才能回到教室．解析：(1)由圖像可知，當(dāng)0≤t≤0.1時，y＝10t；當(dāng)t＞0.1時，由1＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,16)))eq\s\up12（0。1－a），得a＝0.1,則當(dāng)t＞0。1時，y＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,16）))eq\s\up12(t－\f(1,10))。故y＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤\f(1,10)，,\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，16）)）\s\up12（t－\f(1，10)），t＞\f(1，10）)）.(2）由題意可知，eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,16))）eq\s\up12(t－\f(1,10））＜0.25，得t＞0.6.答案:（1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（10t,0≤t≤\f(1，10)，,\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，16))）\s\up12(t－\f(1，10）)，t＞\f（1,10）))（2)0。61．函數(shù)y＝2x在區(qū)間［x0，x0＋Δx］上的平均變化率為（)A．x0＋Δx B．1＋ΔxC．2＋Δx D．2解析：選D.由題意,可得平均變化率eq\f(f(x0＋Δx）－f（x0)，Δx)＝eq\f（2（x0＋Δx)－2x0,Δx）＝2,故選D.2．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)上增長速度最快的是（）A．y＝x2 B．y＝log2xC．y＝2x D．y＝2x答案：D3．在一次數(shù)學(xué)試驗中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：x－2.0－1.001.002。003.00y0。240.5112。023。988.02則x，y的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近？(其中a，b為待定系數(shù)）（）A．y＝a＋bx B．y＝a＋bxC．y＝ax2＋b D．y＝a＋eq\f(b，x)答案:B4．現(xiàn)測得（x,y)的兩組對應(yīng)值分別為(1，2),(2，5）,現(xiàn)有兩個待選模型,甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得(x，y）的一組對應(yīng)值為（3，10.2)，則應(yīng)選用________作為函數(shù)模型．答案：甲［A基礎(chǔ)達標(biāo)］1．函數(shù)y＝x2＋1在［1，1＋Δx］上的平均變化率是（)A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx）2解析：選C。依題意，所求平均變化率為eq\f((1＋Δx）2－12，Δx）＝2＋Δx,故選C。2．已知函數(shù)y＝f(x）＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時，Δy的值為（）A．0。40 B．0.41C．0。43 D．0.44解析：選B.Δy＝f(x＋Δx）－f(x）＝f(2＋0。1）－f(2)＝（2。1)2＋1－（22＋1)＝0。41.故選B。3．小明騎車上學(xué),開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后,為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖像是（）解析：選C。小明勻速運動時，所得圖像為一條直線，且距離學(xué)校越來越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學(xué)校的距離不變，故排除D。后來為了趕時間加快速度行駛，故排除B.故選C.4．某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動，某同學(xué)獲得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：x1。99345.16。12y1。54.047。51218。01對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是(）A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）））eq\s\up12(x)C．y＝log2x D．y＝eq\f（1，2）（x2－1)解析:選D。法一:相鄰的自變量之差大約為1，相鄰的函數(shù)值之差大約為2。5，3.5，4。5，6，基本上是逐漸增加的，二次曲線擬合程度最好,故選D。法二：比較四個函數(shù)值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4,經(jīng)檢驗易知選D.5．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10。4％,要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年,則函數(shù)y＝f（x）的圖像大致是（）解析：選D。設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意知，ax＝a(1＋0.104）y，故y＝log1.104x（x≥1),所以y＝f(x）的圖像大致為D中圖像．6．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(1，＋∞）上增長較快的一個是________．解析:當(dāng)x變大時,x比lnx增長要快,所以x2要比xlnx增長得快．答案：y＝x27.在某種金屬材料的耐高溫實驗中,溫度y（℃）隨著時間t（min)變化的情況由計算機記錄后顯示的圖像如圖所示．現(xiàn)給出下列說法：①前5min溫度增加的速度越來越快;②前5min溫度增加的速度越來越慢；③5min以后溫度保持勻速增加；④5min以后溫度保持不變．其中正確的說法是________．