數(shù)學(xué)分析專題選講課程教學(xué)大綱

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse《數(shù)學(xué)分析專題選講》課程教學(xué)大綱一、課程基本信息課程中文名稱 :數(shù)學(xué)分析專題選講課程英文名稱 :SelectiveLecturesofMathematicAnalysis課程類別 :選修課使用專業(yè) :數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 、計(jì)算與信息科學(xué)專業(yè)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等開設(shè)學(xué)時(shí)：24學(xué)時(shí)使用年級(jí) :2007 級(jí)、2008級(jí)預(yù)修課程 :數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)一TOC\o"1-5"\h\z并修課程 :課程簡(jiǎn)介 :數(shù)學(xué)分析專題系統(tǒng)拓展和加深講授極限理論 ,函數(shù)的連續(xù)性, 微分中值定理的及其應(yīng)用 ,一元函數(shù)積分學(xué),數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分 ,多元函數(shù)微分學(xué),函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分 , 多元函數(shù)積分學(xué)這八個(gè)專題的核心內(nèi)容 .建議教材 : 自編講義參考書 :.毛羽輝編著《數(shù)學(xué)分析選論》,北京:科學(xué)出版社（第二版）..胡小敏李承家編著《數(shù)學(xué)分析考研教案》,西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社 （第二版）..王戈平編《數(shù)學(xué)分析選講》,西安:中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社..裘兆泰王承國(guó)章仰文編《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)》,北京:科學(xué)出版社 ..孫本旺汪浩《數(shù)學(xué)分析中的典型例題和方法》,長(zhǎng)沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社..周中群主編《數(shù)學(xué)分析方法選講》,重慶:西南師范大學(xué)出版社 .. 劉玉璉 揚(yáng)奎元 呂風(fēng)編《數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》 （上）,北京 :高等教育出版社 （第二版）.. 劉玉璉 揚(yáng)奎元 呂風(fēng)編《數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》 （下）,北京 :高等教育出版社 （第二版）..謝惠民惲自求易法槐錢定邊編《數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》（上）,北京:高等教育出版社 ..謝惠民惲自求易法槐錢定邊編《數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》（下）,北京:高等教育出版社..錢吉林編《數(shù)學(xué)分析解題精粹》,武漢:崇文書局..牟俊霖李青吉《洞穿考研數(shù)學(xué)》,北京:航空工業(yè)出版社 .二、課程性質(zhì)、目的及總體要求課程的基本特性 :數(shù)學(xué)分析專題選講是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) ,計(jì)算與信息科學(xué)專業(yè)重要的選修課,它是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)分析數(shù)學(xué)的分支和科學(xué)研究必不可少的專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)也可使其他理科專業(yè)學(xué)生進(jìn)一步了解微積分學(xué)知識(shí)，是報(bào)考對(duì)數(shù)學(xué)要求較高的碩士學(xué)位研究生同學(xué)的必修課程 .課程的教學(xué)目標(biāo) :該課程主要系統(tǒng)拓展和加深學(xué)習(xí)極限理論 ,函數(shù)的連續(xù)性 ,微分中值定理的及其應(yīng)用,一元函數(shù)積分學(xué) ,數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分 ,多元函數(shù)微分學(xué),函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分 ,多元函數(shù)積分學(xué)這八個(gè)專題的核心內(nèi)容.課程的總體要求 :通過本課程的學(xué)習(xí),主要要求學(xué)生系統(tǒng)拓展和加深極限理論 ,函數(shù)的連續(xù)性,微分中值定理的極其應(yīng)用,一元函數(shù)積分學(xué),數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分 ,多元函數(shù)微分學(xué),函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分 ,多元函數(shù)積分學(xué)的基本技能、基本思想和方法 ,主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和科學(xué)研究的初步能力.