物理競(jìng)賽輔導(dǎo)復(fù)雜電阻網(wǎng)絡(luò)的處理方法

來稿日期：2003年8月15日適合欄目：物理競(jìng)賽適合年級(jí)：高二、高三Email:gao19702003@復(fù)雜電阻網(wǎng)絡(luò)的處理方法高永寶（山東省沂源縣第一中學(xué)256100)鄭繼義（山東省沂源縣教研室256100)在物理競(jìng)賽過程中經(jīng)常遇到，無法直接用串聯(lián)和并聯(lián)電路的規(guī)律求出整個(gè)電路電阻的情況，這樣的電路也就是我們說的復(fù)雜電路，復(fù)雜電路一般分為有限網(wǎng)絡(luò)和無限網(wǎng)絡(luò)。那么，處理這種復(fù)雜電路用什么方法呢？下面，我就結(jié)合自己輔導(dǎo)競(jìng)賽的經(jīng)驗(yàn)談?wù)剰?fù)雜電路的處理方法。一：有限電阻網(wǎng)絡(luò)原則上講解決復(fù)雜電路的一般方法，使用基爾霍夫方程組即可。它包含的兩類方程出自于兩個(gè)自然的結(jié)論：（1）對(duì)電路中任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)，原則上講解決復(fù)雜電路的一般方法，使用基爾霍夫方程組即可。它包含的兩類方程出自于兩個(gè)自然的結(jié)論：（1）對(duì)電路中任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)，流出的電流之和等于流入的電流之和。電路中任何一個(gè)閉合回路，都符合閉合電歐姆定律。下面我介紹幾種常用的其它的方法。1：對(duì)稱性簡化所謂的對(duì)稱性簡化，就是利用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中可能存在的對(duì)稱性簡化等效電阻的計(jì)算。它的效果是使計(jì)算得以簡化，計(jì)算最后結(jié)果必須根據(jù)電阻的串、并聯(lián)公式；電流分布法；極限法等來所謂的對(duì)稱性簡化，就是利用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中可能存在的對(duì)稱性簡化等效電阻的計(jì)算。它的效果是使計(jì)算得以簡化，計(jì)算最后結(jié)果必須根據(jù)電阻的串、并聯(lián)公式；電流分布法；極限法等來完成。在一個(gè)復(fù)雜的電路中，如果能找到一些完全對(duì)稱的點(diǎn)，那么當(dāng)在這個(gè)電路兩端加上電壓時(shí)，這些點(diǎn)的電勢(shì)一定是相等的，即使用導(dǎo)線把這些點(diǎn)連接起來也不會(huì)有電流（或把連接這些點(diǎn)的導(dǎo)線去掉也不會(huì)對(duì)電路構(gòu)成影響），充分的利用這一點(diǎn)我們就可以使電路大為簡化。例（1）如圖1所示的四面體框架由電阻都為的等效電阻。圖1R這些點(diǎn)的電勢(shì)一定是相等的，即使用導(dǎo)線把這些點(diǎn)連接起來也不會(huì)有電流（或把連接這些點(diǎn)的導(dǎo)線去掉也不會(huì)對(duì)電路構(gòu)成影響），充分的利用這一點(diǎn)我們就可以使電路大為簡化。例（1）如圖1所示的四面體框架由電阻都為的等效電阻。圖1R的6根電阻絲連接而成，求兩頂點(diǎn)C6D圖2A、B間分析:假設(shè)在A、B兩點(diǎn)之間加上電壓，并且電流從A電流入、B點(diǎn)流處。因?yàn)閷?duì)稱性，圖中CD兩點(diǎn)等電勢(shì)，或者說中CD兩點(diǎn)等電勢(shì)，或者說C、D間的電壓為零。因此，CD間的電阻實(shí)際上不起作用，可以拆去。原網(wǎng)絡(luò)簡化成簡單的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，使問題迎刃而解。