2020高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2.1.2 演繹推理講義 2-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13-學必求其心得，業(yè)必貴于專精2.1。2學習目標核心素養(yǎng)1．理解演繹推理的含義．（重點)2．掌握演繹推理的模式，會利用三段論進行簡單的推理．(重點、易混點)通過演繹推理的學習、提升學生的邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)。一、演繹推理1．定義根據(jù)概念的定義或一些真命題,依照一定的邏輯規(guī)則得到正確結論的過程，叫做演繹推理．2．特征當前提為真時，結論必然為真．二、三段論 1．三段論推理(1)三段論推理是演繹推理的一般模式．(2)三段論的構成：①大前提：提供一般性原理;②小前提:指出一個特殊的對象；③結論：結合大前提和小前提，得出一般性原理和特殊對象之間的內(nèi)在聯(lián)系．（3)“三段論”的常用格式大前提：M是P；小前提：S是M；結論：S是P。2．演繹推理的常見模式(1）三段論推理（2)傳遞性關系推理用符號表示推理規(guī)則是“如果aRb,bRc，則aRc”，其中“R"表示具有傳遞性的關系．（3)完全歸納推理把所有情況都考慮在內(nèi)的演繹推理規(guī)則叫做完全歸納推理．1．判斷（正確的打“√",錯誤的打“×”)(1)“三段論”就是演繹推理． （）(2）演繹推理的結論是一定正確的． (）(3）演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理． （）[答案](1)×(2）×(3）×2．正弦函數(shù)是奇函數(shù),f（x）＝sin（x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f（x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理中“三段論”中的__________是錯誤的．[解析]f(x）＝sin(x2＋1）不是正弦函數(shù)，故小前提錯誤．［答案]小前提3．下列幾種推理過程是演繹推理的是______(填序號）．①兩條平行直線與第三條直線相交,內(nèi)錯角相等,如果∠A和∠B是兩條平行直線的內(nèi)錯角,則∠A＝∠B;②金導電,銀導電，銅導電,鐵導電，所以一切金屬都導電；③由圓的性質(zhì)推測球的性質(zhì)；④科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇．［解析]①是演繹推理；②是歸納推理；③④是類比推理．［答案］①把演繹推理寫成三段論的形式【例1】將下列演繹推理寫成三段論的形式．(1)一切奇數(shù)都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇數(shù)；（2）三角形的內(nèi)角和為180°，Rt△ABC的內(nèi)角和為180°；(3）通項公式為an＝3n＋2（n≥2)的數(shù)列｛an}為等差數(shù)列．［解]（1)一切奇數(shù)都不能被2整除．(大前提）75不能被2整除．(小前提）75是奇數(shù)．(結論)（2)三角形的內(nèi)角和為180°。（大前提）Rt△ABC是三角形．(小前提）Rt△ABC的內(nèi)角和為180°。(結論)（3)數(shù)列{an}中，如果當n≥2時，an－an－1為常數(shù),則｛an}為等差數(shù)列．（大前提)通項公式an＝3n＋2，n≥2時，an－an－1＝3n＋2－[3（n－1）＋2］＝3(常數(shù)）．（小前提)通項公式為an＝3n＋2（n≥2）的數(shù)列｛an}為等差數(shù)列．(結論)把演繹推理寫成“三段論”的一般方法1．用“三段論”寫推理過程時，關鍵是明確大、小前提，三段論中大前提提供了一個一般性原理,小前提提供了一種特殊情況，兩個命題結合起來，揭示一般性原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系．2．在尋找大前提時，要保證推理的正確性，可以尋找一個使結論成立的充分條件作為大前提．1．將下列演繹推理寫成三段論的形式．（1)平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分；（2）等腰三角形的兩底角相等，∠A,∠B是等腰三角形的兩底角，則∠A＝∠B。［解](1）平行四邊形的對角線互相平分,大前提菱形是平行四邊形，小前提菱形的對角線互相平分．結論(2)等腰三角形的兩底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的兩底角,小前提∠A＝∠B.結論演繹推理的綜合應用【例2】如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB邊上的點,∠BFD＝∠A,DE∥BA，求證：DE＝AF.寫出“三段論”形式的演繹推理．［思路探究］用三段論的模式依次證明：(1）DF∥AE，(2）四邊形AEDF為平行四邊形，（3)DE＝AF.[解］（1)同位角相等，兩直線平行，（大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A,（小前提)所以DF∥AE.