高一數(shù)學：第3單元 函數(shù)概念與性質（強化篇）（原卷版）

第3單元函數(shù)概念與性質（基礎篇）基礎知識講解1．分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法【基礎知識】分段函數(shù)是定義在不同區(qū)間上解析式也不相同的函數(shù)．若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應法則不同，可用幾個式子來表示函數(shù)，這種形式的函數(shù)叫分段函數(shù)．已知一個分段函數(shù)在某一區(qū)間上的解析式，求此函數(shù)在另一區(qū)間上的解析式，這是分段函數(shù)中最常見的問題．【技巧方法】求解函數(shù)解析式的幾種常用方法1、待定系數(shù)法，如果已知函數(shù)解析式的構造時，用待定系數(shù)法；2、換元法或配湊法，已知復合函數(shù)f[g（x）]的表達式可用換元法，當表達式較簡單時也可用配湊法；3、消參法，若已知抽象的函數(shù)表達式，則用解方程組消參的方法求解f（x）；另外，在解題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價轉化等數(shù)學思想方法．分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．解決分段函數(shù)問題，關鍵抓住在不同的段內研究問題．2．函數(shù)單調性的性質與判斷【基礎知識】一般地，設函數(shù)f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當x1＞x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調區(qū)間．【技巧方法】證明函數(shù)的單調性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號；⑤下結論．利用函數(shù)的導數(shù)證明函數(shù)單調性的步驟：第一步：求函數(shù)的定義域．若題設中有對數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域．第二步：求函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列表．第四步：由f′（x）在小開區(qū)間內的正、負值判斷f（x）在小開區(qū)間內的單調性；求極值、最值．第五步：將不等式恒成立問題轉化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數(shù)的取值范圍．第六步：明確規(guī)范地表述結論3．復合函數(shù)的單調性【基礎知識】復合函數(shù)就是由兩個或兩個以上的基本函數(shù)構成，這種函數(shù)先要考慮基本函數(shù)的單調性，然后再考慮整體的單調性．平常常見的一般以兩個函數(shù)的為主．【技巧方法】求復合函數(shù)y＝f（g（x））的單調區(qū)間的步驟：（1）確定定義域；（2）將復合函數(shù)分解成兩個基本初等函數(shù)；（3）分別確定兩基本初等函數(shù)的單調性；（4）按“同增異減”的原則，確定原函數(shù)的單調區(qū)間．4．奇函數(shù)、偶函數(shù)【奇函數(shù)】如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關于（0，0）對稱．【技巧方法】①如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關的未知量；②若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關參數(shù)；③已知奇函數(shù)大于0的部分的函數(shù)表達式，求它的小于0的函數(shù)表達式，如奇函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）＝x2+x那么當x＜0時，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）?﹣f（x）＝x2﹣x?f（x）＝﹣x2+x【偶函數(shù)】如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關于y軸對稱．【技巧方法】①運用f（x）＝f（﹣x）求相關參數(shù)，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②結合函數(shù)圖象關于y軸對稱求函數(shù)與x軸的交點個數(shù)或者是某個特定的值，如偶函數(shù)f（﹣2）＝0，周期為2，那么在區(qū)間（﹣2，8）函數(shù)與x軸至少有幾個交點．5．函數(shù)奇偶性的性質與判斷【基礎知識】①如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關于y軸對稱．【技巧方法】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關于原點對稱的部分其單調性一致，而偶函數(shù)的單調性相反．6.函數(shù)解析式的求解及常用方法【基礎知識】通過求解函數(shù)的解析式中字母的值，得到函數(shù)的解析式的過程就是函數(shù)的解析式的求解．【技巧方法】求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有1、換元法；2、待定系數(shù)法；3、湊配法；4、消元法；5、賦值法等．7.冪函數(shù)的單調性、奇偶性及其應用【基礎知識】1.冪函數(shù)定義：一般地，函數(shù)y＝xa（a∈R）叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．（1）指數(shù)是常數(shù)；（2）底數(shù)是自變量；（3）函數(shù)式前的系數(shù)都是1；（4）形式都是y＝xa，其中a是常數(shù)．8.冪函數(shù)的性質【基礎知識】所有的冪函數(shù)在（0，+∞）上都有各自的定義，并且圖象都過點（1，1）．