2020高中數(shù)學 第4章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 4.1 指數(shù)（第2課時）指數(shù)冪及運算講義 第一冊

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時指數(shù)冪及運算學習目標核心素養(yǎng)1。理解分數(shù)指數(shù)冪的含義，掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化．(重點、難點)2．掌握實數(shù)指數(shù)冪的運算性質，并能對代數(shù)式進行化簡或求值．（重點）1.通過分數(shù)指數(shù)冪、運算性質的推導,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．2．借助指數(shù)冪的運算性質對代數(shù)式化簡或求值，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).1．分數(shù)指數(shù)冪的意義分數(shù)指數(shù)冪正分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：aeq\s\up5(\f（m,n）)＝eq\r（n,am)（a>0，m，n∈N*，且n>1)負分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：a－eq\s\up5(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up5（\f（m，n）））＝eq\f(1,\r(n，am）)（a>0，m，n∈N*，且n〉1）0的分數(shù)指數(shù)冪0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義思考：在分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化公式aeq\s\up5(\f（m，n））＝eq\r(n,am）中，為什么必須規(guī)定a>0？提示：①若a＝0,0的正分數(shù)指數(shù)冪恒等于0,即eq\r（n，am)＝aeq\s\up5（\f(m，n))＝0,無研究價值．②若a<0，aeq\s\up5(\f（m，n））＝eq\r（n,am）不一定成立，如(－2）eq\s\up5(\f(3，2）)＝eq\r(2，－23)無意義，故為了避免上述情況規(guī)定了a>0.2．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質（1）aras＝ar＋s(a〉0，r,s∈Q）．（2）（ar)s＝ars（a〉0，r，s∈Q)．（3)（ab）r＝arbr(a〉0，b〉0，r∈Q)．3．無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα（a>0，α是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．1．下列運算結果中，正確的是（)A．a(chǎn)2a3＝a5 B．（－a2)3＝(－a3)C．（eq\r（a）－1）0＝1 D．(－a2）3＝a6A[a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2）3＝－a6≠（－a3）2＝a6；(eq\r(a)－1)0＝1，若成立，需要滿足a≠1,故選A.]2．4eq\s\up5(\f（2,5))等于(）A．25B.eq\r(5，16）C。eq\r（4eq\s\up5（\f（1,5）））D.eq\r(5,4）B［4eq\s\up5(\f(2,5）)＝eq\r(5，42）＝eq\r(5，16)，故選B.]3．已知a〉0，則aeq\s\up5(－\f（2，3）)等于(）A。eq\r(a3) B.eq\f(1,\r(3，a2)）C。eq\f(1,\r（a3)） D．－eq\r(3，a2）B[aeq\s\up5(－\f（2,3)）＝eq\f（1,aeq\s\up5(\f(2,3）)）＝eq\f(1,\r(3，a2）).]4．(meq\s\up5(\f（1,2））)4＋（－1)0＝________。m2＋1[（meq\s\up5(\f(1，2)）)4＋（－1)0＝m2＋1.］根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化【例1】將下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式：(1)eq\r(a\r（a))(a〉0);(2)eq\f（1，\r(3，x\r（5，x2）2)）；(3）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\r(4，beq\s\up15（－\f（2，3)))）)eq\s\up25（－\f(2，3）)（b〉0）．［解］（1)原式＝eq\r(a·aeq\s\up5（\f(1,2)））＝eq\r(aeq\s\up5（\f（3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（aeq\s\up5(\f(3,2))))eq\s\up5（\f(1，2）)＝aeq\s\up5（\f(3,4））.（2）原式＝eq\f（1，\r(3，x·xeq\s\up5(\f（2,5）)2）)＝eq\f(1,\r(3,x·xeq\s\up5（\f（4,5)）））＝eq\f(1,\r（3，xeq\s\up5（\f(9，5）））)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（xeq\s\up5（\f（9,5)）))eq\s\up5(\f(1,3)))＝eq\f(1,xeq\s\up5（\f(3,5)）)＝xeq\s\up15(－\f（3,5)）.(3）原式＝eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（beq\s\up15(－\f(2，3））））eq\s\up5（\f（1，4))))eq\s\up15(－\f(2，3））＝beq\s\up15（－\f（2，3）×eq\f（1，4)×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（2，3)）））＝beq\s\up5（\f(1，9))。