三次函數(shù)問題 練習(xí)題（解析版）

專題21三次函數(shù)問題一、單選題（2021?全國?高二課時練習(xí)）在同一坐標(biāo)系中作出三次函數(shù)+ 及其導(dǎo)函C.③④ D.①④【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系逐一判斷可得選項.【詳解】解：當(dāng)/區(qū)＞0時，X扉角是遞增的；當(dāng)，區(qū)＜0時，尸是遞減的.故可得，①②中函數(shù)圖象的增減趨勢與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間是吻合的；而③中導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不減少，故錯誤；④中導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不減少，故錯誤.所以不正確的是③④，故選：C.（2021?全國?高二課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)y=/"（x）是y=r（x）的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)/（力=加+加+cx+d（axO）的圖象都有對稱中心（%,/（%））,其中％滿足，*（與）=。，已知函數(shù)y(x)=2x3-3x2+9x-gy(x)=2x3-3x2+9x-g12022贏上寓++，箴）A.20212021C.2022D.40212【答案】B【分析】通過條件，先確定函數(shù)/（力圖象的對稱中心點，進(jìn)而根據(jù)對稱性求出函數(shù)值的和.【詳解】

7 ,、c ,、 1由八司=2/_3/+9*,可得/(力=6/-6》+9,f[x}=\2x-6,令/"(x)=]2x-6=0,得x=],又= -3x（；）+9xl-1=l,所以對稱中心為（生），所以卷卜"（瀛HUNpOlOAt(1012卷卜"（瀛HUNpOlOAt(1012]

【2022廠,12022)所以/薪卜??+，（卷）1010x1+122021~T~故選：B.3.（2021?全國?高一單元測試）已知三次函數(shù)/（幻=2/+3以2+汝+0*（。eceR）,且/（2020）=2020,,(2021)=2021,/(2022)=2022,貝|J/(2O23)=( )A.2023A.2023 B.2027C.2031 D.2035【答案】D【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g（x）=〃x）-x,根據(jù)g（2020）=g（2021）=g（2022）=?？梢灾纆（x）=2（x-2020）（x-2021）（x-2022）,進(jìn)而代值得到答案.【詳解】設(shè)g(x)=f(x)—x,貝i]g(2020)=g(2021)=g(2022)=0,所以g(x)=2(x-2020)(x-2021)(x—2022),所以g(2023)=2x3x2xl=12,所以“2023)=12+2023=2035.故選：D.（2021?湖南寧鄉(xiāng)?高三月考）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個三次多項式函數(shù)/。）=以3+法2+?*+4（040）的圖象都只有一個對稱中心點（/J（毛）），其中“是/"（x）=0的根，f'（x）是的導(dǎo)數(shù)，尸（X）是/'（X）的導(dǎo)數(shù).若函數(shù)/（xXd+a^+x+b圖象的對稱點為（-1,2）,且不等式，-皿，（1g+1）2[/（幻―/一3/+6卜對任意x?l,+oo）恒成立，則（ ）A.a=3 B.b=2C.加的值不可能是一e D.m的值可能是e【答案】A【分析】先根據(jù)對稱中心求解出“的值，再根據(jù)/(-1)=2求解出人的值，由此可求/(“的解析式；根據(jù)不等式恒成e 1 〃立，通過分離參數(shù)得到，借助不等式e*>x+l得到J-x-e-12-elnx+x+l,由此求解出Hl0 t-lnx+1機(jī)的范圍并判斷.【詳解】因為/'(x)=3f+2or+l,所以/"(x)=6x+2a,又因為(T,2)是的對稱中心，所以/(-1)=2。-6=0,所以“=3,故A正確；所以f(x)='+3x2+x+"所以/(T)=—l+3+(—l)+b=2,所以8=1,故B錯誤；所以/(刈=/+3/+*+1,因為e"-znx"(Inx+1)2[/(x)-x3-3/+e]X，對任意xe(1,e)恒成立，_ 1所以布4￡1二二對任意x?1，K0)恒成立，lnx+1令g(x)=e'-x-l(x>0),g'(x)=e'-l>0,所以g(x)在(。，的)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(O)=O,所以e、>x+l,所以4=r2=0叩‘卜'=0-""，+，2-0|門+工+1,取等號時》=0,TOC\o"1-5"\h\zC* 1Xlnx+l>0,所以U .-e\nx+x+\-x-\-e_-e\nx-e,取等號時x=e,lnx+l lnx+l lnx+l(e，八所以『inr+l— =一%所以“4一6,故CD均錯誤；I )min故選：A.(2021?江蘇金湖?高二期中)為響應(yīng)國家精準(zhǔn)扶貧政策，某工作組要在村外一湖岸邊修建一段道路(如圖中虛線處)，要求該道路與兩條直線道路平滑連接(注：兩直線道路：y=-2x,必=3x-6分別與該曲線相切于(0,0),(2,0),已知該彎曲路段為三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)解析式為( )A.f(x)=—x3—x?