高中數(shù)學(xué)第三章3.3基本不等式不等式的八種變式及應(yīng)用素材_第1頁
高中數(shù)學(xué)第三章3.3基本不等式不等式的八種變式及應(yīng)用素材_第2頁
高中數(shù)學(xué)第三章3.3基本不等式不等式的八種變式及應(yīng)用素材_第3頁
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文檔簡介

不式a2ab

的種式應(yīng)不等式a

2

2

是重要的基本不等式之一于及它各種變式的掌握與熟練運用是求解很多與不等式有關(guān)問題的重要方法，這里介紹它的八種變式及應(yīng)用變1

ab

2

（且當(dāng)

ab

時等成）例1、若,c

，且

a2

，求證：

a33證明：由

13

1aa得32

同理：

b

3bc，3c2因此

3b

3b3c6222由于三個不等式中的等號不能同時成立，故

33c變2

(

a2

)

（且當(dāng)ab，等號立例2、若常數(shù)0，于任意非負實數(shù)b都有a

2

2

kab(a)

2

恒成立，求最大的常數(shù)；解：（）k2時，22ab(a)0（ii）當(dāng)時，

2

當(dāng)且僅當(dāng)

ab

時等號成立。

2

2

kaba)

2

(2)a

a)2()24

當(dāng)且僅當(dāng)b時號成立由（i）（ii）知：(02)4變3

a

a22)

（且當(dāng)ab時，號立例3、設(shè)

32

，求證：

2xx15x證明：由變式3得

2x15

x2x24xx)214x2上述第一個不等式中等號成立的條件為：

2x

18[52

故原不等式成立。變4若b，

ab

2

（且當(dāng)b時等成）

a1abb（且當(dāng)時，號立例4、設(shè),c

，求證：

c

c

b證明：由變式4得

，

c

2b

c

，

c

c三式相加即得：

c

ca

可變5若

R

則

14aa

（且當(dāng)

時等成）例5、設(shè),

為非負實數(shù)，且

3

，求證：

111a12證明：由于

1411))(1)故

3841131a12變6若ab，

111)a2ab

（且當(dāng)時，號立例6、當(dāng)

0a

時，不等式

2(a)2

恒成立，求最大值解：由

1414()x()22x(x)2x()上述三個不等式中等號均在同一時刻

x

時成立由

8a2

2變7若

mnR,bR

，

b2(m

2

（且當(dāng)

an

時號立例7、實數(shù)b滿

((2，的大值與最小值3

bb4bb4解：由變式7得

(4)2(2(a7)4

2因此

14即14當(dāng)且僅當(dāng)3(ab別獲得最小值與最大值；

14314再合條件得及1414

時分變8)2a22

，(a)22)

，…，般

(12

)n

2

(21

22

nn

)例8、已知a,b,d,e

是滿足

a

且

2

2

2

2

2

的實數(shù)，試求e的大值解：由

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