線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法課件

第4章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)一階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析高階系統(tǒng)的時(shí)域分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算第4章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)14-1系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)1.典型輸入信號(hào)4-1系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)1.典型輸入信號(hào)22.動(dòng)態(tài)過(guò)程與穩(wěn)態(tài)過(guò)程1）動(dòng)態(tài)過(guò)程動(dòng)態(tài)過(guò)程又稱過(guò)渡過(guò)程或瞬態(tài)過(guò)程，指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。2）穩(wěn)態(tài)過(guò)程穩(wěn)態(tài)過(guò)程指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。2.動(dòng)態(tài)過(guò)程與穩(wěn)態(tài)過(guò)程1）動(dòng)態(tài)過(guò)程33.動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能1）動(dòng)態(tài)性能及其指標(biāo)描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)的作用下，動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間t變化狀況的指標(biāo)，稱為動(dòng)態(tài)指標(biāo)。動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)有五項(xiàng)，分別是：延遲時(shí)間td上升時(shí)間tr調(diào)節(jié)時(shí)間ts峰值時(shí)間tp超調(diào)量σ%3.動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能1）動(dòng)態(tài)性能及其指標(biāo)4（1）延遲時(shí)間td第一次達(dá)到50%h(∞)的時(shí)間（2）上升時(shí)間tr到達(dá)10%h(∞)-90%h(∞)所需時(shí)間（3）峰值時(shí)間tp超過(guò)h(∞)到達(dá)第一個(gè)峰值所需時(shí)間（4）調(diào)節(jié)時(shí)間ts到達(dá)并保持在終值5％誤差內(nèi)所需時(shí)間（1）延遲時(shí)間td第一次達(dá)到50%h(∞)的時(shí)間5（5）超調(diào)量σ%2）穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能用穩(wěn)態(tài)誤差描述。穩(wěn)態(tài)誤差是時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)系統(tǒng)實(shí)際輸出與理想輸出之間的誤差，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量

通常用tr或tp評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；用σ％評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度；而ts是同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)（5）超調(diào)量σ%2）穩(wěn)態(tài)性能通常用tr或tp評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速64-2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析1.一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4-2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析1.一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型72.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

設(shè)一階系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t),則響應(yīng)為：2.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)設(shè)一階系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位8一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具有下列兩個(gè)重要特點(diǎn)：（1）可用時(shí)間常數(shù)T度量系統(tǒng)輸出的數(shù)值；（2）響應(yīng)曲線的斜率初始值為1／T，并隨時(shí)間的推移而下降。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具有下列兩個(gè)重要特點(diǎn)：9一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為：由于時(shí)間常數(shù)T反映系統(tǒng)的慣性，所以一階系統(tǒng)的慣性越小，其響應(yīng)過(guò)程越快；反之，慣性越大，響應(yīng)越慢。

一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為：由于時(shí)間常數(shù)T反映系統(tǒng)的慣性，所以103.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)時(shí)，由于R(s)=1,所以系統(tǒng)輸出的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即3.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)時(shí)11由圖可見(jiàn)，一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)位移單調(diào)下降的指數(shù)曲線。若定義該曲線衰減到其初始值的5％所需的時(shí)間為脈沖響應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間，則仍有ts=3T。故系統(tǒng)的慣性越小，響應(yīng)過(guò)程越快。由圖可見(jiàn)，一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)位移單調(diào)下降的指數(shù)曲線。若定義該124.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡函數(shù)可視為單位階躍函數(shù)的積分，即那么，系統(tǒng)的輸出應(yīng)由積分的關(guān)系4.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡函數(shù)可視為單位階躍函數(shù)的積13由此曲線可知，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而增大，最后趨于常值T，慣性越小跟蹤的準(zhǔn)確度越高。在初始狀態(tài)下，輸出速度和輸入速度之間誤差最大。由此曲線可知，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而增大，最后145.一階系統(tǒng)的加速度響應(yīng)設(shè)加速度輸入函數(shù)為：則系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)為：系統(tǒng)的跟蹤誤差為：上式表明，跟蹤誤差隨時(shí)間的推移而增大，直至無(wú)限大。因此，一階系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)加速度輸入函數(shù)的跟蹤。