三、章節(jié)教學(xué)內(nèi)容與要求（進(jìn)度表）第一章極限理論的應(yīng)用（6學(xué)時(shí)）總的要求:極限理論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)理論,它是學(xué)習(xí)微分理論、積分理論、級(jí)數(shù)理論等的奠基理論,極限理論的基本思想和方法貫穿于數(shù)學(xué)分析始終.在本章中,主要進(jìn)一步學(xué)習(xí)解決極限問題的若干基本方法 .通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力。重點(diǎn) :Stolz 定理的應(yīng)用、實(shí)數(shù)連續(xù)公理的應(yīng)用、柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用 .難點(diǎn) :Stolz 定理的應(yīng)用、實(shí)數(shù)連續(xù)公理的應(yīng)用、柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用 .第一節(jié)Stolz定理的應(yīng)用（2學(xué)時(shí)）.深刻理解和掌握 Stolz定理..能較熟練應(yīng)用Stolz定理證明和解決極限的基本問題.第二節(jié)實(shí)數(shù)連續(xù)公理的應(yīng)用（3學(xué)時(shí)）.深刻理解和掌握實(shí)數(shù)連續(xù)公理 ..能較熟練應(yīng)用實(shí)數(shù)連續(xù)公理證明和解決極限的基本問題.第三節(jié)柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用（2學(xué)時(shí)）.深刻理解和掌握柯西準(zhǔn)則..能較熟練應(yīng)用柯西準(zhǔn)則證明和解決極限的基本問題.第二章函數(shù)的連續(xù)性 （2學(xué)時(shí)）TOC\o"1-5"\h\z總的要求:連續(xù)函數(shù)是一類最重要、性質(zhì)最好的函數(shù)之一 ,是數(shù)學(xué)分析的主要研究對(duì)象之一 .在本章中,主要進(jìn)一步學(xué)習(xí)應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)等證明和解決問題的基本方法 .通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和和解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力.重點(diǎn) :閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用 .難點(diǎn) :閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用 .第一節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用（2學(xué)時(shí)）.深刻理解和掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) ..能較熟練應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)證明和解決基本問題.第三章微分中值定理極其應(yīng)用（4學(xué)時(shí)）總的要求:微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中最基本的定理之一 ,它深刻揭示了閉區(qū)間上的函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,它是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的橋梁 .在本章中,主要進(jìn)一步學(xué)習(xí)應(yīng)用微分中值定理和泰勒中值定理證明和解決問題的基本方法 .通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和和解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力.TOC\o"1-5"\h\z重點(diǎn) ：微分中值定理的應(yīng)用、泰勒中值定理的應(yīng)用 .難點(diǎn) ：微分中值定理的應(yīng)用、泰勒中值定理的應(yīng)用 .第一節(jié)微分中值定理的應(yīng)用（2學(xué)時(shí)）.深刻理解和掌握微分中值定理 ..能較熟練應(yīng)用微分中值定理證明和解決基本問題.第二節(jié)泰勒中值定理的應(yīng)用（2學(xué)時(shí)）.深刻理解和掌握泰勒中值定理 ..能較熟練應(yīng)用泰勒中值定理證明和解決基本問題.第四章一元函數(shù)積分學(xué) （4學(xué)時(shí)）總的要求:定積分與極限、積分中值定理 （廣義積分中值定理 ）、積分等式與積分不等式是數(shù)學(xué)分析中一元函數(shù)積分學(xué)的三個(gè)重要的基本知識(shí)點(diǎn).在本章中,主要進(jìn)一步學(xué)習(xí)應(yīng)用定積分與極限證明和解決問題的基本方法 ;進(jìn)一步學(xué)習(xí)應(yīng)用積分中值定理 （廣義積分中值定理證明）證明和解決問題的基本方法 ;進(jìn)一步學(xué)習(xí)積分等式與積分不等式的證明和應(yīng)用積分等式與積分不等式證明和解決問題的基本方法 .通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和和解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力。重點(diǎn) ：定積分與極限、積分中值定理 （廣義積分中值定理 ）、積分等式與積分不等式 .難點(diǎn) ：定積分與極限、積分中值定理 （廣義積分中值定理 ）、積分等式與積分不等式 .第一節(jié)定積分與極限 （2學(xué)時(shí)）.深刻理解和掌握定積分與極限的關(guān)系..能較熟練應(yīng)用定積分與極限的關(guān)系證明和解決基本問題.第二節(jié)積分中值定理 （廣義積分中值定理 ）的應(yīng)用（1學(xué)時(shí)）.