-2x B.f(x)=—x'4—x2—2,xTOC\o"1-5"\h\z9 3 4 21,1, 1,1,C.f(x)：=—x3+—x2—2x D./(x)=—x3+—x2—lx9 3 4 2【答案】B【分析】設(shè)/(x)=ox3+bx2+cx(aHO),由題知，f(x)在點(0,0),(2,0)處的切線方程分別為必=~2x,%=3x-6,可得f(0)=-2J⑵=3J(2)=0,可列出關(guān)于ab,c的方程組，解之即可【詳解】由于彎曲路段過點(0,0),所以設(shè)/(xXa^+bV+cxgwO),貝！1f(x)=30r2+2bx+c(a*0),因為f(x)在點(0,0),(2,0)處的切線方程分別為必=-2x,y2=3x-6,所以/(0)=-2J⑵=3,/(2)=0,所以c=-2,12a+40+c=3,8a+48+2c=0,解得a=；/=g,c=—2,所以f(x)=$3+gx2-2x,故選：B（2021?安徽?東至縣第二中學(xué)高二期中（理））如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點A的水平距離10千米處下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖象的一部分，則函數(shù)的解析式為（ ）

0-2:A地面跑道A,產(chǎn)券J125C 2 30-2:A地面跑道A,產(chǎn)券J125C 2 3 4B.y=——x——x“125 5331D.y= XH—X125 5【答案】C【分析】由題目圖像可知，該三次函數(shù)過原點,故可設(shè)該三次函數(shù)為y=f(x)=a^+bjc+cx,根據(jù)題意列出三個方程，f(—5)=2,/(5)=-2,/(5)=0,即可求解.【詳解】因為三次函數(shù)過原點，故可設(shè)該三次函數(shù)為y=/(x)=o?+hr2+cx,?ly'=f'(x)=3ax2+2bx+c,由題得：/(-5)=2,/(5)=-2,/'(5)=0一125a+25b-5c=2125a+25b+5c=—2,解得<75a+10b+c=01a= 12513b=°,所以丫=指"”故選：C.(2021?全國?高二課時練習(xí))已知三次函數(shù)4a=§父一(4小-1)4+(15/-2m—7)x+2在定義域R上無極值點，則m的取值范圍是( )A.m<2或m>4C.24m44D.C.24m44【答案】C【分析】求導(dǎo)函數(shù)，由題意得其導(dǎo)函數(shù)無變號零點，根據(jù)根的判別式可求得功的取值范圍.【詳解】f(x)=x2—2(4/n-l)x+15/n2-1m—l,由題意得導(dǎo)函數(shù)f(x)=V-2(4機(jī)-l)x+15加一2m-7無變號零點，所以％2—2（4m-1）工+15帆2—2帆-720恒成立，A—4（4"[-1）~—4（15〃z--2m—7j=64>—32m+4—60m2+所+28=4（*-6〃7+8）<0,解得2WmW4,故選：C.（2021?安徽?東至縣第二中學(xué)高二月考（理））人們在研究學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)：三次整式函數(shù)/“）都有對稱中心,其對稱中心為（%，/（%））（其中/”（砧=0）.已知函數(shù)〃%）=9一3/+4x+5.若TOC\o"1-5"\h\zf（m）=4,f（n）=10,則6+〃=（ ）3 一A.1 B.- C.2 D.32【答案】C【分析】先根據(jù)題意，求出對稱中心，再根據(jù)函數(shù)的對稱性，即可求解.【詳解】由題意得，f\x）=3x2-6x+4,f\x）=6x-6,^f\x）=0,解得：x=l,所以函數(shù)f（x）的對稱中心為：（L7）,又/（⑼+/（〃）=14,所以m+〃=2.故選：C（2021?江蘇無錫?高三期中）某數(shù)學(xué)興趣小組對形如/（x）=V+or2+bx+c的某三次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究，得出如下四個結(jié)論，其中有且只有一個是錯誤的，則錯誤的結(jié)論一定是（）A.函數(shù)〃x）的圖象過點（2,1）B.函數(shù)f（x）在x=0處有極值C.函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[0,2]D.函數(shù)/（幻的圖象關(guān)于點（1,0）對稱【答案】D【分析】首先假設(shè)4個選項都正確，依題意只有一個錯誤選項，判斷即可得解.【詳解】解：對于A選項，/（2）=8+4?+2Z?+c=l；對于B選項，f'（x）=3x2+2ax+b,f'（0）=b=0；對于c選項，由遞減區(qū)間可得/'（O）=b=O,r（2）=12+4a+b=0；對于D選項，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（1,0）對稱，則有〃2-x）+“x）=0,代入化簡得。=-3力=3,c=-l；當(dāng)c=5時，所以/。）=丁-3*2+5,所以〃2）=1,f'（x）=3x2-6x=3x（x-2）,所以函數(shù)在「？，0）和（2,+?）上單調(diào)遞增，在（0,2）上單調(diào)遞減，在x=0處取得極大值，此時ABC均正確，D錯誤.故選：D【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，若/（a+x）+/（b-x）=2c,則f（x）關(guān)于（巴言，成中心對稱；（2021?陜西省商丹高新學(xué)校高二月考（理））已知三次函數(shù)/1（x）=gx3-（4加-l）x2+（15/-2m-7）x+2在R上是增函數(shù)，則m的取值范圍是（）A.m<2或m>4B.