5.一階系統(tǒng)的加速度響應(yīng)設(shè)加速度輸入函數(shù)為：則系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)15一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)歸納與下表中一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)歸納與下表中16例4-1某溫度計(jì)插入溫度恒定的熱水中后，其顯示溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律為

實(shí)驗(yàn)測(cè)得當(dāng)t＝60s時(shí)，溫度計(jì)讀數(shù)達(dá)到實(shí)際水溫的95％。試確定該溫度計(jì)的傳遞函數(shù)例4-1某溫度計(jì)插入溫度恒定的熱水中后，其顯示溫度隨時(shí)間變17例4-2原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：現(xiàn)采用如下圖所示的負(fù)反饋形式，與將反饋系統(tǒng)的的調(diào)節(jié)時(shí)間減小為原來(lái)的0.1，并保證原放大倍數(shù)不變，試確定參數(shù)K0與K1的取值。答案：K1=0.9,K0=10例4-2原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：答案：K1=0.9,K0=10182-2二階系統(tǒng)的時(shí)域分析1.二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2-2二階系統(tǒng)的時(shí)域分析1.二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型19二階系統(tǒng)的特征方程為

其兩個(gè)特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）為二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)取決ξ和ωn這兩個(gè)參數(shù)

二階系統(tǒng)的特征方程為其兩個(gè)特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）為二階系統(tǒng)的時(shí)202.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)在單位階躍輸入信號(hào)作用下，輸出的拉氏變換為：系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應(yīng)，主要取決于ξ的大小，根據(jù)的ξ大小分5種情況討論2.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)在單位階躍輸入信號(hào)作用下，輸出的拉211)當(dāng)ξ＜0時(shí)，稱為負(fù)阻尼狀態(tài)，特征根的分布有兩種狀況

1)當(dāng)ξ＜0時(shí)，稱為負(fù)阻尼狀態(tài)，特征根的分布有兩種狀況22在此種情況下，單位階躍響應(yīng)為：由于ξ＜0，動(dòng)態(tài)過(guò)程為發(fā)散的正弦振蕩或單調(diào)的發(fā)散形式。從而表明ξ＜0的二階系統(tǒng)是不穩(wěn)定的在此種情況下，單位階躍響應(yīng)為：由于ξ＜0，動(dòng)態(tài)過(guò)程為發(fā)散的232)無(wú)阻尼狀態(tài)（ξ＝0）單位階躍響應(yīng)為：系統(tǒng)為等幅振蕩狀態(tài)，視為不穩(wěn)定狀態(tài)。2)無(wú)阻尼狀態(tài)（ξ＝0）單位階躍響應(yīng)為：系統(tǒng)為等幅振蕩狀態(tài)，243）欠阻尼狀態(tài)（0＜ξ＜1）特征根的分布如圖3）欠阻尼狀態(tài)（0＜ξ＜1）特征根的分布如圖25線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法課件264）臨界阻尼狀態(tài)（ξ＝1）

在臨界阻尼狀態(tài)下，特征方程的根是二重負(fù)實(shí)根。如圖。其輸出的拉氏變換為4）臨界阻尼狀態(tài)（ξ＝1）在臨界阻尼狀態(tài)下，特征方程275）過(guò)阻尼狀態(tài)（ξ＞1）令過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的極點(diǎn)為：

5）過(guò)阻尼狀態(tài)（ξ＞1）令過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的極點(diǎn)為：28過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)與一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)相似。是一無(wú)振蕩的單調(diào)上升曲線。其穩(wěn)態(tài)值為1過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)與一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)相似。是293.欠阻尼的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)1）延遲時(shí)間2）上升時(shí)間3）峰值時(shí)間4）調(diào)節(jié)時(shí)間

