教學(xué)設(shè)計(jì)：兩角和與差的正切

兩角和與差的正切函數(shù)三維目標(biāo)1.會(huì)由兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)兩角和與差的正切公式,能運(yùn)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)、求值及三角恒等證明.2.通過兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)及運(yùn)用,讓學(xué)生從中體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法,培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)觀察問題,通過學(xué)生的互相交流增強(qiáng)學(xué)生的合作能力,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式的理解,在公式變形美的熏陶下提高數(shù)學(xué)審美層次.重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn):兩角和與差的正切公式的靈活運(yùn)用,特別是逆用及變形用.教學(xué)方法

啟發(fā)引導(dǎo)式、講練結(jié)合法教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課1．回憶兩角和與差的余弦公式、正弦公式。2、通過前面的學(xué)習(xí),你能否求出tan75°的值？學(xué)生很容易轉(zhuǎn)化為30°、45°的正弦、余弦來求.教師進(jìn)一步提出:能否直接利用tan30°和tan45°來求出tan15°呢？由此展開新課二、推進(jìn)新課、新知探究活動(dòng)：回答上述問題，教師板書過程。提出問題（1）通過上述特殊角的正切值得推導(dǎo)，利用所學(xué)兩角和與差的公式,對(duì)比分析公式Cα-β、Cα+β、Sα-β、Sα+β,能否推導(dǎo)出tan(α-β)=?tan(α+β)=?（2）分析觀察公式Tα-β、Tα+β的結(jié)構(gòu)特征與正、余弦公式有什么不同？（3）前面兩角和與差的正、,余弦公式是恒等式,和與差的正切呢？活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生觀察思考前面我們推出的公式Cα-β、Cα+β、Sα+β、Sα-β,通過教師引導(dǎo)學(xué)生自然會(huì)想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化弦為切,通過除以cosαcosβ即可得到,在這一過程中學(xué)生很可能想不到討論cosαcosβ等于零的情況,這時(shí)教師不要直接提醒,讓學(xué)生通過觀察驗(yàn)證自己悟出來才有好效果.對(duì)cosαcosβ討論如下:

當(dāng)cos(α+β)≠0時(shí),tan(α+β)=.若cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0時(shí),分子分母同除以cosαcosβ,得tan(α+β)=.根據(jù)角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,則有tan(α-β)=.由此推得兩角和與差的正切公式,簡(jiǎn)記為“Tα-β、Tα+β”.tan(α+β)=;(Tα+β)tan(α-β)=.(Tα-β)我們把公式Tα+β,Tα-β分別稱作兩角和的正切公式與兩角差的正切公式問題：通過剛才的推導(dǎo)你能說出α、β、α±β滿足的范圍嗎？生：α≠+kπ(k∈Z),β≠+kπ(k∈Z),α±β≠+kπ(k∈Z),這樣才能保證tan(α±β)與tanα,tanβ都有意義.