-4<m<—2C.2<m<4 D.2<m<4【答案】D【解析】/'（x）=x2-2（4/n-l）x+15/n2-2/n-7,由題意得d-2（46-1）1+15，〃2一2/〃-720恒成立，.,.△=4（4加一1『一405〉一26-7）=64*-32m+4-60“+8m+28=4（m2-6m+8）<0,/.2<m<4,故選D.（2021?全國?高三月考（文））已知用，"，peR,若三次函數(shù)/（“=/+加^+心+口有三個零點3 1 1 1a,b,c,且滿足=/⑴<5,/（0）=/（2）>2,則%+]+]的取值范圍是（）【答案】D【分析】根據(jù)條件建立方程求出機(jī)，〃的值，然后回代，求出。的范圍，結(jié)合零點式求出。，b,c的等式關(guān)系，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】???"Th"%，/(。)=〃2)>2(-1+6—〃+p=1+加+〃+p [n+1=01〃=8+4/%+2〃+〃 '[2m+〃+4=0'f3m= q得 2,代入得/。)=/一]/一"+〃，0/(0)>2’ 3 3—1 i~l+p<—???< 2 〃2,解得2Vp<3,p>2設(shè)三次函數(shù)的零點式為fM=(x-a)(x-b)(x-c),比較系數(shù)得"+收'+ca=-l,abc=-p,111ab+be+ca1(11、故”十二「^-=片13引故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件求出參數(shù)〃J〃，利用函數(shù)零點式以及不等式的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.12.(2021-山西?大同一中高三月考(理))已知三次函數(shù)/(x)=a?+加2+cx+d(a<6)在R上單調(diào)遞增，則“："c最小值為( )b-aA2#+5 nx/6+5 八7+逐 n2s'+5A? d? C? L)? 2 3 2 3【答案】D【分析】由函數(shù)單調(diào)性可知/(“2。恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)可確定。2勺>0,由此化簡所求式子為3ab“J3；利用，=一>1,配湊出符合對號函數(shù)的形式，利用對號函數(shù)求得最小值.b a—1a【詳解】???/(x)在R上單調(diào)遞增，，r(x)=丸小+次+。20恒成立,3?！?△=3。〉0△=4從-12acV0/./?>a>0,b?W3ac,/.cN——>0

3a及?a-\-b-\ a+b+c3ab-ab-a1 2 11 2 1一廠+f+lg")=^——C.(口3收］D-T,T,7+3f+3J("l)2+5(…l)+7J(TOC\o"1-5"\h\zt-1~-3 ―31*y __ 7Qf>l,—1>0,/./—Ih >2>/7(當(dāng)且僅當(dāng)f—1=--,即，=1+ 時取等號),t—1 t—1/、、25/7+5nna+b+ca1 d2\/7+5g(/)2 ,即- 的最小值為 -'' 3 b-a 3故選：D.【點睛】本題考查利用對號函數(shù)求解最值的問題，涉及到根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)范圍、分式型函數(shù)最值的求解問題；關(guān)鍵是能夠通過二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定〃，仇，的關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)造出符合對號函數(shù)特點的函數(shù).(2021?山西臨汾?高三月考(理))已知三次函數(shù)=1+ 僅a>0)有兩個零點，若方程("。)]=。有四個實數(shù)根，則實數(shù)a的范圍為()【答案】c【分析】f'(x)=X2+2奴-3“2(a>0)一定有兩零點。與-3a,所以只需f(x)=a或/(x)=-3。共有四個根即可.結(jié)合"X)有兩個零點，所以必有/(。)=0或f(-3a)=0.然后分兩種情況結(jié)合函數(shù)圖象討論即可.【詳解】由f'M=x2+2ax-3a2(a>0),則f'M=0得x=a或一3a三次函數(shù)/(x)=y+ar2-3/x+b(a>0)有兩個零點，且程AfWi=0有四個實數(shù)根，所以只需f(x)=a或/(x)=-3a共有四個根即可,

所以j/(-3a)>0叫〃-3a)=(T又方程/'"*)]=0有四個實數(shù)根，則,f(x)=。或f(x)=-3a共有四個根.“X)在(-co,-3a),(4+oo)上單調(diào)遞增，在(-3a,a)單調(diào)遞減.當(dāng)〃a)=0時，b=-a\要滿足條件，作出函數(shù)的大致圖像.(如圖①)貝l]0<a<f(-3a),Bp-9a,+9a,+9a,+-a3>67,解得〃>逅.3 8當(dāng)/(-34)=0,得/,=_9/,要滿足條件，作出函數(shù)的大致圖像.(如圖②)貝3a<0,gp-a3+a3-3a3-9a3<-3a,解得°>辿.3 8綜上所述，當(dāng)a>當(dāng)時，方程/'"*)]=。有四個實數(shù)根.8故選：c【點睛】本題考查了利用圖象研究函數(shù)的零點問題，關(guān)鍵是對函數(shù)的單調(diào)性、極值情況等研究到位.本題還考查了學(xué)生應(yīng)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合及分類討論思想解題的能力.(2021?山西臨汾?高三月考(文))已知三次函數(shù)_/?