深刻理解和掌握積分中值定理 （廣義積分中值定理 ）..能較熟練應(yīng)用積分中值定理 （廣義積分中值定理 ）證明和解決基本問題.第三節(jié)積分等式與積分不等式 （1學(xué)時(shí)）能較熟練的證明一些積分等式與積分不等式 .能較熟練應(yīng)積分等式與積分不等式證明和解決基本問題.第五章數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分 （4學(xué)時(shí)）總的要求:數(shù)值級(jí)數(shù)斂散性的判定是級(jí)數(shù)的最基本的問題之一 ,無窮積分?jǐn)可⑿缘呐卸ㄊ菬o窮積分的最基本的問題之一 ,數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分有密切的聯(lián)系.在本章中,主要進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)值級(jí)數(shù)斂散性的判定及數(shù)值級(jí)數(shù)中證明問題的基本方法 ;進(jìn)一步學(xué)習(xí)無窮積分?jǐn)可⑿缘呐卸ǖ幕痉椒?;進(jìn)一步將無窮數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分作對(duì)比學(xué)習(xí)研究 .通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和和解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力.重點(diǎn) ：數(shù)值級(jí)數(shù)的斂散性、無窮積分的斂散性、數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分的關(guān)系 .難點(diǎn) ：數(shù)值級(jí)數(shù)的斂散性、無窮積分的斂散性、數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分的關(guān)系 .第一節(jié)數(shù)值級(jí)數(shù)的斂散性的判定及證明問題（2學(xué)時(shí)）能熟練應(yīng)用數(shù)值級(jí)數(shù)的基本判別法等證明和解決基本問題.深刻理解和掌握數(shù)值級(jí)數(shù)的狄利克雷（Dirichelet）判別法、阿貝爾（Abel）判別法、拉貝（Raabe）判別法.能較熟練應(yīng)用數(shù)值級(jí)數(shù)的狄利克雷（Dirichelet）判別法、阿貝爾（Abel）判別法、拉貝（Raabe）判別法等證明和解決一些基本問題.第二節(jié)無窮積分的的斂散性的判定（1學(xué)時(shí)）能熟練應(yīng)用無窮積分的基本判別法等證明和解決基本問題。深刻理解和掌握無窮積分的狄利克雷（Dirichelet）判別法、阿貝爾（Abel）判別法能較熟練應(yīng)用無窮積分的狄利克雷 （Dirichelet）判別法、阿貝爾（Abel）判別法等證明和解決一些基本問題。第三節(jié)無窮數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分比較學(xué)習(xí)研究 （1學(xué)時(shí)）能深刻理解和掌握無窮數(shù)值級(jí)數(shù)與無窮積分的內(nèi)在聯(lián)系和內(nèi)涵,使兩者相通 .第六章多元函數(shù)微分學(xué) （4學(xué)時(shí)）總的要求:多元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別,.在此章中,主要進(jìn)一步將多元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)作一個(gè)對(duì)比學(xué)習(xí)研究 ,主要討論研究多元函數(shù)與一元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)存在（可導(dǎo)）、可微等基本關(guān)系,進(jìn)一步學(xué)習(xí)應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)的基本知識(shí)證明和解決問題的基本方法 .同時(shí),將進(jìn)一步學(xué)習(xí)應(yīng)用隱函數(shù)的基本理論研究多元函數(shù)取條件極值的充分條件 .通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和和解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力。重點(diǎn) ：多元函數(shù)與一元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)存在 （可導(dǎo) ）、可微、多元函數(shù)取條件極值的充分條件.難點(diǎn) ：多元函數(shù)與一元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)存在 （可導(dǎo) ）、可微、多元函數(shù)取條件極值的充分條件.第一節(jié)多元函數(shù)與一元函數(shù)的連續(xù) （1學(xué)時(shí)）1.深刻理解和掌握多元函數(shù)與一元函數(shù)的連續(xù)的概念、區(qū)別與聯(lián)系.能較熟練討論多元函數(shù)與一元函數(shù)連續(xù)的基本問題.第二節(jié)多元函數(shù)與一元函數(shù)的偏導(dǎo)存在（可導(dǎo)）與可微（1學(xué)時(shí)）.深刻理解和掌握多元函數(shù)與一元函數(shù)的偏導(dǎo)存在 （可導(dǎo) ）與可微的概念、區(qū)別與聯(lián)系.能較熟練討論多元函數(shù)與一元函數(shù)的偏導(dǎo)存在（可導(dǎo)）與可微的一些基本問題.第三節(jié)多元函數(shù)取條件極值的充分條件.深刻理解和掌握多元函數(shù)取條件極值的充分條件..能較熟練討論多元函數(shù)取條件極值的一些基本問題.