教學(xué)設(shè)計 完整版：拋物線的簡單幾何性質(zhì)

拋物線的簡單性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：1．掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質(zhì)；2．能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對拋物線方程進(jìn)行討論，在此基礎(chǔ)上列表、描點、畫拋物線圖形；3．在對拋物線幾何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化教學(xué)重點：拋物線的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用。教學(xué)難點：拋物線幾何性質(zhì)的運(yùn)用。教學(xué)過程：（一）、復(fù)習(xí)引入：1．拋物線定義：圖形方程焦點準(zhǔn)線平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線定點F叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：相同點：(1)拋物線都過原點；(2)對稱軸為坐標(biāo)軸；(3)準(zhǔn)線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關(guān)于原點對稱它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的，即不同點：(1)圖形關(guān)于X軸對稱時，X為一次項，Y為二次項，方程右端為、左端為；圖形關(guān)于Y軸對稱時，X為二次項，Y為一次項，方程右端為，左端為（2）開口方向在X軸（或Y軸）正向時，焦點在X軸（或Y軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在X軸（或Y軸）負(fù)向時，焦點在X軸（或Y軸）負(fù)半軸時，方程右端取負(fù)號（二）、講解新課：拋物線的幾何性質(zhì)1．范圍：因為p＞0，由方程可知，這條拋物線上的點M的坐標(biāo)(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．2．對稱性：以－y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．3．頂點：拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．在方程中，當(dāng)y=0時，x=0，因此拋物線的頂點就是坐標(biāo)原點．4.離心率拋物線上的點與焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義可知對于其它幾種形式的方程，列表如下：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點對稱軸焦點準(zhǔn)線離心率軸軸軸軸注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點到準(zhǔn)線的距離（三）、探析例題：例1求頂點在原點，通過點，且以坐標(biāo)軸為軸的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，已知燈的圓的直徑60cm，燈深為40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點位置．分析：這是拋物線的實際應(yīng)用題，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)題設(shè)條件，可確定拋物線上一點坐標(biāo)，從而求出p值．解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(即拋物線的頂點)與原點重合，x軸垂直于燈口直徑．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(p＞0)．由已知條件可得點A的坐標(biāo)是(40，30)，代入方程，得，即。所求的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為．例3過拋物線的焦點F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切．分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷．證明：如圖．設(shè)AB的中點為E，過A、E、B分別向準(zhǔn)線引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，則｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準(zhǔn)線相切．（四）、課堂練習(xí)：1．過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，如果，那么=（B）（A）10（B）8（C）6（D）42．已知為拋物線上一動點，為拋物線的焦點，定點，則的最小值為（B）（A）3（B）4（C）5（D）63．過拋物線的焦點作直線交拋物線于、兩點，若線段、的長分別是、，則=（C）（A）（B）（C）（D）4．過拋物線焦點的直線它交于、兩點，則弦的中點的軌跡方程是______(答案：)5.定長為的線段的端點、在拋物線上移動，求中點到軸距離的最小值，并求出此時中點的坐標(biāo)（答案：,M到軸距離的最小值為）（五）、小結(jié)：拋物線的離心率、焦點、頂點、對稱軸、準(zhǔn)線、中心等（六）、課后作業(yè)：1．根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并畫出草圖．（1）頂點在原點，對稱軸是x軸，頂點到焦點的距離等于8．（2）頂點在原點，焦點在y軸上，且過P（4，2）點．（3）頂點在原點，焦點在y軸上，其上點P（m，－3）到焦點距離為5．2．過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，若A、B在準(zhǔn)線上的射影是A2，B2，則∠A2FB2等于3．拋物線頂點在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長為16，求拋物線方程．4．以橢圓的右焦點，F(xiàn)為焦點，以坐標(biāo)原點為頂點作拋物線，求拋物線截橢圓在準(zhǔn)線所得的弦長．5．有一拋物