*)=：+ar2-3/x(a>0)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),若方程/有四個實數(shù)根，則實數(shù)a的范圍為()【答案】A【分析】令/'(x)=0得工=-為或工=。，可得”力在(yo,-3a)上單調(diào)遞增，在(-3a,a)單調(diào)遞減，在(a,e)上單調(diào)遞增，算出/(x)的極值，又方程/'"(x)]=0有四個實數(shù)根可轉(zhuǎn)化為方程/(x)=-3a,或方程f(x)=a共有四個實數(shù)根，結(jié)合函數(shù)圖象列出。滿足的條件即可.【詳解】f(x)=x2+2ax-3a2=(x+3a)(x-a),.?.由/'(x)=0得x=_3a或x=a,又a>0,所以f(x)在(7,-34)上單調(diào)遞增，在(-%,〃)單調(diào)遞減，在(a,y)上單調(diào)遞增，???/(X)的極大值為f(-3a)=9a\f(x)的極小值為/(a)=-|a3;又"/(動=。有四個實數(shù)根，故方程〃x)=-3a,或方程〃x)=a共有四個實數(shù)根,解得:竽.故選：A【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸的思想.(2021?云南紅河?高三月考(理))下列關(guān)于三次函數(shù)/(x)=a?+bx2+cx+d(aH0)(xeR)敘述正確的是()①函數(shù)/")的圖象一定是中心對稱圖形;②函數(shù)"X)可能只有一個極值點；③當(dāng)天*-，時，f（x）在X=X0處的切線與函數(shù)y=/（x）的圖象有且僅有兩個交點；3a④當(dāng)士尸一4時，則過點（天,/（%））的切線可能有一條或者三條.A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【答案】A【分析】根據(jù)對稱中心的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解后判斷.【詳解】. b ①/'（X）=3or+2bx+c的對稱軸為X=--的軸對稱圖形，所以f（x）=ax+hx-+cx+d必定是中心對稱圖3a形，且對稱中心為（-卷，/（-4）］,所以①正確：（或者可用++ = 證明）②由于函數(shù)f（x）的圖象是中心對稱圖形，如果存在極大值，那么一定存在極小值，故②錯誤；③設(shè)切點為■，/5））,/（%）=宙+礴+/+4,斜率％=/'優(yōu)）=30片+2Z5+c,切線為y_/⑷=MX_/）,所以（ar3+辰2+ex+d）_（端+如:+ex。+d）n .I=（x-x0）（3ar^+2fex（1+c）,化簡得：（x-M）2（ar+2g,+3=0,「.x=x0或者x= —,所以當(dāng)%=-組此時，即％=-4?時，切線與f（x）有唯一的交點，當(dāng)與/-7時，切線與f（x）有兩個不同的交a 3a 5a點，所以③正確；④過點&,4不））的切線的切點不一定是優(yōu)，，■））,設(shè)切點為（小〃為）），則切線方程為y-/a）=/'a）（x-±）,因為&,/1））在切線上，所以〃不）一/（為）=/（%）（/一西）,將/（%）=海+犍+5+d,/（X1）=ar：+如2+K+d,f（X1）=3axf+2如+c代入= 化簡可得：&-%）2（叫+2"+b）=0, 或者X產(chǎn)-細(xì)產(chǎn)，所以當(dāng)％=一細(xì)蟲也時，即吃= 時，切線只有一條，當(dāng)與工-2時，切線有兩條，所以④錯誤；a 3a 3a故選：A【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的對稱性的關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題中難度較大.特別是求切線方程，計算難度很大，對學(xué)生的邏輯思維能力，運算求解能力要求較高，本題屬于困難題.3(2021?湖南?高三開學(xué)考試(理))三次函數(shù)/(x)=arJ5x2+2x+l的圖象在點(1J⑴)處的切線TOC\o"1-5"\h\z與x軸平行，則f(x)在區(qū)間(1,3)上的最小值是( )A8 C11 -11 -5A?二 B.— C.- D.3 6 3 3【答案】D【分析】由r(i)=o求出實數(shù)〃的值，然后利用導(dǎo)數(shù)能求出函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(1,3)上的最小值.【詳解】v/(x)=ar3--x2+2x+1, /r(x)=3ar—3x+2,i ?q由題意得了'(1)=3。-1=0,解得〃= .../(力=§/一］/+2%+1,/(力=￡-3工+2,令/，(x)=o,得冗=1或x=2?當(dāng)lvxv2時，/'(x)vO;當(dāng)2vxv3時，f\x)>0.Qa 5所以，函數(shù).v=/(x)在區(qū)間(L3)上的最小值為/(2)=3-釬22+2、2+1=§.故選：D.【點睛】本題考查利用切線與直線平行求參數(shù)，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查運算求解能力，屬于中等題.(2021?上海交大附中高一期末)如果一個函數(shù)y=/(x)的圖象是一個中心對稱圖形，關(guān)于點尸(內(nèi)〃)對稱,那么將y=/(x)的圖象向左平移m個單位再向下平移〃的單位后得到一個關(guān)于原點對稱的函數(shù)圖象.即函數(shù)y=/(x+m)-〃為奇函數(shù).那么下列命題中真命題的個數(shù)是()①二次函數(shù)尸渡+區(qū)+c(awO)的圖象肯定不是一個中心對稱圖形；②三次函數(shù))=/+瓜2+cx+d(axO)的圖象肯定是一個中心對稱圖形；③函數(shù)y=T。v+c(a>0且4H1)的圖象肯定是一個中心對稱圖形.A.0個 B,1個 C.2個 D.3個【答案】D【分析】

