2019年河北高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

2019年河北高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)注意事項(xiàng)：認(rèn)真閱讀理解，結(jié)合歷年的真題，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，查找不足！重在審題，多思考，多理解！說(shuō)明：本試卷分為A卷和B卷：A卷由本試卷的22題組成，即10道選擇題，7道填空題、3道解答題和2道附加題；B卷由本試卷的前20題組成，即10道選擇題，7道填空題和3道解答題?！疽弧窟x擇題〔本大題共有10小題，每題只有一個(gè)正確答案，將正確答案的序號(hào)填入題干后的括號(hào)里，多項(xiàng)選擇、不選、錯(cuò)選均不得分，每題5分，共50分〕1.那么J1.那么J—sin2B—和1+sin20可化簡(jiǎn)為〔D〕A、2sin0B.—2sin0C.—2cos0D.2cos0解答：因?yàn)?兀3兀］，所以J1一sin20-Jl+sin20=cos0—sin0—cos0+sin0二2cos0。正確答案為D。2、如果復(fù)數(shù)(a+2i)(1+J的模為4那么實(shí)數(shù)a的值為〔C〕A.2B.2邁C.±2D.±2邁解答：由題意得?\；：藥+4=4na=±2。正確答案為C。那么p是q的〔B〕A.充分且必要條件B.充分非必要條件C.必要非充分條件D.非充分且非必要條件解答：P是q的充分非必要條件。正確答案為B。4.過(guò)橢圓x2的右焦點(diǎn)F作傾斜角為45弦AB，那么〔AB］為〔C〕~2+”—12°A.弐B.4/6C.每D.4/3丁〒丁〒解答：橢圓的右焦點(diǎn)為〔1,0〕，那么弦AB為y=x一1,代入橢圓方程得44近。正確答案為C。3x2—4x=0x=0,x=-3|AB|=\：2(x—x)2=3-5.函數(shù)f(x5.函數(shù)f(x)=1—5—x5x—1xn0，那么該函數(shù)為〔A〕x<0A.單調(diào)增加函數(shù)、奇函數(shù)B?單調(diào)遞減函數(shù)、偶函數(shù)C?單調(diào)增加函數(shù)、偶函數(shù)D?單調(diào)遞減函數(shù)、奇函數(shù)解答：由單調(diào)性和奇偶性定義知道函數(shù)為單調(diào)增加的奇函數(shù)。正確答案為A。6?設(shè)有一立體的三視圖如下，那么該立體體積為〔A〕正視圖側(cè)視圖俯視圖〔圓和正方形〕A?4+5兀B?4+3兀C?正視圖側(cè)視圖俯視圖〔圓和正方形〕A?4+5兀B?4+3兀C?4+兀D.4+兀解答：該幾何體是一個(gè)圓柱與一個(gè)長(zhǎng)方體的組成，其中重疊了一部分〔?！常栽搸缀误w的體積為兀5兀。2x2x1+3兀一=4+-222正確答案為A。7、某程序框圖如右圖所示，現(xiàn)將輸出〔x,y)值依次記為：(x,y),(x,y),,(x,y),;假設(shè)程序運(yùn)行中1122nn輸出的一個(gè)數(shù)組是(x,_i0),那么數(shù)組?中的x=〔B〕A、64B、32C、16D、8答案經(jīng)計(jì)算x=32。正確答案為B。&在平面區(qū)域《y)||xIV打yIV]｝上恒有ax-2by<2，那么動(dòng)點(diǎn)P(a,b)所形成平面區(qū)域的面積為〔A〕A.4B.8C.16D.32解答：平面區(qū)域紅,y)||xIV1,IyIV1｝的四個(gè)邊界點(diǎn)〔T，T〕，開(kāi)始N心2009?x=l7y=0,n=1踣朿〔一1,1〕，〔1,—1〕，〔1,1〕滿(mǎn)足ax-2byV2，即有a+2bV2,a—2bV2,—a—2bV2,—a+2bV2由此計(jì)算動(dòng)點(diǎn)P(a,b)所形成平面區(qū)域的面積為4。正確答案為Ao__90_。9.