2017年第二十二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽決賽試卷(小高組a卷)

年第二十二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽決賽試卷（小高組A卷）一、填空題（每小題10分，共80分）1.（10分）用［x］表示不超過X的最大整數(shù)，例如［3.14］=3，則込］+［込］+［込］+［込］+［込］+［込］的值為111111111111（10分）從4個整數(shù)中任意選出3個，求出它們的平均值.然后再求這個平均值和余下1個數(shù)的和，這樣可以得到4個數(shù)：8、12、102和91，則原來給定的4個整數(shù)的和為.33（10分）在3x3的網(wǎng)格中（每個格子是個1x1的正方形）放兩枚相同的棋子，每個格子中最多放一枚棋子，共有種不同的擺放方法.（如果兩種放法能夠由旋轉而重合,地去了C地，甲已離開A地2小時，于是，甲以原來的速度的2倍去C地.又經(jīng)過了2小時后，甲乙兩人同時到達C地，則乙的速度是千米/小時.（10分）某校開設了書法和朗誦兩個興趣小組.已知兩個小組都參加的人數(shù)是只參加書法小組人數(shù)的2，是只參加朗誦小組人數(shù)的1，那么書法小組與朗誦小組的人數(shù)比75是.（10分）如圖，AABC的面積為100平方厘米，AABD的面積為72平方厘米.M為CD邊的中點，ZMHB=90。，已知AB=20厘米，則MH的長度為厘米.7.（10分）一列數(shù)a、a…，a…，記S（a）為a的所有數(shù)字之和，如S（22）=2+2=4，12nii若a=2017，a=22，a=S（a）+S（a），那么a等于.12nn-1n-220178.（10分）如圖，六邊形的六個頂點分別標志為A，B，C，D，E，F(xiàn).開始的時候“華羅庚金杯賽”六個漢字分別位于A,B,C,D,E,F頂點處.將六個漢字在頂點處任意擺放，最終結果是每個頂點處仍各有一個漢字，每個字在開始位置的相鄰頂點處，則不同的擺放方法共有種.康金二、解答題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）（10分）平面上有5條不同的直線，這5條直線共形成n個交點，則n有多少個不同的數(shù)值？（10分）某校給學生提供蘋果、香蕉和梨三種水果，用作課間加餐.每名學生至少選擇一種，也可以多選.統(tǒng)計結果顯示：70%的學生選擇蘋果，40%的學生選擇了香蕉.30%的學生選了梨，那么三種水果都選的學生數(shù)占學生總數(shù)至多是百分之幾？11.（10分）箱子里面有兩種珠子，一種每個19克，另一種每個17克，所有珠子的重量為2017克，求兩種珠子的數(shù)量和所有可能的值.（10分）使沁2不為最簡分數(shù)的三位數(shù)n之和等于多少.5n+1三、解答題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細過程）（15分）班上共有60位同學，生日記為某月某號，問每個同學兩個同樣的問題：班上有幾個人與你生日的月份相同？班上有幾個人與你生日的號數(shù)相同（比如生日為1月12日與12月12日的號數(shù)相同的）.結果發(fā)現(xiàn)，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整數(shù)，那么，該班至少有多少個同字生日相同？14．（15分）將1至9填入圖的網(wǎng)格中．要求每個格子填一個整數(shù)，不同格子填的數(shù)字不同，且每個格子周圍的格子（即與該格子有公共邊的格子）所填數(shù)字之和是該格子中所填數(shù)字的整數(shù)倍.已知左右格子已經(jīng)填有數(shù)字4和5,問：標有字母x的格子所填的數(shù)字最大是多少？

2017年第二十二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽決賽

