函數(shù)概念要點(diǎn)精析

函數(shù)的概傳統(tǒng)定義：在某一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于在某一個范圍內(nèi)的任一xyyx的函數(shù)，x叫自變量，y叫因變量．B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)(x∈A)．其中x叫做自變量，x的取值集合A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)(x∈A)．其中x叫做自變量，x的取值集合A叫做函數(shù)的定義域x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}①A、B都是非空數(shù)集，因此定義域(或值域)②在現(xiàn)代定義中，By＝x2＋1可稱為實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的xfxf”可以看作是對“x”施加的某種法則或運(yùn)算)fx)＝x－2x＋.＝2223x為某一個代數(shù)式或某一個函數(shù)記號x或函數(shù)記號f2x1＝2x－122(2x與A中的任一個元素，BBa，ba<b，我們規(guī)定：a≤x≤bx的集合叫做閉區(qū)間，表示為a<x<bx的集合叫做開區(qū)間，表示為a≤x<ba<x≤bx的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為.題型一②f(x)＝x，g(x)＝④f(x)＝|x|，g(x)＝ g(x)＝1R②f(x)＝x的值域是R，g(x)＝x2的值域是[0，＋∞)，它們的值域不同，所以它們不表與④f(x)＝|x|g(x)＝x2R，值域都為[0，＋∞)，對應(yīng)關(guān)系相同，所 題型二函數(shù)的求值f(x)＝x2＋x－1，求： f(x)＝5x ＝1 f(x)＝5x2＋x－6＝0x＝2點(diǎn) g(x)f(x)題型三求下列函數(shù)的定義域：＋f(x)＝ 1；＋y＝ 3

一般來說，如果函數(shù)由解析式給出，則其定義域就是使式子有意義的自變量的取

∴函數(shù) x＋1＋1的定義域是{x|x≥－1且

3∴函數(shù) 3

x<0故定義域?yàn)椤遞(x)的定義域?yàn)閇2,3]2≤x＋2≤30≤x≤1，∴f(x＋2)的定義域?yàn)椤遞(x＋3)的定義域?yàn)閇－5，－2]， 得點(diǎn) (1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集f(x)f(x)f(x)f(x)域也是指x的取值集合；②同一個f，括號內(nèi)整體的取值范圍相同，好比法律面前人人，y＝f(x)的定義域[a，b]y＝f[g(x)]a≤g(x)≤bx y＝2

Rkkx ∴Δ＝9k2－4k2<0，此時5k2<0，無解，∴k值不存在．錯因分 本題忽視了k＝0的討論，誤認(rèn)為k2x2＋3kx＋1一定是二次函數(shù)正 問題轉(zhuǎn)化為：求使k2x2＋3kx＋1≠0成立的k的值k＝0時，y＝1＝－8R，∴k＝0k≠0∴k2x2＋3kx＋1≠0，即Δ＝9k2－4k2<05k2<02綜上，k＝02kx

1．(Ⅰ高考)函數(shù)y＝x(x－1)＋x的定義域?yàn)?

∴函數(shù)的定義域?yàn)榇?22x

(x∈R)的值域 1 1解 y＝ ＝1－ ，由x＋1≥1，得0< x

x

x∴－1≤－1<0，∴0≤1－1<1 ∴值域?yàn)榇? 函數(shù)的定義域和值域可能是有限集，也可能是無限集，但不能是空集，故選B. 答 解 (xy＝x－1和y＝ B．y＝x和y(x

y＝(2答(2 A，B中兩函數(shù)的定義域不同，C中的兩個函數(shù)對應(yīng)關(guān)系不同，故選D.4．下列函數(shù)中，定義域不是R的是( ＝ k＝＝ ＝x答 解 選項A、C都是整式函數(shù)，符合題意，選項D中，對任意實(shí)數(shù)x都成立下列對應(yīng)為A到B的函數(shù)的是( A．A=R，Bx|x0，f:x→y=|x|B．A=Z,B=N*,f:x→y=xxx答 解 A、B不滿足存在性，C不滿足任意性若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[－2,4]，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋f(－x)的定義域是( 答 解 由