3.欠阻尼的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)1）延遲時(shí)間2）上升時(shí)間3）峰值時(shí)間305）超調(diào)量5）超調(diào)量314.過(guò)阻尼的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)在過(guò)阻尼的二階系統(tǒng)中，只有延遲時(shí)間、上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間，而沒(méi)有峰值時(shí)間和超調(diào)量1）延遲時(shí)間

2）上升時(shí)間3）調(diào)節(jié)時(shí)間4.過(guò)阻尼的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)在過(guò)阻尼的二階系統(tǒng)中，只有延323-3高階系統(tǒng)的時(shí)域分析在控制工程中，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)，即用高階微分方程描述的系統(tǒng)。對(duì)于不能用一、二階系統(tǒng)近似的高階系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，其動(dòng)態(tài)性能的確定是比較復(fù)雜的。工程上采用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)高階系統(tǒng)近似分析，從而得到高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)的估計(jì)公式。3-3高階系統(tǒng)的時(shí)域分析在控制工程中，幾乎所有的控制331.高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

對(duì)于單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)一般可表示為：1.高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)對(duì)于單輸入單輸出的線性定常系34線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法課件35對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，并設(shè)初始條件為零，可得高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，并設(shè)初始條件為零，可得高階系統(tǒng)的單位階36下面分析高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)1)高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，是由一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)相組成的2)如果閉環(huán)極點(diǎn)都在s平面左半平面，則隨著時(shí)間t趨于無(wú)窮大，指數(shù)項(xiàng)分量和阻尼指數(shù)項(xiàng)分量都將趨于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其穩(wěn)態(tài)分量c(∞)=a3)高階系統(tǒng)的各個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的影響程度是不同的。4)閉環(huán)零點(diǎn)影響時(shí)間響應(yīng)的形狀。下面分析高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)372.閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)

對(duì)于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)而言，其閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在s左半開(kāi)平面雖有各種分布模式，但就據(jù)虛軸的距離來(lái)說(shuō)，卻只有遠(yuǎn)近之別。如果在所有的閉環(huán)極點(diǎn)中，距虛軸最近的極點(diǎn)周圍沒(méi)有閉環(huán)零點(diǎn)，而其它閉環(huán)極點(diǎn)又遠(yuǎn)離虛軸，那么距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的相應(yīng)分量，隨時(shí)間推移衰減緩慢，無(wú)論從指數(shù)還是從系數(shù)來(lái)看，在系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過(guò)程中起主導(dǎo)作用，這樣的閉環(huán)極點(diǎn)就稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。2.閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)而言，其閉環(huán)極點(diǎn)和零38應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可導(dǎo)出高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似表達(dá)式設(shè)單位反饋高階系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，s1,2=-σ±jωd,0<ξ<1,則在單位階躍函數(shù)的作用下，系統(tǒng)輸出的拉氏變換的近似表達(dá)式為對(duì)上式取反拉氏變換，得高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似表達(dá)式應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可導(dǎo)出高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似表達(dá)393-5線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1.穩(wěn)定性的基本概念任何系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下都偏離原平衡位置，產(chǎn)生初始偏差。所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)原平衡位置的性能。單擺的的這種穩(wěn)定的概念，可以推廣于控制系統(tǒng)

3-5線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1.穩(wěn)定性的基本概念單擺的的這種穩(wěn)402.線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定義

1892年俄國(guó)數(shù)學(xué)家Lyapunov首先提出了穩(wěn)定性理論。根據(jù)他的理論，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可敘述如下：

若線性系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間推移逐漸衰減并趨于零（原平衡工作點(diǎn)），則稱系統(tǒng)逐漸穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動(dòng)效應(yīng)下，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件設(shè)線性系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，作用一個(gè)理想的單位脈沖函數(shù)δ(t),這是系統(tǒng)的輸出增量位脈沖響應(yīng)c(t)。那么系統(tǒng)穩(wěn)定的必要充分條件是：limc(t)=02.線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定義1892年俄國(guó)數(shù)學(xué)家Lyapun41設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式且設(shè)si(i=1,2,…,n)為特征方程D(s)=0的根，而且彼此不等。那么由于δ(t)的拉氏變換為1，所以系統(tǒng)輸出增量的拉氏變換為：設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式且設(shè)si(i=1,2,…42于是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為