試卷（小高組A卷）參考答案與試題解析一、填空題（每小題10分，共80分）1.（10分）用［x］表示不超過x的最大整數(shù)，例如［3.14］=3，貝9「2017x3「2017x4「2017x5「2017x6「2017x7「2017x8“［］+［石］+［石］+［石］+［石］+［訂］的值為6048.【分析】可以先將原式化簡，將每項化成帶分數(shù)的形式，然后取整數(shù)部分，即可得出和解答】解：根據(jù)分析，原式為：2017x3112017x2017x3112017x4112017x5112017x6112017x7112017x8]11=網(wǎng)汕[733詁*[916診*[1100詁*[12畤]+叱呻=550*733*916*1100*1283*1466=6048.故答案是6048．點評】本題考查了高斯取整，本題突破點是：先將原式化簡，將每項化成帶分數(shù)的形式然后取整數(shù)部分，即可得出和．2．（10分）從4個整數(shù)中任意選出3個，求出它們的平均值．然后再求這個平均值和余下1TOC\o"1-5"\h\z個數(shù)的和,這樣可以得到4個數(shù):8、12、102和91,則原來給定的4個整數(shù)的和為20.33【分析】根據(jù)題意，設原來給定的4個整數(shù)分別是a、b、c、d，則a*b*C*d=8（1），3a*b*da*c*d2b*c*d1*c=12（2），*b=10—（3），*a=9-（4），據(jù)此求出原來33333給定的4個整數(shù)的和是多少即可.【解答】解：設原來給定的4個整數(shù)分別是a、b、c、d，1），*c=12(2)，2*b=10-(3)，3

b±b±C±d+a=91334），1）+（2）+（3）+（4），可得2(a+b+c+d)=8+12+10彳+9*,所以a+b+c+d=20,所以原來給定的4個整數(shù)的和為20．故答案為：20．【點評】此題主要考查了平均數(shù)問題，要熟練掌握，解答這類應用題時，主要是弄清楚總數(shù)、份數(shù)、一份數(shù)三量之間的關系，根據(jù)總數(shù)除以它相對應的份數(shù)，求出一份數(shù)，即平均數(shù)（10分）在3x3的網(wǎng)格中（每個格子是個1x1的正方形）放兩枚相同的棋子，每個格子中最多放一枚棋子，共有10種不同的擺放方法.（如果兩種放法能夠由旋轉而重合，解答】解：根據(jù)分析，份三種情況：解答】解：根據(jù)分析，份三種情況：當正中間即E處放一顆棋子，然后另一顆棋子放在外圍任意一個位置，除去對稱性因素,有2種不同的擺放方法，即AE、BE；當兩顆棋子都不在正中間E處時，而其中有一顆在頂點處時，有4種不同擺法，即AB、AF、AH、AD；當兩顆棋子都在頂點處時，有2種不同擺法，即AC、AI；當兩顆棋子都在除頂點和正中間之外的4個方格中，有2種不同擺法，即BD、BH.方法.（10分）甲從A地出發(fā)去找乙，走了80千米后到達B地，此時，乙已于半小時前離開B地去了C地，甲已離開A地2小時，于是，甲以原來的速度的2倍去C地.又經(jīng)過了2小時后，甲乙兩人同時到達C地，則乙的速度是64千米/小時.【分析】首先知道甲在2小時的路程是80千米，那么甲現(xiàn)在的速度和后來的速度都是可求的，再根據(jù)甲的時間和速度可求從B到C的路程，用路程除以乙的時間即是速度.【解答】解：甲在2小時走80千米，甲速為：80一2=40（千米/時）；甲速度加速變成40x2=80（千米/時）；甲再經(jīng)過2小時路程為：2x80=160（千米/時）乙路程共是160千米，時間是2.5小時，乙速為：160一2.5=64（千米/時）故答案為：64【點評】本題考查對追及問題的理解和運用，同時關鍵在求出BC之間的路程，隱含中知道乙的時間是2.5小時．問題解決．5．（10分）某校開設了書法和朗誦兩個興趣小組．已知兩個小組都參加的人數(shù)是只參加書法小組人數(shù)的-，是只參加朗誦小組人數(shù)的-，那么書法小組與朗誦小組的人數(shù)比是753:4_.【分析】把兩個小組都參加的人數(shù)看作單位“1”，則只參加書法小組人數(shù)的分率是1一2=-，72只參加朗誦小組人數(shù)的分率是1一-=5，則參加書法小組人數(shù)的分率是1+-=9，參加朗522誦小組人數(shù)的分率是1+5=6，然后根據(jù)比的意義解答即可.