解：根據(jù)以上分析原網(wǎng)絡(luò)簡化成如圖2解：根據(jù)以上分析原網(wǎng)絡(luò)簡化成如圖2所示的簡單的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，由串、并聯(lián)規(guī)律得RAB=R/2例（2）三個(gè)相同的金屬圈兩兩正交地連成如圖所示的形狀，若每一個(gè)金屬圈的原長電阻為R,試求圖中A、B兩點(diǎn)之間的等效電阻。A圖3B圖4圖5AG圖7圖10圖11AG圖7圖10圖11分析：從圖3中可以看出，整個(gè)電阻網(wǎng)絡(luò)相對(duì)于AB的電流流入、流出方式上具有上下對(duì)稱性，因此可上下壓縮成如圖所時(shí)的等效減化網(wǎng)絡(luò)。從如圖4所示的網(wǎng)絡(luò)中可以看出，從A點(diǎn)流到O電流與從O點(diǎn)到B電流必相同；從A1點(diǎn)流到O電流與從O點(diǎn)到Bi電流必相同。據(jù)此可以將O點(diǎn)斷開，等效成如圖5所示的簡單網(wǎng)絡(luò)，使問題得以求解。解：根據(jù)以上分析求得Rab=5R/48例（3）如圖6所示的立方體型電路，每條邊的電阻都是R。求A、G之間的電阻是多少？分析：假設(shè)在A、G兩點(diǎn)之間加上電壓時(shí)，顯然由于對(duì)稱性D、B、E的電勢(shì)是相等的，C、F、H的電勢(shì)也是相等的，把這些點(diǎn)各自連起來，原電路就變成了如圖7所示的簡單電路。解:由簡化電路，根據(jù)串、并聯(lián)規(guī)律解得Rag=5R/6（同學(xué)們想一想，若求A、F或A、E之間的電阻又應(yīng)當(dāng)如何簡化？）例（4）在如圖8所示的網(wǎng)格形網(wǎng)絡(luò)中，每一小段電阻均為R，試求A、B之間的等效電阻分析油于網(wǎng)絡(luò)具有相對(duì)于過A、B對(duì)角線的對(duì)稱性，可以折疊成如圖9所示的等效網(wǎng)絡(luò)。而后根據(jù)等電勢(shì)點(diǎn)之間可以拆開也可以合并的思想簡化電路即可。解法（a）：簡化為如圖9所示的網(wǎng)絡(luò)以后，將3、O兩個(gè)等勢(shì)點(diǎn)短接，在去掉斜角部位不起作用的兩段電阻，使之等效變換為如圖10所示的簡單網(wǎng)絡(luò)。最后不難算得RAO=ROB=5R/14RAB=RAO+ROB=5R/7解法（b）：簡化為如圖所示的網(wǎng)絡(luò)以后，將圖中的O點(diǎn)上下斷開，如圖11所示，最后不難算得RAB=5R/72：電流分布法

設(shè)定電流I從網(wǎng)絡(luò)A電流入，B電流出。應(yīng)用電流分流思想和網(wǎng)絡(luò)中任意兩點(diǎn)之間不同路徑等電壓的思想，建立以網(wǎng)絡(luò)中的各電阻的電流為未知量的方程組，解出各電流I的比例關(guān)系，然后選取A到B的某一路經(jīng)計(jì)算A、B間的電壓，再由RAB=UAB/1AB即可算出Rab例：有如圖12所示的電阻網(wǎng)絡(luò)，求A、B之間的電阻RarAB分析：要求A、B之間的電阻RAB按照電流分布法的思想，只要設(shè)上電流以后，求得A、B間的電壓即可。OC-0B的電壓即可。OC-0B圖12解：設(shè)電流由A流入，B流出，各支路上的電流如圖所示。根據(jù)分流思想可得I2=I-I1I3=I2-I1=I-2I1A、O間的電壓，不論是從AO看，還是從ACO看，都應(yīng)該是一樣的，因此I1(2R)=(I-I1)R+(I-2I1)R解得『2I/5取AOB路徑，可得AB間的電壓UAB=I1*2R+I4*R根據(jù)對(duì)稱性I4=I2=I-Ii=3I/5所以Uab=2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5RAB=UAB/I=7R/5這種電流分布法事實(shí)上已經(jīng)引進(jìn)了基爾霍夫定律的思想，所以有一定的一般性。3：Y——A變換復(fù)雜電路經(jīng)過Y-△變換，可以變成簡單電路。