上式表明，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的的特征根全部具有負(fù)實(shí)部時(shí)，才能使limc(t)=0成立；若特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上的正實(shí)部根，則limc(t)→∞,表明系統(tǒng)不穩(wěn)定。若特征根中具有一個(gè)或一個(gè)以上正零實(shí)部根，而其余的特征根均具有負(fù)實(shí)部，則脈沖響應(yīng)c(t)趨于常數(shù)，或趨于等幅正弦振蕩，按照穩(wěn)定性定義，此時(shí)系統(tǒng)不是漸進(jìn)穩(wěn)定的。順便使出，最后一種情況稱為臨界穩(wěn)定情況。于是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為上式表明，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的的特征根全部具43由此可見(jiàn)，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；或者說(shuō)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均嚴(yán)格位于左半s平面3.勞斯穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)穩(wěn)定性的充分必要條件判別線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要求出系統(tǒng)的全部特征根。對(duì)于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，并非易事。1877年勞斯提出了根據(jù)線性系統(tǒng)特征方程的系數(shù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)。稱為勞斯判據(jù)。設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要的條件是：在上列方程中，各項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)。這一條件是必要的，但不充分。

由此可見(jiàn)，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根44勞思表（勞斯陣列）勞思表（勞斯陣列）45勞思表（勞斯陣列）勞思表（勞斯陣列）46線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

勞思表中第一列各值為正。如果勞思表中第一列中出現(xiàn)負(fù)數(shù)，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列中各系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)，代表特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。例4-3設(shè)系統(tǒng)特征方程為試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件勞思表中第一列各值為474.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況

1）勞思表中某行的第一列為零，而其余各項(xiàng)不為零，或不全為零此時(shí)，計(jì)算勞思表下一行的第一個(gè)元素時(shí)，將出現(xiàn)無(wú)窮大，是勞斯穩(wěn)定判據(jù)的運(yùn)用失效。例如此時(shí)用一個(gè)很小的正數(shù)ε代替第一列的零元素參與計(jì)算，表格計(jì)算完成后再令ε→0。4.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況1）勞思表中某行的第一列為零，482）勞思表中出現(xiàn)全零行此時(shí)，可用上一行的元素構(gòu)造一個(gè)輔助方程F(s)=0,并對(duì)輔助方程求導(dǎo)得到新的方程，用新方程的系數(shù)代替該行的零元素繼續(xù)計(jì)算。2）勞思表中出現(xiàn)全零行此時(shí)，可用上一行的元素構(gòu)造一個(gè)輔助49由上述勞斯陣列的第一列可以看出，第一列中元素的符號(hào)全為正，說(shuō)明系統(tǒng)的特征方程沒(méi)有正實(shí)部的根。但是，由于行的元素全為零，則說(shuō)明在虛軸上有共軛虛根，該根可由輔助方程來(lái)求得由上述勞斯陣列的第一列可以看出，第一列中元素的符號(hào)全為正，說(shuō)505.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用例4-5設(shè)比例－積分（PI）控制系統(tǒng)如下圖所示。其中，K1為與積分器有關(guān)的的待定參數(shù)。已知參數(shù)ξ＝0.2及ωn＝86.6，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使閉環(huán)穩(wěn)定的K1取值范圍。如果要求閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部位于s=-1垂線之左，問(wèn)K1值范圍又應(yīng)該取多大？

5.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用例4-5設(shè)比例－積分（PI）控制系統(tǒng)513-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算

1.誤差與穩(wěn)態(tài)誤差1）誤差的定義①按輸入端定義的誤差，即把偏差定義為誤差

②按輸出端定義的誤差兩者之間的關(guān)系3-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算1.誤差與穩(wěn)態(tài)誤差1）522）穩(wěn)態(tài)誤差誤差本身是時(shí)間的函數(shù)，其時(shí)域表達(dá)式為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