根式與分數(shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)分數(shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)分數(shù)指數(shù)的分子．（2)在具體計算時，通常會把根式轉化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質解題．1．將下列根式與分數(shù)指數(shù)冪進行互化:(1）a3·eq\r(3，a2)；（2）eq\r(a－4b2\r（3,ab2）)（a〉0，b>0)．[解］(1）a3·eq\r(3,a2)＝a3·aeq\s\up5(\f(2，3))＝aeq\s\up15(3＋eq\f(2，3))＝aeq\s\up15(\f(11，3）).(2)eq\r（a－4b2\r（3,ab2))＝eq\r(a－4b2·ab2eq\s\up5（\f（1，3）)）＝eq\r(a－4b2aeq\s\up5(\f(1,3)）beq\s\up5（\f（2,3)））＝eq\r（aeq\s\up15(－\f(11，3))beq\s\up5（\f(8，3)）)＝aeq\s\up15（－\f（11,6）)beq\s\up5（\f（4，3））。利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質化簡求解【例2】化簡求值：指數(shù)冪運算的常用技巧1有括號先算括號里的，無括號先進行指數(shù)運算。2負指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)。3底數(shù)是小數(shù),先要化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù),要先化成假分數(shù),然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)冪的運算性質.提醒:化簡的結果不能同時含有根式和分數(shù)指數(shù)，也不能既含有分母又含有負指數(shù)。2．（1）計算：eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3，5))）0＋2－2×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2\f（1,4)))eq\s\up15(－\f(1，2）)－(0.01）0。5；(2)化簡:eq\r（3，aeq\s\up5(\f（7,2）)\r（a－3）)÷eq\r(\r(3,a－8)·\r(3,a15))÷eq\r（3，\r（a－3）·\r(a－1)）(a〉0)．指數(shù)冪運算中的條件求值[探究問題]1。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(a＋\f(1，a）））2和eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（a－\f(1，a))）2存在怎樣的等量關系?提示：eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（a＋\f(1，a)）)2＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(a－\f（1,a)））2＋4。2．已知eq\r（a）＋eq\f(1,\r(a))的值，如何求a＋eq\f（1,a）的值？反之呢？提示:設eq\r（a)＋eq\f（1,\r（a））＝m，則兩邊平方得a＋eq\f(1,a)＝m2－2;反之若設a＋eq\f（1，a)＝n，則n＝m2－2，∴m＝eq\r（n＋2）。即eq\r(a)＋eq\f（1,\r(a))＝eq\r(n＋2)?！纠?】已知aeq\s\up5(\f（1，2））＋aeq\s\up5(－\f(1，2)）＝4，求下列各式的值：(1）a＋a－1；（2)a2＋a－2.［思路點撥］eq\x(aeq\s\up5（\f（1，2）)＋aeq\s\up2(eq\s\up5(－\f（1，2)))＝4）eq\o(→，\s\up15（兩邊平方））eq\x(得a＋a－1的值）eq\o（→，\s\up15（兩邊平方））eq\x（得a2＋a－2的值)［解]（1)將aeq\s\up5（\f(1，2)）＋aeq\s\up5(－\f（1,2）)＝4兩邊平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2）將a＋a－1＝14兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝196,故a2＋a－2＝194.1．在本例條件不變的條件下，求a－a－1的值．［解]令a－a－1＝t，則兩邊平方得a2＋a－2＝t2＋2,∴t2＋2＝194，即t2＝192,∴t＝±8eq\r(3），即a－a－1＝±8eq\r（3).2．在本例條件不變的條件下，求a2－a－2的值．[解］由上題可知，a2－a－2＝（a－a－1）(a＋a－1）＝±8eq\r（3）×14＝±112eq\r（3)。解決條件求值的思路1在利用條件等式求值時，往往先將所求式子進行有目的的變形，或先對條件式加以變形,溝通所求式子與條件等式的聯(lián)系，以便用整體代入法求值.2在利用整體代入的方法求值時，要注意完全平方公式的應用.1．對根式進行運算時，一般先將根式化成分數(shù)指數(shù)冪，這樣可以方便使用同底數(shù)冪的運算律．2．解決較復雜的條件求值問題時，“整體思想”是簡化求解的“利器”．1．思考辨析(1）0的任何指數(shù)冪都等于0。（）（2)5eq\s\up5(\f(2,3）)＝eq\r(53）。()(3)分數(shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉化,如eq\r（4,a2）＝aeq\s\up5（\f（1，2））.()(4)aeq\s\up5（\f(m，n)）可以理解為eq\f（m，n）個a。(）［答案］（1)×(2)×(3)×（4）×2．把根式aeq\r(a)化成分數(shù)指數(shù)冪是（）A．(－a）eq\s\up5（\f(3，2）) B．－（－a）eq\s\up5(\f(3，2))C．－aeq\s\u