如圖13和14所示分別為△網(wǎng)絡(luò)和Y網(wǎng)絡(luò)，兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中得6個(gè)電阻滿足怎樣的關(guān)系才能使這兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)完全等效呢?所謂完全等效，就是要求Uab=Uab,Ubc=Ubc,Uca=UcaIa=IA,Ib=IB,Ic=IC在Y網(wǎng)絡(luò)中有IaRa-IbRb=UabIcRc-IaRa=UcaIa+Ib+Ic=0圖14圖13圖14解得Ia=RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)在八網(wǎng)絡(luò)中有3°"°IAB=UABIAB=UAB/RABICA=UCA/RCAIA=IAB-ICA解得IA=⑴AB/RAB)-(UCA/RCA)因?yàn)橐驣a=IA，所以RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)=(UAB/RAB)-(UCA/RCA)又因?yàn)橐骍ab又因?yàn)橐骍ab=Uab，Uca=久4RAB=(RaRb+RbRc+RcRa)/RcRCA=(RaRb+RbRc+RcRa)/Rb用類似的方法可以解得RBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/Ra所以要求上示中對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等（1）（2）(3)（1）、（2）、（3）三式是將Y網(wǎng)絡(luò)變換到△網(wǎng)絡(luò)的一組變換式。在（1）、（2）、（3）三式中將（1）、（2）、（3）三式是將Y網(wǎng)絡(luò)變換到△網(wǎng)絡(luò)的一組變換式。在（1）、（2）、（3）三式中將Rab、Rbc、Rca作為已知量解出Ra、Rb、Ra=RAB*RCA/（RAB+RBC+RCA）（4）Rb=RAB*RBC/（RAB+RBC+RCA）（5）Rc=RBC*RCA/（RAB+RBC+RCA）（6）（4）、（5）、（6）三式是將△網(wǎng)絡(luò)變換到Y(jié)網(wǎng)絡(luò)的一組變換式。例（1）求如圖15所示雙T橋網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Rab。Rc即可得到分析：A2■圖15此題無法直接用串、并聯(lián)規(guī)律求解，需要將雙T橋網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)小的Y網(wǎng)絡(luò)元變換成兩個(gè)小的4網(wǎng)絡(luò)元，再直接用串、并聯(lián)規(guī)律求解即可。解:原網(wǎng)絡(luò)等效為如圖16所示的網(wǎng)絡(luò)，由此可以算得Rab=118/93Q例（2）有7個(gè)電阻同為R的網(wǎng)絡(luò)如圖17所示，試求A、B間的等效電阻Rab。B圖17解：將Y網(wǎng)絡(luò)O-ABC變換成△網(wǎng)絡(luò)如圖18所示其中RAB=（RaRb+RbRc+RcRa）/Rc=5RRBC=（RaRb+RbRc+RcRa）/Ra=5R/2RCA=（RaRb+RbRc+RcRa）/Rb=5R這樣就是一個(gè)簡單電路了，很容易算得RAB=7R/54：電橋平衡法圖19如圖19所示的電路稱為惠斯通電橋，圖中R1、R2、R3、R4分別叫電橋的臂，G是靈敏電流計(jì)。當(dāng)電橋平衡（即靈敏電流計(jì)的示數(shù)為零）的時(shí)候，我們稱之為電橋平衡。這時(shí)有I1=I2,I3=I4,I1RI=I3R3,I2R2=I4R4有這些關(guān)系可以得到R1/R2=R3/R4上式稱之為電橋平衡條件，利用此式簡化對(duì)稱性不明顯的電路，十分方便。例:有n個(gè)接線柱，任意兩個(gè)接線柱之間都接有一個(gè)電阻R求任意兩個(gè)接線柱之間的電阻。分析：粗看本題根本無法求解，但是能充分利用電橋平衡的知識(shí)，則能十分方便得求解。