2）穩(wěn)態(tài)誤差誤差本身是時(shí)間的函數(shù)，其時(shí)域表達(dá)式為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤532.計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法1）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性2）求誤差傳遞函數(shù)3）用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差2.計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法1）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性54例4-6控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示。已知r(t)=n(t)=t,求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。例4-6控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示。已知r(t)=n(t)=553.系統(tǒng)類型與穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)1）系統(tǒng)類型對(duì)于一個(gè)典型的閉環(huán)控制系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)一般可寫成時(shí)間常數(shù)乘積形式，即根據(jù)ν＝0，1，2，3等分別稱0型、Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ三型系統(tǒng)等

3.系統(tǒng)類型與穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)1）系統(tǒng)類型根據(jù)ν＝0，1，2，356為了便于討論,令為了便于討論,令572）誤差系數(shù)①單位階躍輸入若r(t)=R,則R(s)=R/s,可得到穩(wěn)態(tài)誤差為

那么各型系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為2）誤差系數(shù)①單位階躍輸入若r(t)=R,則R(s)=R/58②單位速度輸入那么各型系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為②單位速度輸入那么各型系統(tǒng)的靜59③單位加速度輸入那么各型系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為③單位加速度輸入那么各型系統(tǒng)的靜604.擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差非單位反饋系統(tǒng)響應(yīng)擾動(dòng)的輸出信號(hào)為4.擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差非單位反饋系統(tǒng)響應(yīng)擾動(dòng)的輸出信號(hào)為615.減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施1）增大系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益或擾動(dòng)作用點(diǎn)之前系統(tǒng)的前向通道的增益2）在系統(tǒng)的前向通道或主反饋通道設(shè)置串聯(lián)積分環(huán)節(jié)3）采用串級(jí)控制抑制內(nèi)回路擾動(dòng)5.減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施1）增大系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益或擾動(dòng)作用點(diǎn)62線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法課件63線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法課件64第4章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)一階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析高階系統(tǒng)的時(shí)域分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算第4章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)654-1系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)1.典型輸入信號(hào)4-1系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)1.典型輸入信號(hào)662.動(dòng)態(tài)過(guò)程與穩(wěn)態(tài)過(guò)程1）動(dòng)態(tài)過(guò)程動(dòng)態(tài)過(guò)程又稱過(guò)渡過(guò)程或瞬態(tài)過(guò)程，指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。2）穩(wěn)態(tài)過(guò)程穩(wěn)態(tài)過(guò)程指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。2.動(dòng)態(tài)過(guò)程與穩(wěn)態(tài)過(guò)程1）動(dòng)態(tài)過(guò)程673.動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能1）動(dòng)態(tài)性能及其指標(biāo)描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)的作用下，動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間t變化狀況的指標(biāo)，稱為動(dòng)態(tài)指標(biāo)。動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)有五項(xiàng)，分別是：延遲時(shí)間td上升時(shí)間tr調(diào)節(jié)時(shí)間ts峰值時(shí)間tp超調(diào)量σ%3.動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能1）動(dòng)態(tài)性能及其指標(biāo)68（1）延遲時(shí)間td第一次達(dá)到50%h(∞)的時(shí)間（2）上升時(shí)間tr到達(dá)10%h(∞)-90%h(∞)所需時(shí)間（3）峰值時(shí)間tp超過(guò)h(∞)到達(dá)第一個(gè)峰值所需時(shí)間（4）調(diào)節(jié)時(shí)間ts到達(dá)并保持在終值5％誤差內(nèi)所需時(shí)間（1）延遲時(shí)間td第一次達(dá)到50%h(∞)的時(shí)間69（5）超調(diào)量σ%2）穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能用穩(wěn)態(tài)誤差描述。穩(wěn)態(tài)誤差是時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)系統(tǒng)實(shí)際輸出與理想輸出之間的誤差，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量

通常用tr或tp評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；用σ％評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度；而ts是同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)（5）超調(diào)量σ%2）穩(wěn)態(tài)性能通常用tr或tp評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速704-2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析1.一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4-2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析1.一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型712.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