函數(shù)兀f(x)=sin(2x9.函數(shù)兀f(x)=sin(2x—)—m6在「上有兩個(gè)零點(diǎn)，那么m的取值范圍為〔C〕0,2(1JB14C.1JD.r1.1112丿2一2丿(2一A.解答：?jiǎn)栴}等價(jià)于函數(shù)f(x)=sin(2x)兀與直線(xiàn)y=m在「兀「上有兩個(gè)交點(diǎn),0,2所以m的取值范圍為「］\k，1J。正確答案為C。10ag[—1,1]，那么x2+(a-4)x+4—2a>0的解為〔C〕A.x>3或x<2B.x>2或x<1C.x>3或x<1D.1<x<3解答：不等式的左端看成a的一次函數(shù)，f(a)=(x—2)a+(x2—4x+4)由f(—1)=x2—5x+6>0,f(1)=x2—3x+2>0nx<1或x>3。正確答案為C?！径刻羁疹}〔本大題共有7小題,將正確答案填入題干后的橫線(xiàn)上,每空7分,共49分〕11?函數(shù)x廠(chǎng)的最小正周期為4兀____。f(x)=2sin2一J3cosx解答：最小正周期為4兀。12?等差數(shù)列｝前15項(xiàng)的和s=30，那么a+a+a=n151815的取值范圍為［1,3］。解答：由s=30na+7d=2，而a+a+a=3(a+7d)=6。1511的取值范圍為［1,3］。13?向量a二(1,sinO)，b二(cosO八廳)，0gr，那么解答：a-解答：a-b=\：(1—cos^O)2+(sin0—*3)2=±5—2(cosS—^'3sin0)5-4sin(中—O)'其取大值為3'取小值為1'取值如圍為［1‘引。14.直二棱柱abc—abc，底面AABC是正二角形，P，E分別為召召，cc上的11111動(dòng)點(diǎn)〔含端點(diǎn)〕D為BC邊上的中點(diǎn)，且PD丄PE。那么直線(xiàn)AP,PE的夾角為解答：因?yàn)槠矫鍭BC丄平面ByB，AD丄BC,所以AD丄平面BCCB，所以1111AD丄PE，又PE丄PD,PE丄平面APD，所以PE丄PD。即夾角為90。015、設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，那么/、4。max(x2+y2)=5x2+4y2=10x解答：5x2+4y2=10xn4y2=10x-5x2>0n0<x<24(x2+y2)=10x-x2=25-(5-x)2<25-32nx2+y2<416?馬路上有編號(hào)為1，2,3,…，2017的2017只路燈，為節(jié)約用電要求關(guān)閉其中的300只燈，但不能同時(shí)關(guān)閉相鄰兩只，也不能關(guān)閉兩端的路燈，那么滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方法共有___C300種?！灿媒M合數(shù)符號(hào)表示〕1710解答：?jiǎn)栴}等價(jià)于在1711只路燈中插入300只暗燈，所以共有C300種關(guān)燈方法。171017.設(shè)x,y,z為整數(shù)，且x+y+z=3,x3+y3+z3=3，那么x2+y2+z2=_3或57_。解答：將z=3-x一y代入x3+y3+z3=3得到8，因?yàn)閤,y都是整數(shù)，所以xy=3(x+y)—9+x+yx+x+y=1Jx+y=4Jx+y=2Jx+y=8xy=2，［xy=5，［xy=1，［xy=16前兩個(gè)方程組無(wú)解；后兩個(gè)方程組解得x=y=z=1;x=y=4,z=-5。所以x2+y2+z2=3或57?！救拷獯痤}〔本大題共3小題，每題17分，共計(jì)51分18?設(shè)a<2，求y=(x一2)|在［a,2］上的最大值和最小值。解答：當(dāng)x<0,y=-(x-1)2+1,當(dāng)x當(dāng)x>0,y=(x-1)2-1,5分由此可知y=0。10分max當(dāng)1<a<2,y=a2一2a；min當(dāng)1-J2<a<1,y=-1；min當(dāng)a<1-P2,y=-a2+2a。min