解答】解：把兩個小組都參加的人數(shù)看作單位“1”，（1+1一2）：（1+1一丄）75=9：62=3:4答：書法小組與朗誦小組的人數(shù)比是3:4.故答案為：3:4.【點評】本題關鍵是把中間量兩個小組都參加的人數(shù)看作單位“1”，然后都統(tǒng)一到這個單位“1”就容易解答了.（10分）如圖，AABC的面積為100平方厘米，AABD的面積為72平方厘米.M為CD邊的中點，ZMHB=90。，已知AB=20厘米，則MH的長度為8.6厘米.【分析】可以利用面積公式分別求出AABC、AABD的高，而已知AB=20厘米，再利用MH的中位線性質求出MH的長度．【解答】解：根據(jù)分析，過D,C分別作DE丄AB交AB于E,CF丄AB交AB于F，如圖：AABD的面積=72=-xDExAB=-xDEx20，/.DE=7.2厘米,22AABC的面積=100=-xCFxAB=-xCFx20，/.CF=10厘米;22又MH=-x(DE+CF)=-x(7.2+10)=8.6厘米.故答案是：8.6.點評】本題考查了三角形面積，本題突破點是：利用三角形面積公式先求出高，再利用中位線的關系求出MH的長.d0分)一列數(shù)a、a…，a…，記S(a)為a的所有數(shù)字之和，如S(22)=2+2=4，-2nii若a=2017，a=22，a=S(a)+S(a)，那么a等于】0.-2nn--n-220-7【分析】首先要分析清楚S(a)的含義，即a是一個自然數(shù)，S(a)表示a的數(shù)字和，再根iiii據(jù)a的遞推式列出數(shù)據(jù)并找出規(guī)律．n【解答】解：S(a)表示自然數(shù)a的數(shù)字和，又a=S(a)+S(a)，在下表中列出n=】，iinn--n-22，3，4，…時的a和S(a)，nnnanS(a)n20-7】02224

3145499514561457101866977101341111212661388141451513416991713418134198820123211122255237724123251012644275528992914530145311013266由上表可以得出：a=a=9,S(a)=S(a)=9;428428a—a—14,S(a)—S(a)—5；TOC\o"1-5"\h\z529529可以得到規(guī)律：當i4時，a—a,S(a)—S(a),ii+24ii+242017-3—2014,2014十24—83?…22,所以：a—a—a—10．20173+2225【點評】本題重點是弄清楚S(a)的含義，通過地推找到規(guī)律，再進行求解.i(10分)如圖，六邊形的六個頂點分別標志為A,B,C,D,E,F.開始的時候“華羅庚金杯賽”六個漢字分別位于A,B,C,D,E,F頂點處.將六個漢字在頂點處任意擺放，最終結果是每個頂點處仍各有一個漢字，每個字在開始位置的相鄰頂點處，則不同的擺放方法共有種.CD>金【分析】顯然，只有兩種情況，分別討論，相鄰兩個字互換，以及順時針移動一個位值，或逆時針移動一個位值，最后可以求得總的不同的擺放方法.【解答】解：根據(jù)分析，分兩類情況：按順序移動一個位置，順時針移動一個位置，有1種不同擺放方法，逆時針移動一個位置，有1種不同擺放方法；相鄰兩個位置互換，則共有：2種不同的擺放方法.綜上，共有：1+1+2—4種不同擺放方法.故答案是：4．【點評】本題考查排列組合，突破點是：分情況討論，相鄰兩個字互換，以及順時針移動一個位值，或逆時針移動一個位值，最后求和．二、解答題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）（10分）平面上有5條不同的直線，這5條直線共形成n個交點，則n有多少個不同的數(shù)值？【分析】按題意，可以分類討論，最后確定n的取值.【解答】解：根據(jù)分析，n=0，即5條直線互相平行；n=1，即五條直線交于一點；n=2，3,不存在；n=4，5，6，7，8，9，10的情況分別如下圖：n的取值共有9種不同的數(shù)，故答案是：9.