設(shè)一階系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t),則響應(yīng)為：2.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)設(shè)一階系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位72一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具有下列兩個(gè)重要特點(diǎn)：（1）可用時(shí)間常數(shù)T度量系統(tǒng)輸出的數(shù)值；（2）響應(yīng)曲線的斜率初始值為1／T，并隨時(shí)間的推移而下降。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具有下列兩個(gè)重要特點(diǎn)：73一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為：由于時(shí)間常數(shù)T反映系統(tǒng)的慣性，所以一階系統(tǒng)的慣性越小，其響應(yīng)過(guò)程越快；反之，慣性越大，響應(yīng)越慢。

一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為：由于時(shí)間常數(shù)T反映系統(tǒng)的慣性，所以743.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)時(shí)，由于R(s)=1,所以系統(tǒng)輸出的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即3.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)時(shí)75由圖可見(jiàn)，一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)位移單調(diào)下降的指數(shù)曲線。若定義該曲線衰減到其初始值的5％所需的時(shí)間為脈沖響應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間，則仍有ts=3T。故系統(tǒng)的慣性越小，響應(yīng)過(guò)程越快。由圖可見(jiàn)，一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)位移單調(diào)下降的指數(shù)曲線。若定義該764.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡函數(shù)可視為單位階躍函數(shù)的積分，即那么，系統(tǒng)的輸出應(yīng)由積分的關(guān)系4.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡函數(shù)可視為單位階躍函數(shù)的積77由此曲線可知，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而增大，最后趨于常值T，慣性越小跟蹤的準(zhǔn)確度越高。在初始狀態(tài)下，輸出速度和輸入速度之間誤差最大。由此曲線可知，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而增大，最后785.一階系統(tǒng)的加速度響應(yīng)設(shè)加速度輸入函數(shù)為：則系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)為：系統(tǒng)的跟蹤誤差為：上式表明，跟蹤誤差隨時(shí)間的推移而增大，直至無(wú)限大。因此，一階系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)加速度輸入函數(shù)的跟蹤。

5.一階系統(tǒng)的加速度響應(yīng)設(shè)加速度輸入函數(shù)為：則系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)79一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)歸納與下表中一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)歸納與下表中80例4-1某溫度計(jì)插入溫度恒定的熱水中后，其顯示溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律為

實(shí)驗(yàn)測(cè)得當(dāng)t＝60s時(shí)，溫度計(jì)讀數(shù)達(dá)到實(shí)際水溫的95％。試確定該溫度計(jì)的傳遞函數(shù)例4-1某溫度計(jì)插入溫度恒定的熱水中后，其顯示溫度隨時(shí)間變81例4-2原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：現(xiàn)采用如下圖所示的負(fù)反饋形式，與將反饋系統(tǒng)的的調(diào)節(jié)時(shí)間減小為原來(lái)的0.1，并保證原放大倍數(shù)不變，試確定參數(shù)K0與K1的取值。答案：K1=0.9,K0=10例4-2原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：答案：K1=0.9,K0=10822-2二階系統(tǒng)的時(shí)域分析1.二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2-2二階系統(tǒng)的時(shí)域分析1.二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型83二階系統(tǒng)的特征方程為

其兩個(gè)特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）為二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)取決ξ和ωn這兩個(gè)參數(shù)

二階系統(tǒng)的特征方程為其兩個(gè)特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）為二階系統(tǒng)的時(shí)842.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)在單位階躍輸入信號(hào)作用下，輸出的拉氏變換為：系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應(yīng)，主要取決于ξ的大小，根據(jù)的ξ大小分5種情況討論2.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)在單位階躍輸入信號(hào)作用下，輸出的拉851)當(dāng)ξ＜0時(shí)，稱為負(fù)阻尼狀態(tài)，特征根的分布有兩種狀況