＝已知 1＝

(x∈R，且 (1)f(2)＝1 ＝1 )(0xa 由已知得0xa

ax1即ax1即

用數(shù)軸法，討論(1)a＝02a≤－1時，x∈?22當(dāng)－1<a<02學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)引范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}4．(1)a≤x≤bx的集合叫做閉區(qū)間，表示為a<x<bx的集合叫做開區(qū)間，表示為a≤x<ba<x≤bxR用區(qū)間表示為.例 (1)x2xf(x)＝1AB分 函數(shù)是一種特殊的對應(yīng)要檢驗(yàn)給定兩個變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系只要檢驗(yàn)根據(jù)給出的對應(yīng)關(guān)系，自變量x在其定義域中的每一個值，是否都有唯一確定的函數(shù)值y與之對應(yīng)．解(1)x,2被x為以確定，所以當(dāng)x0x2 xxA中任取一個值，B點(diǎn) B中唯一(即多對一或一對一變式遷移 判斷下列對應(yīng)是否為集合A到集合B的函數(shù)A=R,B=R,xAxx2（2）Axy|xyRBR,對任意的（x,y）A,(x,y)xyA=B=N*AA Ax＝3B例

1－1－ (4)y＝ 1

分 求函數(shù)定義域，其實(shí)質(zhì)是求使解析式各部分都有意義的未知數(shù)的取值范圍2 (1)函數(shù)y＝3－1x的定義域?yàn)?要使函數(shù)有意義，需

?x≤1且x≠0，所以函數(shù)y 的定義域?yàn)閧x|x≤1 要使函數(shù)有意義，需

?x≤022

要使函數(shù)有意義，需2解得－3≤x<22所以函數(shù) ＋1的定義域 變式遷移 求下列函數(shù)的定義域＝2－＝2－ f(x)＝3x－1＋1－2x＋4；f(x)＝|x|－x (1)由x2－3x＋2≠0，得 的定義域是{x∈R|x≠1x≠2}． 由

，得 1－2x＋4的定義域是

由

，得

∴x<0∴原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x<0例 f(x)＝x，g(x)＝(f(x)＝x，g(x)＝f(t)＝t，g(x)＝3x3； g(x)＝x2＝|x|的定義域?yàn)?變式遷移 試判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)f(x)＝x·x＋1g(x)＝f(x)＝x2－2xf(x)＝1 ，而例 (2)f(x)＝1，x∈Rx＝0,1,2 (1)函數(shù)的定義域?yàn)锳＝{0,1,2,3}，分別令x＝0,1,2,3得相應(yīng)的函數(shù)值分別為0，－ x＝0x的絕對值逐漸變大時，函數(shù)值逐漸變小并無限接近于0，但不會等于0. 1 從而可知，這個函數(shù)的值域?yàn)閥|y＝ x 點(diǎn)評(1)求函數(shù)的值域的問題首先必須明確兩點(diǎn)：一是值域的概念，即對于定義域AC＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系．對應(yīng)關(guān)f(x)＝x2－2x，x∈[0,2]f(x)＝x2－2x，x∈R.變式遷移 (1)函數(shù)f(x)＝x－1的值域?yàn)?用區(qū)間表示

＝x(1≤x≤2)的值域?yàn)?用區(qū)間表示 答 函數(shù)符號y＝f(x)是難以理解的抽象符號，它的內(nèi)涵是“對于定義域中的任意x，在fy”．在學(xué)習(xí)過程中，不容易認(rèn)識到函數(shù)概念的整體性，而將 y＝x2－1與y＝x－1C．y＝x0(x≠0)與y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z與y＝2x－1，x∈Z A中的兩函數(shù)定義域不同，B中的兩函數(shù)值域不同，D中的兩函數(shù)對應(yīng)法則不同．C正確．下列集合A，B及對應(yīng)關(guān)系不能構(gòu)成函數(shù)的是( 答 解 在B項中f(0)無意義，即A中的數(shù)0在B中找不到和它的對應(yīng)的數(shù)1設(shè)f(x)＝ ，1

x

f 答

3

55解

2＝ ＋ff

的定義域是 答 解 由

x>0f(x)＝5(x∈R)xf(0)＝5 B．2 C．3個D．4答 將集合{x|x＝1或2≤x≤8}表示成區(qū)間 答 ＝若 ＝x

答 函數(shù)y＝x2－x(－1≤x≤4，x∈Z)的值域 答 f(x)＝

(2)y＝x－1＋

，即

x<－3或－3<x<3f(x)的定義域?yàn)?－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．當(dāng)然也可以表示為{x|x<－3或－3<x<3