解析：因為溫度y關(guān)于時間t的圖像是先凸后平，所以前5min每當(dāng)t增加一個單位，相應(yīng)的增量Δy越來越小，而5min后y關(guān)于t的增量保持為0，則②④正確．答案：②④8．生活經(jīng)驗告訴我們,當(dāng)水注入容器(設(shè)單位時間內(nèi)進水量相同)時，水的高度隨著時間的變化而變化，在下圖中請選擇與容器相匹配的圖像,A對應(yīng)________;B對應(yīng)________；C對應(yīng)________;D對應(yīng)________．解析：A容器下粗上細，水高度的變化先慢后快,故與(4)對應(yīng)；B容器為球形，水高度變化為快—慢—快,應(yīng)與(1)對應(yīng)；C，D容器都是柱形的，水高度的變化速度都應(yīng)是直線型，但C容器細，D容器粗，故水高度的變化為C容器快，與(3）對應(yīng),D容器慢，與(2）對應(yīng)．答案：（4）(1）(3）（2）9．同一坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)y＝x＋5和y＝2x的圖像，并比較x＋5與2x的大小．解:根據(jù)函數(shù)y＝x＋5與y＝2x的圖像增長差異得:當(dāng)x＜3時，x＋5＞2x，當(dāng)x＝3時,x＋5＝2x,當(dāng)x＞5時，x＋5＜2x。10．某國2016年至2019年國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：萬億元）如下表所示:年份2016201720182019x(年份代碼)0123生產(chǎn)總值y（萬億元)8.20678.94429。593310。2398(1)畫出函數(shù)圖像，猜想y與x之間的函數(shù)關(guān)系，近似地寫出一個函數(shù)關(guān)系式;(2)利用得出的關(guān)系式求生產(chǎn)總值,與表中實際生產(chǎn)總值比較;（3）利用關(guān)系式預(yù)測2033年該國的國內(nèi)生產(chǎn)總值．解:(1)畫出函數(shù)圖像,如圖所示．從函數(shù)的圖像可以看出，畫出的點近似地落在一條直線上，設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b（k≠0)．把直線經(jīng)過的兩點（0，8。2067）和(3，10.2398)代入上式,解得k＝0。6777，b＝8。2067。所以函數(shù)關(guān)系式為y＝0.6777x＋8。2067。（2)由得到的函數(shù)關(guān)系式計算出2017年和2018年的國內(nèi)生產(chǎn)總值分別為0．6777×1＋8.2067＝8.8844（萬億元)，0．6777×2＋8。2067＝9.5621（萬億元)．與實際的生產(chǎn)總值相比，誤差不超過0.1萬億元．(3）2033年,即x＝17時，由(1)得y＝0。6777×17＋8.2067＝19.7276，即預(yù)測2033年該國的國內(nèi)生產(chǎn)總值約為19.7276萬億元．[B能力提升]11．在固定電壓差(電壓為常數(shù))的前提下，當(dāng)電流通過圓柱形的電線時，其電流強度I與電線半徑r的三次方成正比，若已知電流通過半徑為4毫米的電線時,電流強度為320安，則電流通過半徑為3毫米的電線時,電流強度為（）A．60安 B．240安C．75安 D．135安解析：選D。由已知，設(shè)比例常數(shù)為k，則I＝k·r3.由題意，當(dāng)r＝4時，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝eq\f（320，64）＝5,所以I＝5r3.故當(dāng)r＝3時，I＝5×33＝135(安）．故選D。12．某地區(qū)植被被破壞,土地沙化越來越嚴(yán)重，最近三年測得沙漠增加值分別為0。2萬公頃、0。4萬公頃和0。76萬公頃，則沙漠增加數(shù)y(萬公頃）關(guān)于年數(shù)x(年)的函數(shù)關(guān)系較為近似的是（）A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10）（x2＋2x）C．y＝eq\f(2x,10） D．y＝0。2＋log16x解析:選C.將x＝1,2，3，y＝0.2，0。4,0。76分別代入驗算．13．某品牌汽車的月產(chǎn)能y(萬輛)與月份x（3＜x≤12且x∈N)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）））eq\s\up12(x－3)＋b?，F(xiàn)已知該品牌汽車今年4月、5月的產(chǎn)能分別為1萬輛和1.5萬輛,求該品牌汽車7月的產(chǎn)能為多少萬輛．解：由已知得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）a＋b＝1，，\f（1,4）a＋b＝1。5，）)解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2,)）則y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）))eq\s\up12（x－4)＋2，當(dāng)x＝7時，y＝－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）))eq\s\up12（3)＋2＝1。875。故該品牌汽車7月的產(chǎn)能為1.875萬輛．［C拓展探究]14．某鞋廠從今年1月份開始投產(chǎn)，并且前四個月的產(chǎn)量分別為1萬件、1。2萬件、1.3萬件、1.37萬件．由于產(chǎn)品質(zhì)量好,款式受歡迎，前幾個月的產(chǎn)品銷售情況良好．為了使推銷員在推銷產(chǎn)品時，接受訂單不至于過多或過少，需要估測以后幾個月的產(chǎn)量．以這四個月的產(chǎn)品數(shù)據(jù)為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系，模擬函數(shù)有三個備選：①一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0）,②二次函數(shù)g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù),a≠0）,③指數(shù)型函數(shù)m(x）＝abx＋c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，b＞0,b≠1)．廠里分析，產(chǎn)量的增