2022-2023學(xué)年安徽省安慶市桐城中學(xué)高一年級上冊學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省安慶市桐城中學(xué)高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與A【分析】當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同時(shí)，則兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)，再對各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)進(jìn)行化簡并求出定義域，即可判斷得出答案.【詳解】解：對于A，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋瑒t兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，是同一函數(shù)；對于B，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，則兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于C，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，則兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于D，和的對應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一函數(shù).故選：A.2．集合的真子集個(gè)數(shù)為A．3 B．4 C．7 D．8C【詳解】，集合有3個(gè)元素，所以集合的真子集個(gè)數(shù)為，故填：C.3．已知，，則A． B． C． D．D【詳解】試題分析：因?yàn)椋?所以,,，故答案為．集合的運(yùn)算．4．不等式的解集為（

）A． B． C． D．A【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式即可得結(jié)果.【詳解】∵，即，，等價(jià)于，解得，即不等式的解集為，故選：A.本題主要考查了分式不等式的解法，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5．使函數(shù)滿足：對任意的，都有”的充分不必要條件為（

）A． B．或 C． D．或B分情況討論在R上單調(diào)減及在單調(diào)增結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性求解充要條件再判斷即可【詳解】當(dāng)時(shí)，在上遞減，在遞減，且在上遞減，若在上遞減，在上遞增，任意，都有，當(dāng)不合題意，故函數(shù)滿足：對任意的，都有”的充分必要條件為或則或是充分不必要條件故選：B本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想，準(zhǔn)確判斷每段函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，是中檔題6．《九章算術(shù)》中有“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步．問：勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為b和a的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長d．由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3，設(shè)D為斜邊BC的中點(diǎn)，作直角三角形ABC的內(nèi)接正方形對角線AE，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，則下列推理正確的是（

）A．由圖1和圖2面積相等得 B．由可得C．由可得 D．由可得C【分析】根據(jù)圖1，圖2面積相等，可求得d的表達(dá)式，可判斷A選項(xiàng)正誤，由題意可求得圖3中的表達(dá)式，逐一分析B、C、D選項(xiàng)，即可得答案【詳解】對于A，由圖1和圖2面積相等得，所以，故A錯誤；對于B，因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)?，所以，整理得，故B錯誤；對于C，因?yàn)镈為斜邊BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，整理得，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，整理得，故D錯誤．故選：C．7．已知是關(guān)于x的方程的兩根，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)韋達(dá)定理，以及的正負(fù)即可對選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】由韋達(dá)定理可得，故可排除，但因?yàn)闊o法得知的正負(fù)，故不正確；又∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故選：D．本題考查韋達(dá)定理的使用，屬基礎(chǔ)題.8．對任意，存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為（

）A．2 B．5 C．4 D．3D【分析】由，變形為，先利用二次函數(shù)求得取得最小值，再轉(zhuǎn)化為，成立求解．【詳解】由，得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，故實(shí)數(shù)a的最大值為3．故選：D二、多選題9．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．BD【分析】由題得集合M是全體奇數(shù)的集合，集合N是全體整數(shù)的集合，故，即得解.【詳解】由集合，可知，集合M是全體奇數(shù)的集合，集合N是全體整數(shù)的集合，故，即，.選項(xiàng)錯誤.故選：BD.本題主要考查集合的關(guān)系和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.10．已知,不等式恒成立,,不等式0,則下列說法正確的是(

)A．p的否定是:,不等式B．的否定是:,不等式C．為真命題時(shí),D．q為假命題時(shí),ACD【分析】根據(jù)命題的否定定義判斷，求參數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題【詳解】的否定是:,不等式，A正確的否定是:,不等式，B錯誤若為真命題,則,即解得，C正確若為假命題,則恒成立即恒成立因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng),即取等所以，D正確故選：ACD11．已知，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為9C．的最小值為 D．的最大值為2BC【分析】對A，直接運(yùn)用均值不等式即可判斷；對B，，運(yùn)用均值不等式即可判斷；對C，，討論二次函數(shù)最值即可；對D，，討論最值即可.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可取等號，A錯；，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可取等號，B對；，當(dāng)時(shí)，可取等號，C對；，D錯.故選：BC12．下列敘述中正確的是（