，即 x＝1，從而函數(shù)的定義域?yàn)? f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2008)＋f1＋f1＋…＋f1x2x

2

1

1＋

1

1＋由(1)f(x)＋f1＝

1

1

2f(2008)＋f12∴原式＝1＋1＋1＋1＋…＋

.＝2007＋1＝4. 2007 函數(shù)的表示分段函數(shù)是一個函數(shù) 它誤認(rèn)為是幾個函數(shù)∈(1,2]y=2-xy=eqb\lc\{\rc\a\vs4\al\co1(x，解析式分別作出．,3.,B.,→B.,對概念的理解：,B，其中A，B是兩個非空集合；A到B的與B到A的往往不同；,→B，其中A，B是兩個非空集合；A到B的與BA的往往不同；,(2)AB中必有唯一的元素和它對應(yīng)(有，且唯一)；,B(A，B是非空集合)BA中元素對應(yīng)，AB中元素BA中元素對應(yīng)，AB中元素對應(yīng)，可以是“一對一”、“多對一”，但不能是“一對多”．,(4)函數(shù)是集合A，B為非空數(shù)集的一種特殊，是函 (1)在下列對應(yīng)關(guān)系中，哪些能構(gòu)成A到B的？,P={x|0≤x≤4}Q={y|0≤y≤2} B.f:x 3f:x D.f:x→y＝3 對于②、③，也滿足的定義對于⑤，元素a. 判斷集合P中任何一個元素能否在集合Q中都有唯一確定的元素與它對應(yīng)由3f:xy＝2x3 答 在中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的對應(yīng)元素，不題型二分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用求下列函數(shù)的圖象及值域：

；x(x≥1)分 解答本題可先將解析式化簡，然后畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)圖象得到函數(shù)的值域 1(0x函數(shù)y=函數(shù)y= 的圖象如圖觀察圖象，得函數(shù)的值域?yàn)?x1(x

1x 2x1(xy≥3，點(diǎn)評本例利用圖象法求函數(shù)值域，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出分段函數(shù)的圖象．由于分段函數(shù)題型三

已知函數(shù) 根據(jù)圖象可知，設(shè)左側(cè)射線對應(yīng)的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+by=-x+2x>3y=x-2x>3)．y=a(x-2)2+21≤x≤3，a<0)．1≤x≤3y=-x2+4x-2(1≤x≤3)．x2(xy=x24x2(1xx2(x 設(shè)t＝x2＋2，則f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4. 本題錯解的原因是忽略了函數(shù)f(x)的定義域上面的解法似乎是無懈可擊，然而從其結(jié)論，即f(x)＝x2－4來看，并未注明f(x)的定義域，那么按一般理解，就應(yīng)認(rèn)為其定義域是全體實(shí)數(shù)．但是f(x)＝x2－4的定義域不是全體實(shí)數(shù)． 令t＝x2＋2(t≥2)，則f(t)＝t2－4(t≥2)，∴f(x)＝x2－4 32

|x-1|y=33|x-1|232

-|x-1|y=1-|x-1|解 方法 (特殊值)取x=0可排除A、C，取x=1可排除D，故選3方法 (直接法)0≤x<1時23

，則 231≤x≤2時線段過23

)，(2,0)兩點(diǎn)，則 22

3x,0x1∴y=3x3,1x2 答 ，b]}，B＝{(x，y)|x＝1}，則A∩B中所含元素的個數(shù)是 C．0或 D．0或1或 若1∈[a，b]，則根據(jù)函數(shù)定義知，x＝1與y＝f(x)交點(diǎn)只有一個，若1?[a，b]，則A∩B＝?，∴應(yīng)選C.答 答 由f(1)＝f(2)＝0，得p＝－3，q＝2，故f(x)＝x2－3x＋2，于是f(－1)＝6.①從角度看，函數(shù)是其定義域到值域的y＝x－1，x∈Zx∈(－3,3] ③函數(shù)