1)當(dāng)ξ＜0時(shí)，稱為負(fù)阻尼狀態(tài)，特征根的分布有兩種狀況86在此種情況下，單位階躍響應(yīng)為：由于ξ＜0，動(dòng)態(tài)過(guò)程為發(fā)散的正弦振蕩或單調(diào)的發(fā)散形式。從而表明ξ＜0的二階系統(tǒng)是不穩(wěn)定的在此種情況下，單位階躍響應(yīng)為：由于ξ＜0，動(dòng)態(tài)過(guò)程為發(fā)散的872)無(wú)阻尼狀態(tài)（ξ＝0）單位階躍響應(yīng)為：系統(tǒng)為等幅振蕩狀態(tài)，視為不穩(wěn)定狀態(tài)。2)無(wú)阻尼狀態(tài)（ξ＝0）單位階躍響應(yīng)為：系統(tǒng)為等幅振蕩狀態(tài)，883）欠阻尼狀態(tài)（0＜ξ＜1）特征根的分布如圖3）欠阻尼狀態(tài)（0＜ξ＜1）特征根的分布如圖89線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法課件904）臨界阻尼狀態(tài)（ξ＝1）

在臨界阻尼狀態(tài)下，特征方程的根是二重負(fù)實(shí)根。如圖。其輸出的拉氏變換為4）臨界阻尼狀態(tài)（ξ＝1）在臨界阻尼狀態(tài)下，特征方程915）過(guò)阻尼狀態(tài)（ξ＞1）令過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的極點(diǎn)為：

5）過(guò)阻尼狀態(tài)（ξ＞1）令過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的極點(diǎn)為：92過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)與一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)相似。是一無(wú)振蕩的單調(diào)上升曲線。其穩(wěn)態(tài)值為1過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)與一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)相似。是933.欠阻尼的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)1）延遲時(shí)間2）上升時(shí)間3）峰值時(shí)間4）調(diào)節(jié)時(shí)間

3.欠阻尼的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)1）延遲時(shí)間2）上升時(shí)間3）峰值時(shí)間945）超調(diào)量5）超調(diào)量954.過(guò)阻尼的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)在過(guò)阻尼的二階系統(tǒng)中，只有延遲時(shí)間、上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間，而沒(méi)有峰值時(shí)間和超調(diào)量1）延遲時(shí)間

2）上升時(shí)間3）調(diào)節(jié)時(shí)間4.過(guò)阻尼的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)在過(guò)阻尼的二階系統(tǒng)中，只有延963-3高階系統(tǒng)的時(shí)域分析在控制工程中，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)，即用高階微分方程描述的系統(tǒng)。對(duì)于不能用一、二階系統(tǒng)近似的高階系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，其動(dòng)態(tài)性能的確定是比較復(fù)雜的。工程上采用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)高階系統(tǒng)近似分析，從而得到高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)的估計(jì)公式。3-3高階系統(tǒng)的時(shí)域分析在控制工程中，幾乎所有的控制971.高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

對(duì)于單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)一般可表示為：1.高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)對(duì)于單輸入單輸出的線性定常系98線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法課件99對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，并設(shè)初始條件為零，可得高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，并設(shè)初始條件為零，可得高階系統(tǒng)的單位階100下面分析高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)1)高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，是由一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)相組成的2)如果閉環(huán)極點(diǎn)都在s平面左半平面，則隨著時(shí)間t趨于無(wú)窮大，指數(shù)項(xiàng)分量和阻尼指數(shù)項(xiàng)分量都將趨于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其穩(wěn)態(tài)分量c(∞)=a3)高階系統(tǒng)的各個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的影響程度是不同的。4)閉環(huán)零點(diǎn)影響時(shí)間響應(yīng)的形狀。下面分析高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)1012.閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)