【點評】本題考查了組合圖形的計數(shù)，本題突破點是：分類討論，確定n的取值.10．（10分）某校給學生提供蘋果、香蕉和梨三種水果，用作課間加餐．每名學生至少選擇一種，也可以多選．統(tǒng)計結果顯示：70%的學生選擇蘋果，40%的學生選擇了香蕉．30%的學生選了梨，那么三種水果都選的學生數(shù)占學生總數(shù)至多是百分之幾？【分析】將所有學生分成四種，即三種水果都選的人數(shù)a、同時選蘋果和香蕉的人數(shù)b、同時選梨和蘋果的人數(shù)c、同時選香蕉和梨的人數(shù)d，再根據(jù)選每種水果的人數(shù)列關系式，2a+b+c+d=70+40+30-100=40，再利用各個取值范圍求出三種水果都選的人數(shù)最大值．【解答】解：根據(jù)分析，設學生總數(shù)為100人，故70人的學生選擇蘋果，40人的學生選擇了香蕉．30人的學生選了梨，三種水果都選的學生人數(shù)有a人，同時選了蘋果和香蕉的人數(shù)有b人，同時選了梨和蘋果的人數(shù)有c人,同時選了香蕉和梨的人數(shù)有d同時選了香蕉和梨的人數(shù)有d人則：2a2a+b+c+d—70+40+30—100—40a—40—(b+c+d)240-040-02—20，故當bc+d—0時，a取最大值20，即占總數(shù)的20%故答案是20%．點評】本題考查了分數(shù)和百分數(shù)的應用，本題突破點是：根據(jù)容斥原理列出三種水果都選的人數(shù)與總數(shù)及兩種都選的人數(shù)的關系式，再求解．11．（10分）箱子里面有兩種珠子，一種每個19克，另一種每個17克，所有珠子的重量為2017克，求兩種珠子的數(shù)量和所有可能的值．【分析】按題意，可以設每個重量的數(shù)量為未知數(shù)，19克的珠子有x個，17克的珠子有y個,再列出關系式，根據(jù)正整數(shù)的范圍逐步取值，最后找出符合題意的值．【解答】解：根據(jù)分析，設有x個19克的珠子，y個17克的珠子，則有：19x+17y—2017，又x，y均為正整數(shù),2017—17x12000“廠［2017—19x119961x—<106，1y—<118；19-19171719蔚1y—2017nx—2017—17y，由余數(shù)定理，要使x為正整數(shù)，2017—17y必須能被19整除，即余數(shù)為0而2017被9除余數(shù)為3,故17y被19除余數(shù)也為3,在所有被19除余數(shù)為3既小于2017又能被17整除的數(shù)只有：136，即17y=136ny=8,x=2017—17*8=99,x+y=99+8=107；19459，即17y=459ny=27,x=9=82,x+y=82+27=109；192017—782782，即17y=782ny=46,x=2017782=65,x+y=65+46=111；191105,即17y=1105ny=65,x=2017—1105=48,x+y=48+65=113；192017—14281428,即17y=1428ny=84,x==31,x+y=31+84=115；192017—17511751,即17y=1751ny=103,x==14,x+y=14+103=117.19綜上，兩種珠子的數(shù)量和即x+y所有可能的值是：107、109、111、113、115、117.故答案是：107、109、111、113、115、117.【點評】本題考查了不定方程的分析求解，本題突破點是：通過列出關系式，再根據(jù)未知數(shù)的范圍確定取值.(10分)使3n^2不為最簡分數(shù)的三位數(shù)n之和等于多少.5n+1【分析】3n±^不為最簡，表明(5n+1,3n+2)=a豐1,根據(jù)輾轉相除原理有5n+11豐al(5n+1)x3—(3n+2)x5即=1豐a17,則a只能等于7,我們可以用5n+1嘗試來鎖定答案，一次嘗試可知5n+1=1或6或11或16或21,因為21=3x7，所以5n+1=21時7l5n+1成立，此時n為最小值，且為4,其它值即可順次找出，只需要將4遞加7即可，題中讓我們求的是符合條件的三位數(shù)，那么最小為102，最大為998，此后利用等差數(shù)列求和即可.【解答】解：3n±^不為最簡，表明(5n+1,3n+2)=a豐1,5n+1根據(jù)輾轉相除原理有1豐al(5n+1)x3—(3n+2)x5即=1豐a17，則a只能等于7,一次嘗試可知5n+1=1或6或11或16或21,因為21=3x7，所以5n+1=21時7l5n+1成立，此時n為最小值，且為4,將4遞加7即可，符合條件的三位數(shù)，那么最小為102，最大為998，102+109+116+???+998=(102+998)x129一2=70950答：使3n±^不為最簡分數(shù)的三位數(shù)n之和等于70950.5n+1【點評】考查了輾轉相除原理，等差數(shù)列求和公式，關鍵是得到符合條件的三位數(shù)，最小為102，最大為998.三、解答題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細過程）（15分）班上共有60位同學，生日記為某月某號，問每個同學兩個同樣的問題：班上有幾個人與你生日的月份相同？班上有幾個人與你生日的號數(shù)相同（比如生日為1月12日與12月12日的號數(shù)相同的）.結果發(fā)現(xiàn)，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整數(shù)，那么，該班至少有多少個同字生日相同？【分析】同月份和同號數(shù)的回答取遍0到14，即同月份和同號數(shù)的人數(shù)取遍1到15