（結論）(2）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形,(大前提）DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四邊形AFDE為平行四邊形．（結論)（3)平行四邊形的對邊相等,(大前提)DE和AF為平行四邊形的對邊，（小前提）所以DE＝AF。(結論)1．用“三段論”證明命題的步驟(1)理清證明命題的一般思路;（2)找出每一個結論得出的原因；(3)把每個結論的推出過程用“三段論”表示出來．2．幾何證明問題中，每一步都包含著一般性原理,都可以分析出大前提和小前提，將一般性原理應用于特殊情況，就能得出相應結論．2．證明：如果梯形的兩腰和一底相等，那么它的對角線必平分另一底上的兩個角．［證明］已知在梯形ABCD中(如圖所示),AB＝DC＝AD，AC和BD是它的對角線，求證：CA平分∠BCD,BD平分∠CBA。證明：①等腰三角形的兩底角相等，大前提△DAC是等腰三角形，DC＝DA，小前提∠1＝∠2.結論②兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，大前提∠1和∠3是平行線AD，BC被AC所截的內(nèi)錯角，小前提∠1＝∠3.結論③等于同一個量的兩個量相等，大前提∠2,∠3都等于∠1，小前提∠2和∠3相等．結論即CA平分∠BCD.④同理BD平分∠CBA。利用完全歸納推理證明問題[探究問題]1．演繹推理的結論一定正確嗎？提示:演繹推理的結論不會超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中,只要前提和推理形式正確,其結論一定正確．2．利用完全歸納推理證明方程ax2＋2x－a＝0有實根，a的值應分哪幾種情況？提示:分a＝0和a≠0兩種情況．【例3】試證明函數(shù)f(x)＝ln(x＋eq\r（x2＋1))的定義域為R，并判斷其奇偶性．[思路探究]只須對x>0，x＝0,x〈0分別說明對數(shù)的真數(shù)均大于0即可．［解］當x〉0時,x＋eq\r(x2＋1）>0顯然成立；當x＝0時，x＋eq\r（x2＋1)＝1〉0成立；當x<0時,eq\r(x2＋1）>eq\r（x2)＝｜x|＝－x,所以x＋eq\r(x2＋1)〉x＋（－x)＝0.因此對x∈R，都有x＋eq\r（x2＋1)〉0，即函數(shù)的定義域為R。又因為f(－x）＝ln（－x＋eq\r（－x2＋1））＝ln(eq\r(x2＋1）－x）＝lneq\f（\r（x2＋1)－x\r(x2＋1）＋x，\r(x2＋1）＋x）＝lneq\f(1,\r(x2＋1)＋x)＝－ln（eq\r（x2＋1)＋x）＝－f（x)．故f（x)是奇函數(shù)．1．完全歸納推理不同于歸納推理，后者僅僅說明了幾種特殊情況,它不能說明結論的正確性，但完全歸納推理則把所有情況都作了證明,因此結論一定是正確的．2．在利用完全歸納推理證明問題時，要對證明的對象進行合理的分類，且必須把所有情況都考慮在內(nèi)．3．求證：n∈N,當1≤n≤4時,f（n）＝（2n＋7）·3n＋9能被36整除．[證明]當n＝1時，f（1）＝（2＋7）·3＋9＝36，能被36整除；當n＝2時，f（2）＝(2×2＋7）·32＋9＝108＝36×3，能被36整除;當n＝3時,f(3)＝(2×3＋7）·33＋9＝360＝36×10，能被36整除;當n＝4時，f(4)＝(2×4＋7)·34＋9＝1224＝36×34,能被36整除．綜上,當1≤n≤4時，f（n)＝(2n＋7）·3n＋9能被36整除.1．下面幾種推理過程是演繹推理的是（)A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝πB．某校高三(1)班有55人，（2）班有54人，（3）班有52人，由此得出高三所有班級的人數(shù)都超過50人C．由平面三角形的性質(zhì)，推測出空間四面體的性質(zhì)D．在數(shù)列｛an}中，a1＝1，an＝eq\f（1，2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（an－1－\f(1,an－1））)（n≥2)，通過計算a2，a3,a4猜想出an的通項公式[解析]A是演繹推理，B，D是歸納推理，C是類比推理．［答案]A2．用三段論證明命題：“任何實數(shù)的平方大于0，因為a是實數(shù)，所以a2＞0"，你認為這個推理(）A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．是正確的[解析］這個三段論推理的大前提是“任何實數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實數(shù)”，結論是“a2＞0”，顯然結論錯誤，原因是大前提錯誤．［答案］A3．函數(shù)y＝2x＋5的圖象是一條直線，用三段論表示為：大前提：___________________________________________；小前提：___________________________________________；結論：_____________________________________________.［答案］一次函數(shù)的圖象是一條直線函數(shù)y＝2x＋5是一次函數(shù)函數(shù)y＝2x＋5的圖象是一條直線4．如圖所示，因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AB＝CD,BC＝AD。又因為△ABC和△CDA的三邊對應相等，所以△ABC≌△CDA.上述推理的兩個步驟中分別省略了________、________。［