其中正確的論斷有 B．1 C．2個D．3答 解 函數(shù)是特殊的，由此知①正確②中的定義域?yàn)閥＝x－1M＝{0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}M的的是 A．f:x

6C. 6答 解 由定義判斷，選項C中，x＝6時

＋x的圖象是 答 解

|xx

x1,xf(x)=x1x0103km(3km)1km1.6元(不足1km，按1km計費(fèi))，若出租車行駛在不需等待的公，出租車的費(fèi)用y(元)與行駛x(km)之間的函數(shù)圖象大致為()答 由題意，當(dāng)0<x≤3時，y=10；當(dāng)3<x≤4時，y=11.6；4<x≤5…n-1<x≤n時，y=10+(n-HVh之間的函數(shù)關(guān)系如圖(1)所示，那么水瓶的形狀(如圖(2)所示)是()答 Vh的精確解析式，需要對圖形進(jìn)行整體Vh的函數(shù)圖象上看，V0開始后，h先增加較慢，后增加較H方法 取特殊值當(dāng)2V

V2V

2

，A2

A，C，D

，則 答 解 F(x)＝f(x)＋g(x)f(x)x的正比例函數(shù)，g(x)x答 x解 設(shè)x

F(x)＝kx＋mx

得

.解得

答

則不等式xf(x)＋x≤2的解集 當(dāng)x≥0時，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，∴0≤x≤1；當(dāng)x<0時，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，P1ABCDAB、C、DA，設(shè)xP點(diǎn)的行程，f(x)PAf(x)的解析式． 如圖，當(dāng)P點(diǎn)在AB上運(yùn)動時，PA＝x；當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動時，由Rt△ABP可得 PCDRt△ADPPDA上運(yùn)動時，PA=4-x.故f(x)的表達(dá)式為：x,0x

1(3x)2

x22x2,1xx26x10,2x4x,3x函數(shù)的表示法(一學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)引.例 已知完成某項任務(wù)的時間t與參加完成此項任務(wù)的人數(shù)x之間適合關(guān)系式b 過20人tt分 可用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式 (1)由題設(shè)條件知：當(dāng)x＝2時＋b2x＝14時，t＝28得方程組2

解此方程組得

xt＝x＋196x≤20，x為正整數(shù)，y，這里y2＝x，x∈N，y∈R；x，共取x123456789t(3)t20個點(diǎn)組成的一個點(diǎn)列．(4)x1～2020個正整數(shù)，從表中的函數(shù)值可以看出完成任務(wù)的時間714變式遷移 (1)某城市在某一年里各月份毛線的零售量(單位：100kg)如表所示月份t123456789零售量y956(2)y是x ∵對于集合{1,2，…，12}y∴yt(2)①yx的函數(shù)．∵x＝0時，由圖①y有兩個值±1②yx的函數(shù)．∵x在{x|x<－1x≥1}中任取一個值時，由圖②可確定唯一的y的值與它對應(yīng)；確定y有唯一的值與它對應(yīng)；例 (1)已知：f(x＋1)＝x＋2xf(x) 求實(shí)際問題的解析式．在求解的過程中要根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解 x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．方法 t＝x＋1，x＝(t－1)2，t≥1.代入原式有，f(x)＝x2－1x≥1)．a(chǎn)2abb∴ab

~b 點(diǎn)評(1)中方法一為配湊法，這種解法對變形能力、觀察能力有較高的要求；方法二變式遷移 設(shè)t＝2x＋1，則x＝2

＝2＋1.∴f(x)＝2 例 (2)y＝|x－1| (2)所給函數(shù)可化簡為y＝

點(diǎn) 函數(shù)圖象的作法大致有兩種變式遷移 ②若(2)中定義域?yàn)閧x|x≥1x≤－1} ①如圖所

答 解 只有D符合函數(shù)定義，即在定義域內(nèi)每一個x對應(yīng)唯一的y值下列表格中的x與y能構(gòu)成函數(shù)的是( xy1x0y10xy1xy10答 解析Ax＝0時，y＝±1；B0x＝0時，y＝0y＝－1，D中自x＝1∈N(Z，Q)yA、B、D均不正確．