X,①根據(jù)二次函數(shù)的圖象特征直接判斷結(jié)果;X,②三次函數(shù)V=O?+云2+CX+d(a#0)向左平移in個單位，再向下平移n個單位后得到y(tǒng)=ar'+是奇函數(shù)，所以根據(jù)定義也可判斷三次函數(shù)是中心對稱；③/(-x)+/(x)=8+2c,根據(jù)對稱公式直接判斷對稱中心.【詳解】①二次函數(shù)y=ar2+6x+c(awO)一定是軸對稱圖形，不可能是中心對稱圖形，故正確;②三次函數(shù)y=ar'+加+3+4(。/0)向左平移，”個單位，再向下平移〃個單位后得到y(tǒng)=a(x+/n)3+/>(x+zn)-+c^x-\-rn)+d—n=加+(3am+b)x2+^3anr+2mh+c)x+a/n3+hm'+cm+d—n[3atn+b=O當(dāng)r， “八時，[am+bm+cm4-tz—n=0b 3 zfn=--,n=am+bm+cm+d3a此時函數(shù)y=ar'+，-(卜，平移后的函數(shù)是奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱,則函數(shù)y=a/+bx2+cx^d(。/0)也一定是中心對稱圖形，故正確;b③ =1~r+c(4>0且"1),14-a/(-x)+/(x)=Z?+2c,??J(x)關(guān)于點(o[+c)對稱，故正確.故選：D【點睛】本題考查不同類型函數(shù)的對稱問題，意在考查理解題意，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，本題的難點是②的判斷，需理解題意，根據(jù)平移后的函數(shù)是奇函數(shù)判斷.(2021?安徽安慶?高二期中(文))設(shè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+l的導(dǎo)函數(shù)為f(x)=3ax(x-2),若函數(shù)y=f(x)共有三個不同的零點，則a的取值范圍是( )A.(f￡](Dc-(1,+o0)D.(0,2)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式求出a,b,c的關(guān)系以及函數(shù)的解析式，求函數(shù)的極值，根據(jù)極值和零點的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】f(x)=ax3+bx2+cx+1的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=3ax2+2bx+c=3ax(x-2)=3ax2-6ax,「?2b=-6a,c=0,即b=-3a,c=0,貝ijf(x)=ax3-3ax2+],①若a>0,則由t'(x)=3ax(x-2)>0得x>2或xvO,由V(x)<0得0vxv2,則函數(shù)在x=0時取得極大值f(O)=l,在x=2時，函數(shù)取得極小值f(2)=8a-12a+l=l-4a,若函數(shù)y=f(x)共有三個不同的零點，則f(2)=l-4a<0,解得a>1.②若a<0,則由f(x)=3ax(x-2)<0得x>2或x<0,由V(x)>0得0<x<2,則函數(shù)在x=0時取得極小值f(O)=l,在x=2時，函數(shù)取得極大值f(2)=8a-12a+l=l-4a,則此時函數(shù)y=f(x)只有1個零點，不滿足條件.綜上a>g.故選:C.【點睛】本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.(2021?重慶一中高三月考(理))若三次函數(shù)/(xMor-+bW+cx+d(a^0)的圖象上存在相互平行且距離為d的兩條切線，則稱這兩條切線為一組“距離為”的友好切線組”.已知/(外=丁-3犬+1,則函數(shù)f(x)的圖象上“距離為4的友好切線組”有組？A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【分析】

設(shè)出切點，求導(dǎo)求得斜率，寫出切線方程，利用距離公式得到關(guān)于占的方程，解得共有3解，即可得到結(jié)論.【詳解】?.?/(力=丁一3爐+1,則/(x)=3/_6x,設(shè)兩切點分別為A(々,x「-3x；+l),B(x2,x23-3x22+1),若兩切線平行，則3爐一6x=f的兩根為X|, 且占+通=2,不妨設(shè)士>》2,過A的切線方程為y=（3x：-6xjx-3%/-ix:+,過B的切線方程為丫=（3*2?-6%）x-?,.兩條切線距離為d=|x2-xj?,.兩條切線距離為d=|x2-xj+兒22x(x2-3Jl+9(x：-2%)2(X|+X2)L化簡得（&-1）6=1+9［（菁-1）2-1『，令（占-1）2=〃,（〃20）,顯然U=1為一解,又“2-8u+10=0有兩個異于1的正根,,這樣的u有3解，而（苦-1）2=",（“NO）,xt>x2,且為+*2=2,即七與x?是一一對應(yīng)的,這樣的士,■有3組,故選D.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了新定義的理解與應(yīng)用，考查了運算能力及推理能力，屬于難題.（2021?河南信陽?高二期末（文））設(shè)JU）為實系數(shù)三次多項式函數(shù).已知五個方程式的相異實根個數(shù)如下表所述：/(x)-2=01/(x)+l=01/W-i=o3/(x)+2=01f(x)=O3關(guān)于/（X）的極小值〃，下列選項中正確的是A.?