19.給定兩個(gè)數(shù)列{x}，{y}滿(mǎn)足x—y—1，x'nn00x———(n>1)n2+xn—1。證明對(duì)于任意的自然數(shù)n都存在自然數(shù)j，使得y—L—(n>1)nn1+2yn—1y_xnjn解答：由得到：12111為等比數(shù)列，首項(xiàng)為212111為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，—1+n+1—2(1+)n{—+1}xxxxxnn—1nn—1n所以11+1—2n+1nx—xn又由，n2n+1—1丄!_(y+1)2ny+1y+1—n—1nn1+2y

n—1_(y,+1

yn_15分)2n1+—_(1+yn丄)2yn_12n由2nnn22—11+_2nn22—1y0所以取j17所以取jn20?橢圓x2y2，過(guò)其左焦點(diǎn)F作一條直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)，B兩點(diǎn)，D(a,o)為F—+——11'15242右側(cè)一點(diǎn)，連AD、BD分別交橢圓左準(zhǔn)線(xiàn)于M,N。假設(shè)以MN為直徑的圓恰好過(guò)F，1求a的值。設(shè)A(x,y),B(x,y)1122解令件(_3,0),左準(zhǔn)線(xiàn)方程為x_—25設(shè)A(x,y),B(x,y)1122，由fy—k(x+3)n(16+25k2x2+150k2x+225k2—400—得<x2y2——^―_1〔2516150k2x150k2x+x——,xx1216+25k212_—鵲護(hù)ny1y2_k2(x1+3)(x2+3)_256k216+25k2設(shè)設(shè)2525M(—亍y，)，N(-〒y410分。由M、A、D共線(xiàn)(3a+25)y(3a+25)y。)y_1,同理y_33(a—x)43(a—x)12

11FM=(-16,y),FN=(-16,y)，由已知得FM丄FNnFM?FN=01331341111=-2569(a-x)(a-x)912(3a+25)=-2569(a-x)(a-x)912(3a+25)2yy二—,而yy二亠，即-?349349(a—x)(a—x)16+25k212整理得(1+k2)(16a2—400)=0na=±5,又a>-3,所以a=5。17分【四】附加題〔本大題共2小題，每題25分，共計(jì)50分〕21?在銳角三角形ABC中，兀，設(shè)在其內(nèi)部同時(shí)滿(mǎn)足PA<PB和pa<pc的ZA=—3點(diǎn)P的全體形成的區(qū)域G的面積為三角形ABC面積的］。證明三角形ABC為3等邊三角形。解答：做AABC的外接圓0，做OEA丄AB于E,OF丄AC于F,OM丄BC于M,那么G為四邊形AEOF3四邊形AEOF3AABC四邊形AEOFAAEOAAOFAAOBAAOC所以1。10分S=—SAOBC3AABC由已知ZBOC=120,貝0ZOBC=30,則OM二-R(R為AABC外接圓半徑)23作AD丄BC于D,貝UAD>AO+OM=—R2S>1X竺BC=3S'等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)A、0、M共線(xiàn)’即AABC為等邊三角形。AABC22AOBC2525分22?設(shè)a,b,ceR+，且囂'a+.b+Jc=3。求證:a+b+b+C+C+a>32+a+b2+b+c2+c+a2并指明等號(hào)成立的條件。證明：由柯西不等式工住>bi=1i(區(qū)a)2i~i=1?區(qū)bi得到i=110分〔1〕式右邊的分子—2(a+b+c)+2(Ja+bpc+b+-Jc+bJa+c