第七章函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分 （4學(xué)時(shí)）總的要求:函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂與和函數(shù)的分析性質(zhì)是函數(shù)級(jí)數(shù)的最基本的問題,含參變量的無窮積分的一致收斂與積分函數(shù)的分析性質(zhì)是含參變量的無窮積分最基本的問題,函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分有密切的聯(lián)系.在此章中,主要進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂的判定及應(yīng)用函數(shù)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)證明問題的基本方法 ;進(jìn)一步學(xué)習(xí)含參變量的無窮積分的一致收斂的判定及應(yīng)用含參變量的無窮積分的積分函數(shù)的分析性質(zhì)證明問題的基本方法;進(jìn)一步將函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分作對(duì)比學(xué)習(xí)研究 .通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和和解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力.重點(diǎn) ：函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂和和函數(shù)的分析性質(zhì)、 含參變量的無窮積分的一致收斂和積分函數(shù)的分析性質(zhì)、函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分的關(guān)系 .難點(diǎn) ：函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂和和函數(shù)的分析性質(zhì)、 含參變量的無窮積分的一致收斂和積分函數(shù)的分析性質(zhì)、函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮積分的關(guān)系 .第一節(jié)函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂與和函數(shù)的分析性質(zhì)能熟練應(yīng)用函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的基本判別法等證明和解決基本問題。深刻理解和掌握函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的狄利克雷（Dirichelet）判別法、阿貝爾（Abel）判別法、狄尼（Dini）判別法能較熟練應(yīng)用函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的狄利克雷 （Dirichelet）判別法、阿貝爾（Abel）判別法、狄尼（Dini）判別法等證明和解決一些基本問題。能較熟練應(yīng)用無窮函數(shù)級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)證明和解決基本問題第二節(jié)含參變量無窮積分一致收斂與積分函數(shù)的分析性質(zhì)

能熟練應(yīng)用含參變量無窮積分一致收斂的基本判別法等證明和解決基本問題。深刻理解和掌握含參變量無窮積分的一致收斂的狄利克雷(Dirichelet)判別法、阿貝爾(Abel)判別法能較熟練應(yīng)用含參變量無窮積分的一致收斂的狄利克雷(Dirichelet)判別法、阿貝爾(Abel)判別法等證明和解決一些基本問題。能較熟練應(yīng)用含參變量無窮積分的分析性質(zhì)證明和解決基本問題第三節(jié) 無窮函數(shù)級(jí)數(shù)與含參變量無窮積分的比較學(xué)習(xí)研究能深刻理解和掌握函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂與含參變量的無窮積分的一致收斂的內(nèi)在聯(lián)系和內(nèi)涵,使兩者相通 .能深刻理解和掌握函數(shù)級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性與含參變量無窮積分積分函數(shù)的分析性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系和內(nèi)涵 ,使兩者相通 .第八章多元函數(shù)積分學(xué) (4學(xué)時(shí))總的要求:多元函數(shù)積分學(xué)主要包括二重積分與三重積分、第一型曲線積分 (平面和空間)與第二型曲線積分 (平面和空間)、第一型曲面積分與第二型曲面積分 .在此章中,主要進(jìn)一步學(xué)習(xí)計(jì)算二重積分與三重積分、第一型曲線積分 (平面和空間)與第二型曲線積分 (平面和空間)空間)、第一型曲面積分與第二型曲面積分基本技能力、抽象思維能力和和解決實(shí)際問題的能力重點(diǎn)：二重積分與三重積分、第一型曲線積分間)、第一型曲面積分與第二型曲面積分 .難點(diǎn)：二重積分與三重積分、第一型曲線積分間)、第一型曲面積分與第二型曲面積分 .第一節(jié) 二重積分與三重積分.深刻理解和掌握二重積分與三重積分的代換代換、廣義球坐標(biāo)代換 )..能熟練應(yīng)用二重積分與三重積分的代換(;.通過學(xué)習(xí),主要培養(yǎng)學(xué)生綜合計(jì)算能培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的初步能力.(平面和空間 )與第二型曲線積分 (平面和空(平面和空間 )與第二型曲線積分 (平面和空(一般代換、廣義極坐標(biāo)代換、廣義柱面坐標(biāo)廣義極坐標(biāo)代換、廣義柱面坐標(biāo)代換、廣義球面坐標(biāo)代換 )計(jì)算、證明和解決基本問題.能熟練地根據(jù)的被積函