—A.?—2<av—1 B.\<a<2D.0<d<l【答案】C【分析】方程/5)-?=()的相異實根數(shù)可化為方程/*)=左的相異實根數(shù)，方程/(x)=K的相異實根數(shù)可化為函數(shù)y=/(x)與水平線y=Z兩圖形的交點數(shù)，則依據(jù)表格可畫出其圖象的大致形狀，從而判斷極小值的取值范圍.【詳解】方程f(x)-k=0的相異實根數(shù)可化為方程“X)=k的相異實根數(shù)，方程/(%)=k的相異實根數(shù)可化為函數(shù)y=/(%)與水平線y=k兩圖形的交點數(shù)，依題意可得量圖形的簡圖可以有以下兩種情況：(1)當(dāng)"X)的最高次項系數(shù)為正數(shù)時，(2)當(dāng)/(X)的最高次項系數(shù)為負(fù)數(shù)時，因為函數(shù)取極小值時對應(yīng)圖象上的點位于水平線y=。與y=-i之間，所以其縱坐標(biāo)。(即極小值)的范圍是故選C.【點睛】該題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題目.(2021.內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三期中(理))對于三次函數(shù)/(同=加+加+5+4(“/0),定義/”(X)是y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的導(dǎo)函數(shù)，經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)命題：“一定存在實數(shù)p，q，r,使得/(x)=a(x+#'+4(x+p)+r成立”為真，請你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題：①一定存在實數(shù)占，使得r(x)=0成立;②一定存在實數(shù)%=一五，使得/(々)=0成立;③若%=-2。，則/(X1)+/(毛)=-2r；④若存在實數(shù)如七，且￡＜七滿足：/'(力=0,則函數(shù)/(x)在上一定單調(diào)遞增，所有正確的序號是A.①② B.①③ C.②③ D.(2X3)【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式求出f'(x)和f"(x),令f"(x)=0,可判斷①，②，由三次函數(shù)/(x)=a(x+p)3+q(x+p)+r的對稱中心判斷③；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性判斷④；【詳解】/'(6=3加+次+。"'(》)=6^+?,因為"0,所以②正確，但①不一定正確.由已知命題得，函數(shù)f(x)關(guān)于點(-P/)中心對稱，所以③正確.若存在實數(shù)0匕，且滿足：/'(x)=0,則函數(shù)/(x)在上,七］上可以單調(diào)遞增，也可以單調(diào)遞減，所以④不正確.故選C.【點睛】本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查化簡計算能力，求函數(shù)的值以及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于難題.22.(2021?全國?一模(理))已知三次函數(shù)+〃，5(x)=a2x3+b^2+c2x+d(ata2*0),且〃x)有三個零點.若三次函數(shù)p(x)=3/(x)+g(x)和式x)=/(x)-g(x)均為R上的單調(diào)函數(shù)，且這兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)均有零點，則g(x)零點的個數(shù)為A.1個 B.2個 C.3個 D.2個或3個【答案】A【詳解】函數(shù)p(x)=3/(x)+g(x)和q(x)=/(x)-g(x)均為R上的單調(diào)函數(shù)，且這兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)均有零點,這兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)必為完全平方式設(shè)「'(、””他-峭-,q'(x)=m2(x-n2)'.?.〃力不單調(diào)，即/'(X)必有兩個不等零點叫也＜0g'(x)=；［p'(x)-%'(x)］=；［叫-3色(x-%)［犯與-3嗎同號，.iglx)不可能有兩個相異零點，g(x)單調(diào),???g(x)是三次函數(shù)必有零點,故g(x)有唯一零點故選A點睛：本題主要考查的知識點是函數(shù)的零點問題，首先審清題目的意思是本題關(guān)鍵，理解“為R上的單調(diào)數(shù)，且這兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)均有零點”，繼而給出了(X)有三個零點的情況，結(jié)合題目求出結(jié)果，本題有一定難度.(2021?全國溫州?高二期末)若三次函數(shù)/(x)=x3+fer2+cx+d有極值點小弓且/(演)=&，設(shè)g(x)是/*)的導(dǎo)函數(shù)，那么關(guān)于x的方程g(7(x))=0的不同實數(shù)根的個數(shù)為A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【詳解】由題意可得函數(shù)g(x)=3W+?x+c有兩個不同的實數(shù)根不超，其中M+人工：+CX[+d=x,,g(7(x))=。