對(duì)于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)而言，其閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在s左半開(kāi)平面雖有各種分布模式，但就據(jù)虛軸的距離來(lái)說(shuō)，卻只有遠(yuǎn)近之別。如果在所有的閉環(huán)極點(diǎn)中，距虛軸最近的極點(diǎn)周圍沒(méi)有閉環(huán)零點(diǎn)，而其它閉環(huán)極點(diǎn)又遠(yuǎn)離虛軸，那么距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的相應(yīng)分量，隨時(shí)間推移衰減緩慢，無(wú)論從指數(shù)還是從系數(shù)來(lái)看，在系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過(guò)程中起主導(dǎo)作用，這樣的閉環(huán)極點(diǎn)就稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。2.閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)而言，其閉環(huán)極點(diǎn)和零102應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可導(dǎo)出高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似表達(dá)式設(shè)單位反饋高階系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，s1,2=-σ±jωd,0<ξ<1,則在單位階躍函數(shù)的作用下，系統(tǒng)輸出的拉氏變換的近似表達(dá)式為對(duì)上式取反拉氏變換，得高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似表達(dá)式應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可導(dǎo)出高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似表達(dá)1033-5線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1.穩(wěn)定性的基本概念任何系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下都偏離原平衡位置，產(chǎn)生初始偏差。所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)原平衡位置的性能。單擺的的這種穩(wěn)定的概念，可以推廣于控制系統(tǒng)

3-5線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1.穩(wěn)定性的基本概念單擺的的這種穩(wěn)1042.線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定義

1892年俄國(guó)數(shù)學(xué)家Lyapunov首先提出了穩(wěn)定性理論。根據(jù)他的理論，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可敘述如下：

若線性系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間推移逐漸衰減并趨于零（原平衡工作點(diǎn)），則稱系統(tǒng)逐漸穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動(dòng)效應(yīng)下，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件設(shè)線性系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，作用一個(gè)理想的單位脈沖函數(shù)δ(t),這是系統(tǒng)的輸出增量位脈沖響應(yīng)c(t)。那么系統(tǒng)穩(wěn)定的必要充分條件是：limc(t)=02.線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定義1892年俄國(guó)數(shù)學(xué)家Lyapun105設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式且設(shè)si(i=1,2,…,n)為特征方程D(s)=0的根，而且彼此不等。那么由于δ(t)的拉氏變換為1，所以系統(tǒng)輸出增量的拉氏變換為：設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式且設(shè)si(i=1,2,…106于是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為

上式表明，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的的特征根全部具有負(fù)實(shí)部時(shí)，才能使limc(t)=0成立；若特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上的正實(shí)部根，則limc(t)→∞,表明系統(tǒng)不穩(wěn)定。若特征根中具有一個(gè)或一個(gè)以上正零實(shí)部根，而其余的特征根均具有負(fù)實(shí)部，則脈沖響應(yīng)c(t)趨于常數(shù)，或趨于等幅正弦振蕩，按照穩(wěn)定性定義，此時(shí)系統(tǒng)不是漸進(jìn)穩(wěn)定的。順便使出，最后一種情況稱為臨界穩(wěn)定情況。于是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為上式表明，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的的特征根全部具107由此可見(jiàn)，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；或者說(shuō)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均嚴(yán)格位于左半s平面3.勞斯穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)穩(wěn)定性的充分必要條件判別線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要求出系統(tǒng)的全部特征根。對(duì)于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，并非易事。1877年勞斯提出了根據(jù)線性系統(tǒng)特征方程的系數(shù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)。稱為勞斯判據(jù)。設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要的條件是：在上列方程中，各項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)。這一條件是必要的，但不充分。

由此可見(jiàn)，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根108勞思表（勞斯陣列）勞思表（勞斯陣列）109勞思表（勞斯陣列）勞思表（勞斯陣列）110線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

勞思表中第一列各值為正。如果勞思表中第一列中出現(xiàn)負(fù)數(shù)，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列中各系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)，代表特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。例4-3設(shè)系統(tǒng)特征方程為試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件勞思表中第一列各值為1114.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況

1）勞思表中某行的第一列為零，而其余各項(xiàng)不為零，或不全為零此時(shí)，計(jì)算勞思表下一行的第一個(gè)元素時(shí)，將出現(xiàn)無(wú)窮大，是勞斯穩(wěn)定判據(jù)的運(yùn)用失效。例如此時(shí)用一個(gè)很小的正數(shù)ε代替第一列的零元素參與計(jì)算，表格計(jì)算完成后再令ε→0。4.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況1）勞思表中某行的第一列為零，