答 解 方法 令1－2x＝t，則x＝ ∴f(t)＝

方法 令1－2x＝1，得 已知f(x)是一次函數(shù)，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，則f(x)等于( 答 解 設(shè)f(x)＝kx＋b

函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝m的交點(diǎn)個數(shù)為( A．可能無數(shù)B．只有一個C．至多一個D答 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，則當(dāng)m∈D時，f(x)圖象與直線x＝m有且只有一個交m?D時，f(x)x＝m已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，則a的值 答 解 2個進(jìn)水口，106點(diǎn)，給出以下3個論斷：①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水．則一定能確定正確的論斷序號是 答 3時蓄水量由0變?yōu)?，說明0～3時兩個進(jìn)水口均打開進(jìn)水但不出水，故①正確；3～43～4點(diǎn)不進(jìn)水只出水，應(yīng)每小時減少兩個單位，故②不正確；4～6時為水平線說明水量不發(fā)生變化，應(yīng)該是所有水口都打開，x123211x123321 ；當(dāng)g[f(x)]＝2時 答 解 函數(shù)的表示法(二學(xué)習(xí)目標(biāo)了解的概念及含義，會判斷給定的對應(yīng)關(guān)系是否是導(dǎo)引x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)B為從集合A到集合B的一 →B為從集合A到集合B的一 ， 函數(shù)的兩個集合A，B必須是非空數(shù)集.， 例 已知函數(shù)f(x)＝x2f[f(3)]f(a)＝3a分析本題給出的是一個分段函數(shù)，函數(shù)值的取得直接依賴于自變量x屬于哪一個區(qū)間，所以要對x的可能范圍逐段進(jìn)行討論． (1)∵－1<3<2.∴f(3)＝(3≥2，∴f[f((2)a≤－1時，f(a)＝a＋2當(dāng)－1<a<2時，f(a)＝a2∴a＝±3，其中負(fù)值舍去，∴a＝3；當(dāng)a≥2時，f(a)＝2a，又f(a)＝3，2∴a＝3(舍去)．綜上所述，a＝2點(diǎn) a2 2變式遷移 設(shè)x

答 解 當(dāng)a≥0時，f(a)＝1a－1，解 得a<－2與a≥0a<0時，f(a)＝a

， >a，得a例2在運(yùn)距不超過500公里以內(nèi)投寄快遞，首重不超過1000克需付郵資5元0005002元，50015001x克的需付郵資y元請寫出在運(yùn)距不超過500公里以內(nèi)投寄快遞需付郵資y元與包x克(0<x≤4000)之間的函數(shù)表達(dá)式，求出函數(shù)的值域，并作出函數(shù)的圖象．解5,x7,x9,xf(x)=11,x17,x根據(jù)上述函數(shù)的表達(dá)式可知，該函數(shù)的值域?yàn)?變式遷移 120千米(20千米)0.2y，xy=f(x)的表達(dá)式，并畫出其圖象． 當(dāng)4<x≤20時，y=10+(x-x>20時，y=10+16+(x-綜上所述，yx的函數(shù)關(guān)系為10(0xy= 1.2x2(x如圖所示,三、概念及運(yùn)例 判斷下列對應(yīng)關(guān)系哪些是從集合A到集合B的，哪些不是，為什么x（1）A=x|xR*,By|yR,f:xyx0，xA=Z,B=Qfxy1x (1)任一個x都有兩個y與之對應(yīng)，∴不是A1A中任意的一個負(fù)數(shù)都有唯一的元素0和它對應(yīng)，∴是．集合A中的0在集合B中沒有元素和它對應(yīng)，故不是在f的作用下，A中的0,1,2,9分別對應(yīng)到B中的1,0,1,64，∴是點(diǎn) 判斷一個對應(yīng)是不是，應(yīng)該從兩個角度去分析是否是“A中的每一個元素”；(2)B中是否“有唯一的元素與之對應(yīng)變式遷移 下列對應(yīng)是否是從A到B的，能否構(gòu)成函數(shù)A=R,B=R,f:xy