（1）當a＞0時，冪函數(shù)y＝xa有下列性質：a、圖象都通過點（1，1）（0，0）；b、在第一象限內，函數(shù)值隨x的增大而增大；c、在第一象限內，a＞1時，圖象開口向上；0＜a＜1時，圖象開口向右；d、函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．（2）當a＜0時，冪函數(shù)y＝xa有下列性質：a、圖象都通過點（1，1）；b、在第一象限內，函數(shù)值隨x的增大而減小，圖象開口向上；c、在第一象限內，當x從右趨于原點時，圖象在y軸上方趨向于原點時，圖象在y軸右方無限逼近y軸，當x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸．（3）當a＝0時，冪函數(shù)y＝xa有下列性質：a、y＝x0是直線y＝1去掉一點（0，1），它的圖象不是直線．9.五個常用冪函數(shù)的圖象和性質（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y＝；（5）y＝x﹣1y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x﹣1定義域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性增x∈[0，+∞）時，增x∈（﹣∞，0]時，減增增x∈（0，+∞）時，減x∈（﹣∞，0）時，減公共點（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）10.冪函數(shù)的奇偶性（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且函數(shù)圖象都通過點（1，1）．（2）如果a＞0，則冪函數(shù)的圖象過點（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上為增函數(shù)．（3）如果a＜0，則冪函數(shù)的圖象過點（1，1），并在（0，+∞）上為減函數(shù)．（4）當a為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當a為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．11．函數(shù)最值的應用【基礎知識】函數(shù)的最值顧名思義就是指函數(shù)在某段區(qū)間內的最大值和最小值．在日常生活中我們常常會遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的問題，這里面就可以轉化為求函數(shù)的最值問題．另外，最值可分為最大值和最小值．【技巧方法】這種題的關鍵是把現(xiàn)實的問題轉化為數(shù)學上的問題，具體的說是轉化為函數(shù)最值問題，這里面需要同學們要具有轉化思維，具有一定的建模能力，在很多高考題中也常常以大題的形式出現(xiàn)，所以務必引起重視．這里我們以具體的例題來講解．12．根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【基礎知識】1．實際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用函數(shù)的觀點看實際問題，是學習函數(shù)的重要內容．【技巧方法】常用到的五種函數(shù)模型：①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過圖象可以直觀地認識它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y＝（k＞0）型，增長特點是y隨x的增大而減小．③指數(shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．④對數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀運用，分析圖象特點，分析變量x的范圍，同時還要與實際問題結合，如取整等．習題演練選擇題（共12小題）1．若函數(shù)，則（）A．-1 B．0 C．1 D．22．設函數(shù)為一次函數(shù)，且，則（）A．3或1 B．1 C．1或 D．或13．若函數(shù)|在區(qū)間上不是單調函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．4．若函數(shù)單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．5．定義在上的奇函數(shù)在上單調遞減，若，則滿足的的取值范圍是（）.A． B．C． D．6．若函數(shù)的最小值3，則實數(shù)的值為（）A．5或8 B．或5 C．或 D．或7．已知定義在上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)，恒有，且當時，，則（）A．6 B．3 C．0 D．8．滿足的實數(shù)m的取值范圍是（）.A． B．C． D．9．已知函數(shù)是冪函數(shù)且是上的增函數(shù)，則的值為()A．2 B．－1 C．－1或2 D．010．已知，若為負數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，，則（）A． B． C． D．填空題（共6小題）13．函數(shù)，則______．14．已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若對于任意都有，且，則不等式的解集為________.15．已知函數(shù)，函數(shù)，則函數(shù)的最小值是_______.16．已知奇函數(shù)在定義域上遞減，且，則實數(shù)的取值范圍是______.17．已知函數(shù)，則不等式的解集是______.18．已知函數(shù)滿足，函數(shù)，若函數(shù)與的圖象共有12個交點，記作，則的值為______.三．解析題（共6小題）19．已知定義在上的函數(shù).（1）若，求的值；（2）若對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．根據(jù)下列條件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2