則：/(》)=內(nèi)或/")=七，據(jù)此分類討論：①若占<當(dāng)，當(dāng)/(x)=X|時，X=X|或X=X3,當(dāng)/(x)=&時，X=X4,此時共有三個不同的實數(shù)根為.②若為>&,當(dāng)/(司=為時，X=X|或X=X3,當(dāng)/(1)=超時，X=X4,此時共有三個不同的實數(shù)根占，%，七.②若為=工2,“X)沒有極值點，不合題意.綜上可得，方程g(/(x))=。的不同實數(shù)根的個數(shù)為3.本題選擇。選項.點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令4*=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a,加上是連續(xù)不斷的曲線，且da)?<b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.二、多選題(2021?江蘇省前黃高級中學(xué)高三月考)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個三次多項式函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a^0)的圖象都只有一個對稱中心點(%,/(%)),其中是/"(x)=0的根，f\x)是〃x)的導(dǎo)數(shù)，/"(x)是/'(x)的導(dǎo)數(shù).若函數(shù)/。)=/+加+》+方圖象的對稱點為(T2),且不等式e*-/nf(lnx+l)N[.f(x)-x3-3x2+e]x'對任意xw(l,+oo)恒成立，貝|J( )A.a=3 B.b=l C.用的值可能是一eD."?的值可能是-1e【答案】ABC【分析】求導(dǎo)得/〃(x)=6x+2a,故由題意得/"(T)=-6+2fi=0, —1)=一l+a-l+b=2,即a=3力=1,故〃》)=\+3小+*+1.進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為“<",一("1?),由于e，>x+l,故xZ、=eM『+、2x-elnx+l,lnx+1進(jìn)而得""一(""外'……,即機(jī)《一進(jìn)而得ABC滿足條件.lnx+1 lnx+1【詳解】由題意可得了(-1)=-1+。-1+6=2,因為/'(x)=3f+2ox+l,所以f"(x)=6x+2a,所以/"(T)=-6+為=0,解得。=3/=1,^/(x)=x,+3x2+x+1.因為x>l,所以，一小'(11+1)2"(》)一/一3/+6]￡等價于m4立二€*2.lnx+1設(shè)g(x)=e*-x-l(x>0),則g[x)=e*-1>0,從而g(x)在(0,田)上單調(diào)遞增.因為g(0)=0,所以g(x)>。，即e、>x+l,則》%*=6瓜**+*。-611+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=e時，等號成立)，.._^x~eex-(x+l+e)-elnx-e.. /從而 -> =-e,故m4-e.lnx+1lnx+1故選：ABC.【點睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得/(月=尸+3/+》+1,進(jìn)而將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為X-ePX—fr4-14-0\' "恒成立問題,再結(jié)合爐>x+l得.「e、=*廠、2x-elnx+l,進(jìn)而得，〃4—e.考查運算求lnx+1解能力與化歸轉(zhuǎn)化思想，是難題.（2021?全國?高二課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系內(nèi)，由A,B,C,O四點所確定的“N型函數(shù)”指的是三次函數(shù)/（同=加+云2+5+4。#0）,其圖象過A,。兩點，且f（x）的圖像在點A處的切線經(jīng)過點8,在點。處的切線經(jīng)過點C.若將由A（0,0）,8（1,4）,C（3,2）,。（4,0）四點所確定的“N型函數(shù)”記為y=/（x）,則下列選項正確的是（）A.曲線y=/（x）在點。處的切線方程為y=-2x+8/（x）=1x（x-4）（x-8）C.曲線y=/（x）關(guān)于點（4,。）對稱D.當(dāng)44x46時，/（x）＞0【答案】ABC【分析】A.根據(jù)函數(shù)在點。處的切線經(jīng)過點C,利用點斜式求解判斷；B.根據(jù)/（x）的圖象過點A（0,0）及￡＞（4,0）,設(shè)/（x）=x（x-4）（H+m）（其中左片0）,然后再利用了'（0）=4,r（4）=2求解判斷；C.由B得到f（x）+/（8—x）=0判斷；D.由B結(jié)合44x46,有x-420,x—8＜0判斷.【詳解】0—2因為直線C。的斜率為沁=-2,所以以＞的方程為y-0=-2（x-4）,即y=-2x+8,所以A正確.因為“X）的圖象過點4（0,0）及。（4,0）,所以“X）有兩個零點0,4,故可設(shè)〃力=》（》-4）3+,〃）（其中&H。），則/'（x）=H（x-4）+（Ax+/n）（2x-4）,由尸（0）=4,6（4）=2,得機(jī)=-i,k=J,所以O(shè)/（x）=：x（x-4）（x-8）,故B正確.O由選項B可知，/（x）+〃8t）=0,所以曲線y=/（x）關(guān)于點（4,0）對稱，故C正確.當(dāng)44x46時，有x—420,x-8＜0,所以/（x）40,故D不正確.故答案為：ABC.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運算求解能力，屬于中檔題.