解：如圖20所示，設(shè)想本題求兩接線柱A、B之間的等效電阻，根據(jù)對(duì)稱性易知，其余的接線柱CDE中，任意兩個(gè)接線柱之間的電阻無電流通過，故這些電阻都可以刪除，這樣電路簡化為:A、B之間連有電阻R，其余（n-2）個(gè)接線柱之間僅有電阻分別與A、B兩點(diǎn)相連，它們之間沒有電阻相連。即1/RAB=1/R+1/[2R/（n-2）]所以RAB=2R/n二：無限電阻網(wǎng)絡(luò)無限電阻網(wǎng)絡(luò)分為線型無限網(wǎng)絡(luò)和面型無限網(wǎng)絡(luò)，下面我們就這兩個(gè)方面展開討論1：線型無限網(wǎng)絡(luò)所謂“線型”就是一字排開的無限網(wǎng)絡(luò)，既然研究對(duì)象是無限的，就可以利用“無限”這個(gè)條件，再結(jié)合我們以上講的求電阻的方法就可以解決這類問題。例（1）如圖21所示的電路是一個(gè)單邊的線型無限網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)電阻的阻值都是R，求A、B之間的等效電阻rab.之間的等效電阻rab.AD圖21解：因?yàn)槭恰盁o限”的，所以去掉一個(gè)單元或增加一個(gè)單元不影響等效電阻即rab應(yīng)該等于從CD往右看的電阻RcdRAB=2R+R*RCD/（R+RCD）=RCD整理得RCD2-2RRCD-2R2=0解得：RCD=（1+31/2）R=RAB例（2）一兩端無窮的電路如圖22所示，其中每個(gè)電阻均為r求a、b兩點(diǎn)之間的電阻。a■b■bRxa■

a■b■bRxa■圖22圖圖22解：此電路屬于兩端無窮網(wǎng)絡(luò)，整個(gè)電路可以看作是由三個(gè)部分組成的，如圖所示，則Rab=(2Rx+r)r/(2Rx+2r)即是無窮網(wǎng)絡(luò)，bbi之間的電阻仍為Rx則Rx=(31/2-1)r代入上式中解得Rab=(6-31/2)*r/6例(3)電阻絲無限網(wǎng)絡(luò)如圖24所示，每一段金屬絲的電阻均為r，求A、B之間的等效電圖24圖25rrr2圖圖24圖25rrr2圖26解:根據(jù)對(duì)稱性可知，網(wǎng)絡(luò)中背面那根無限長的電阻絲中各點(diǎn)等勢(shì)，故可以刪去這根電阻絲，這樣原網(wǎng)絡(luò)等效為如圖25所示的網(wǎng)絡(luò)。又因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)相對(duì)AB連線具有左右對(duì)稱性，故可以折疊成如圖26所示的網(wǎng)絡(luò)，再利用例(1)的方法可得RCD=REF=Rx即Rx=r/2+r/2+(Rx*r/3)/(Rx+r/3)解得：Rx=(3+21i/2)r/6RAB=(2r*Rx/3)/(2r/3+Rx)=2(21)1/2r/212：面型無限網(wǎng)絡(luò)解線性無限網(wǎng)絡(luò)的指導(dǎo)思想是利用網(wǎng)絡(luò)的重復(fù)性，而解面型無限網(wǎng)絡(luò)的指導(dǎo)思想是利用四個(gè)方向的對(duì)稱性。例(1)如圖27所示是一個(gè)無窮方格電阻絲網(wǎng)絡(luò)的一部分，其中每一小段電阻絲的阻值都是R求相鄰的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)A、B之間的等效電阻。分析：假設(shè)電流I從A點(diǎn)流入，向四面八方流到無窮遠(yuǎn)處，根據(jù)對(duì)稱性，有I/4電流由A點(diǎn)流到B點(diǎn)。假設(shè)電流I經(jīng)過無限長時(shí)間穩(wěn)定后再由四面八方匯集到B點(diǎn)后流出，根據(jù)對(duì)稱性，同樣有I/4電流經(jīng)A點(diǎn)流到B點(diǎn)。解：從以上分析看出，AB段的電流便由兩個(gè)I/4疊加而成，為I/2因此UAB=(I/2)*rA、B之間的等效電阻RAB=UAB/I=r/2例(2)有一無限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同的正六