）A．若則“"的充要條件是“”B．“”是“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條件C．若則“對恒成立"的充要條件是“”D．“”是“”的充分不必要條件BD【分析】對于A，當(dāng)時(shí)必要性不成立，根據(jù)二次方程根的分布列不等式求解即可判斷B，根據(jù)不等式恒成立條件轉(zhuǎn)化即可判斷C，當(dāng)“”得“或”，從而判斷D．【詳解】對于A，因?yàn)榭傻?，?dāng)，時(shí)，有，所以若則“"是“”的充分不必要條件，故A錯；對于B，方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則，整理得，所以“”是“”的必要不充分條件，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，“對恒成立"的充要條件是“”，故C錯；對于D，當(dāng)“”是“”成立，當(dāng)“”得“或”，故“”是“”的充分不必要條件，D正確．故選：BD三、填空題13．已知，則的解析式為________.由，，聯(lián)立可求解．【詳解】因?yàn)椋?）所以，所以，（2）（2）-（1）可得，．故．本題主要考查方程法求函數(shù)的解析式，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.14．設(shè)，則的最小值為______.【分析】利用換元法，令將所給的代數(shù)式進(jìn)行變形，然后利用均值不等式即可求得最小值.【詳解】由，可得.可令，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號成立.故答案為．本題主要考查基本不等式求最值的方法，換元法及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15．已知命題“，使”是假命題，其實(shí)數(shù)的取值為集合A，設(shè)不等式的解集為集合B，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．【分析】寫出命題的否定得，使恒成立，求出集合，又是的充分不必要條件，所以集合是集合的真子集，分類討論列出滿足的不等式求解即可.【詳解】解：由命題“，使”是假命題，知命題“，使”是真命題，所以，解得，所以，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以集合是集合的真子集，設(shè)，則，即，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故．16．設(shè)，，是三個(gè)正實(shí)數(shù)，且，則的最大值為______.3【分析】由得到，代入轉(zhuǎn)化為，令，，得到，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，令，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，所以所以的最大值為3故3本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于較難題.四、解答題17．已知；；若q是p的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求得，結(jié)合充分條件和必要條件的定義列出不等式組，即可求解.【詳解】由，得．∴，又，∵q是p的必要不充分條件，且，∴AB．∴，即，∴m的取值范圍是．18．已知.(1)求的解析式；(2)試用函數(shù)單調(diào)性定義證明：在上單調(diào)遞增.(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)可得解可得a、b的值，即可得解析式；（2）根據(jù)題意，設(shè)，利用作差法分析可得函數(shù)單調(diào)性.【詳解】(1)由題意得，解得，.(2)證明：設(shè)，則，由，得，，即，故在上單調(diào)遞增.19．已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍.（1）或；（2）.【詳解】試題分析：（1）先對不等式移項(xiàng)并因式分解得，再根據(jù)不等號方向得不等式解集，（2）先化簡不等式，并分離，轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)最值：，其中，再根據(jù)基本不等式求最值，即得的取值范圍.試題解析：（1）若即所以原不等式的解集為或（2）即在時(shí)恒成立，令，等價(jià)于在時(shí)恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，所以.故所求的取值范圍是.20．已知正數(shù)、滿足.（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值.（1）最小值為；（2）最小值為；（3）最小值為.【分析】（1）本題首先可根據(jù)得出、、，然后將轉(zhuǎn)化為，通過基本不等式即可得出結(jié)果；（2）本題可將轉(zhuǎn)化為，然后通過基本不等式即可得出結(jié)果；（3）本題可將轉(zhuǎn)化為，然后通過基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】，即，，，，，（1）因?yàn)?、是正?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最小值為.（2）因?yàn)?，，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)等號成立，故的最小值為.（3）因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)、時(shí)等號成立，故的最小值為.易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足“一正二定三相等”：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.21．某展覽館用同種規(guī)格的木條制作如圖所示的展示框，其內(nèi)框與外框均為矩形，并用木條相互連結(jié)，連結(jié)木條與所連框邊均垂直．水平方向的連結(jié)木條長均為，豎直方向的連結(jié)木條長均為，內(nèi)框矩形的面積為．（不計(jì)木料的粗細(xì)與接頭處損耗）(1)如何設(shè)計(jì)外框的長與寬，才能使外框矩形面積最小？(2)如何設(shè)計(jì)外框的長與寬，才能使制作整個(gè)展示框所用木條最少？(1)外框的長與寬分別是，；(2)外框的長與寬分別是，【分析】（1）設(shè)展示框外框的長為，寬為，結(jié)合關(guān)系，用表示外框矩形面積，利用基本不等式求其最小值；（2）用表示展示框所用木條的長度，結(jié)合基本不等式求最小值．【詳解】(1)設(shè)展示框外框的長為，寬為，則內(nèi)框長為，寬為，由題意，，因?yàn)閮?nèi)框的面積為，所以，所以，外框面積為，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以外框的長與寬分別是，時(shí)，才能使外框矩形面積最??；(2)由（1）可知，整個(gè)展示框所用木條的總長度為，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號成立；所以外框的長與寬分別是，時(shí)，才能使制作整個(gè)展示框所用木條最少．22．已知函數(shù)．(1)若值域?yàn)?，且關(guān)于對稱，求的解析式；(2)若的值域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，求的值；②求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系．(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的對稱軸可求得的值，再由可求得，即可得出函數(shù)的解析式；（2）①設(shè)，可得出，，分、兩種情況討論，結(jié)合的值域?yàn)?，可求得?shí)數(shù)的值；②記，設(shè)，，分、兩種情況討論，然后比較與的大小關(guān)系，結(jié)合可得出的表達(dá)式.【詳解】(1)解：函數(shù)的對稱軸為直線，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)楹愠闪ⅲ缘膶ΨQ軸