三、雙空題(2021?重慶?高二期末)設(shè)y=/(x)是y=/'(x)的導(dǎo)函數(shù).某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)/(6=加+加+6+d(ax0)的圖象都有對稱中心(%,/5)),其中/滿足/"&)=0.(1)函數(shù)g(x)=；x3-/+3x+l的對稱中心為；S(2)現(xiàn)已知當(dāng)直線丘-y-k+l=0(ZwR)和/z(x)=a?+加+§的圖象交于A(5，x)、8(七,％)、C(x,,y3)(%,＜七＜七)三點時，〃(力的圖象在點A、點C處的切線總平行，則過點(6,4)可作〃(x)的 條切線.【答案】(1，5)2【分析】(1)解方程g'(x)=0求得x=I,求出g⑴的值，即可得出函數(shù)g(x)的對稱中心坐標(biāo)；(2)分析出函數(shù)〃(x)的對稱中心為(1,1),可得出關(guān)于實數(shù)〃、。的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，可得出函數(shù)〃(x)的解析式，設(shè)出切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，將點的坐標(biāo)代入切線方程，可得出關(guān)于X。的方程，解方程即可得出結(jié)論.【詳解】(1),.,g(x)=-x3-x2+3jc+l,貝叱(丫)=/_2丫+3,g"(x)=2x-2,由g"(x)=2x-2=0,可得x=l,且g⑴*,(2)人(6的圖象在點A、點C處的切線總平行,故函數(shù)g(x)故函數(shù)g(x)=gx3-V+3x+l的對稱中心為11,與所以，點A、C關(guān)于〃(力的對稱中心對稱，故點B為函數(shù)Mx)的對稱中心,又因為直線履-y-z+i=o(AeR)恒過定點(1,1),所以，函數(shù)6(x)的對稱中心為(1,1),即點8(1,1),5因為h{<x)=ax,+瓜2+—,貝ijh!^x)=3ax~+2bx, =6以+?,=a+i+—=1 a=— /、1&,5 ，.、 、所以，3 ,解得｛ 3,Bp/l(x)=-x5-x2+-,貝lj〃'(x)=d-2x.〃"⑴=6a+2h=0 b=—\所以，函數(shù)〃(x)在x=x(，處的切線方程為片+g)=(x：-2xO)(x-Xo),即y=(4一2工0)(尢一/)+§片一X；+-|,將點卜，；)代入切線方程得(4-2%)(-1-%)+累T+冷，整理得xj—m,即(x0+l)2&-2)=0,解得x°=-l或%=2.故過點(。，〃)的函數(shù)〃(x)的圖象的切線有2條.故答案為：(D[ly]；(2)2.四、填空題(2021?河南信陽?高二期末(理))經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個三次多項式函數(shù)/(》)=加+加+6+d("0)的圖象都只有一個對稱中心點(玉J(不))，其中.%是/"(x)=o的根，/'(x)是/(X)的導(dǎo)數(shù),f"(x)是f'(x)的導(dǎo)數(shù).若函數(shù)/(xbV+d+x+b圖象的對稱中心點為(-1,2),則。，b的值依次為.【答案】3,1【分析】求出了"(x)=6x+2a,根據(jù)題意可得廣(-1)=-6+為=。，求出《=3,再由/(-1)=2即可求解.【詳解】因為/(工)=丁+口2+x+0,所以r(x)=3f+2oi+l,所以/"(x)=6x+2a,又“X)的對稱中心為(T，2),所以尸(T)=-6+2a=。，解得〃=3,由f（T）=T+3-1+6=2,解得5=1.故答案為：3,1(2021?湖北十堰?高二期末)已知三次函數(shù)/(x)=#+#+5+d("好在R上單調(diào)遞增，則。+6+4c,.- 的最小值為 .b-a【答案】3+26

【分析】函數(shù)在在R上單調(diào)遞增，則導(dǎo)函數(shù)在在R上大于等于。恒成立，從而。>0,A=/?2-4ac<0,通過統(tǒng)一變量和換元即可構(gòu)造出所求函數(shù)，求導(dǎo)即可得到其最值.【詳解】ha由題意得/'(x)=ax2+fox+c20在R上恒成立，則a>0,A=62-4ac<0,ha所以"生竺

h-aa2+"+4ac>a2+ab所以"生竺

h-a i 2 夕 i 2

ah-a" ah—a設(shè)，=2>i,則a+'+4c》l+'+「ci h-at-\設(shè)g(x)=W^F(x>l),g[(X)=；；；)；2(X>]).由g'(x)=L 解得X=1+75(X>1),易得當(dāng)x=l+6(x>l)時，g(x)而n=3+2月.(XT)故*+4<：的最小值為3+2石.b-a故答案為：3+2力.(2021?江西?模擬預(yù)測(理))設(shè)三次函數(shù)/")=金+取2+5/，c為實數(shù))的導(dǎo)數(shù)為尸(x),設(shè)g(x)=/(x)-r(x),若y=g(x)在&上是增函數(shù)，則，—的最大值為.c+9【答案】罕2【分析】根據(jù)y=g(x)在火上是增函數(shù)轉(zhuǎn)化為g'SRO恒成立，根據(jù)二次不等式恒成立轉(zhuǎn)化為判別式awo,得到h2 3c-9 人\Vh-3換元后利用均值不等式求