教師應(yīng)留出一定的時(shí)間讓學(xué)生回味,反思探究過程,點(diǎn)明推導(dǎo)過程的關(guān)鍵是:tan(α+β)→sin(α+β),cos(α+β)→sinα、sinβ、cosα、cosβ→tanα、tanβ.教師說明：一定要掌握公式成立的條件、公式的形式及公式的作用三個(gè)方面:①公式成立的條件是什么?(提示學(xué)生從公式的形式和推導(dǎo)過程看)tanα、tanβ、tan(α±β)都有意義,且1±tanαtanβ≠0;②注意公式的形式:公式右邊分子是單角α、β正切的和與差,分母是1減(或加)單角α、β正切的積公式,右邊分子的符號(hào)與公式左邊的符號(hào)相同,公式右邊分母的符號(hào)與分子的符號(hào)相反;③公式的作用:將復(fù)角α±β的正切化為單角α、β的正切形式,用于角的變換.(基本關(guān)系式用于三角函數(shù)的變形)可用于三角函數(shù)的計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明.至此,我們學(xué)完了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,統(tǒng)一叫作三角函數(shù)的和差公式.一般地,我們把公式Sα+β,Cα+β,Tα+β都叫作和角公式,而把公式Sα-β,Cα-β,Tα-β都叫作差角公式.要讓學(xué)生明晰這六個(gè)公式的推導(dǎo)過程,清晰邏輯關(guān)系主線.可讓學(xué)生自己畫出這六個(gè)框圖,通過邏輯聯(lián)系圖：三、應(yīng)用示例例1求tan150的值。解略解略?；顒?dòng)說明：例1、例2主要是公式的正用與逆用，由學(xué)生回答。例3計(jì)算的值.活動(dòng):教材安排本例的目的是讓學(xué)生體會(huì)公式的逆用,難度不大,可由學(xué)生自己完成.對(duì)部分思路受阻的學(xué)生,教師點(diǎn)撥學(xué)生細(xì)心觀察題中式子的形式有何特點(diǎn),再對(duì)比公式右邊,馬上發(fā)現(xiàn)與Tα-β右邊形式相近,但需要進(jìn)行一定的變形,又因tan45°=1,原式化為,再逆用公式Tα-β即可解得.解:因?yàn)閠an45°=1,所以==tan(45°-15°)=tan30°=.已知tanα=2,tanβ=-,其中0＜α＜,＜β＜π.（1）求tan(α-β)；(2)求α+β的值.活動(dòng):本例是兩角和與差的正切公式的直接運(yùn)用,教師可讓學(xué)生獨(dú)立解決.(2)教師要提醒學(xué)生注意判斷角的范圍,這是解這類題目的關(guān)鍵步驟.讓學(xué)生養(yǎng)成良好的習(xí)慣:由三角函數(shù)值求角必先找出所求角的范圍.解:(1)因?yàn)橐阎猼anα=2,tanβ=-,所以tan(α-β)==7.(2)因?yàn)閠an(α+β)===1,又因?yàn)?＜α＜,＜β＜π,所以＜α+β＜.在與之間,只有的正切值等于1,所以α+β=.例5若tan(α+β)=,tan(β-)=,求tan(α+)的值.活動(dòng):本例是教材和與差角公式的最后一個(gè)例題,需要用到拆角技巧,對(duì)此學(xué)生是熟悉的.教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生自己探究解決,但要提醒學(xué)生在以后解題時(shí)注意挖掘題目中隱含著的某種特殊的關(guān)系,通過細(xì)微而敏銳的觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化等思維活動(dòng),以實(shí)現(xiàn)解題的突破.解:因?yàn)棣?=(α+β)-(β-),所以tan(α+)=tan［(α+β)-(β-)］=.點(diǎn)評(píng):本題是典型的變角問題,就是把所求角利用已知角來表示,具有一定的技巧,這就需要教師巧妙地引導(dǎo),讓學(xué)生親自動(dòng)手進(jìn)行角的變換,使之明白此類變角的技巧,從而培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力.四、知能訓(xùn)練課本練習(xí)1、2、3、4.課堂小結(jié)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)的是:推導(dǎo)了兩角和與差的正切公式;研究了公式成立的條件、公式的形式及公式的作用;學(xué)習(xí)了公式的應(yīng)用,通過公式的推導(dǎo),加強(qiáng)了對(duì)“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想方法的理解,掌握探究公式的方法,學(xué)會(huì)應(yīng)用公式的三種基本方式;通過例題我們對(duì)公式不僅要會(huì)正用,還要會(huì)逆用,有時(shí)還需要適當(dāng)變形后再用,這樣才能全面地掌握公式.作業(yè)1、課本習(xí)題2、補(bǔ)充：已知一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)的兩個(gè)根為tanα,tanβ,求tan(α+β)的值.解:由韋達(dá)定理,得tanα+tanβ=-,tanαtanβ=,∴tan(α+β)=.教學(xué)反思1.因?yàn)楸竟?jié)內(nèi)容是兩角和與差公式的最后一節(jié),所以本節(jié)教案的設(shè)計(jì)目的既是兩角和與差正弦余弦公式的繼續(xù),也注意了復(fù)習(xí)鞏固兩角和差公式.設(shè)計(jì)意圖在于深刻理解公式的內(nèi)在聯(lián)系,學(xué)會(huì)綜合利用公式解題的方法和技巧.因此本節(jié)課安排的幾個(gè)例子都是圍繞這個(gè)目標(biāo)設(shè)計(jì)的,它們的解題方法也充分體現(xiàn)了公式的靈活運(yùn)用.另外,通過補(bǔ)充的例題,教給學(xué)生正用、逆用、變形用公式的方法,培養(yǎng)了他們的逆向思維和靈活運(yùn)用公式的能力.2.對(duì)于本節(jié)課來說,我們應(yīng)該本著以學(xué)生為主體,教師為主導(dǎo)的原則,讓學(xué)生充