2020北京市豐臺(tái)區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題及答案

豐臺(tái)區(qū)高三數(shù)學(xué)一模考試試題豐臺(tái)區(qū)高三數(shù)學(xué)一?？荚囋囶}第頁/共11頁2020北京市豐臺(tái)區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題及答案第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)若集合A={xeZ1—1<x<2},B={x|x2-2x=0}，則AUB=A){0}BA){0}B){0，1}C){0，1，2}D){—1，0，1，2}2.已知向量a=(x,2),b=(—2,1)，滿足allb，則x=(A)(A)1(B)—1(C)43.若復(fù)數(shù)z滿足Z=i，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于1+i(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限D(zhuǎn))—4(D)第四象限4.圓(x—1)2+y2=2的圓心到直線x+y+1=0的距離為(A)2已知(A)2已知a=23，b=32，(A)a〉b〉c“a〉1”是“1<1”aB)c=log3j，則(B)a〉c〉b成立的C)1(D)2C)b〉a〉c(D)b〉c〉a(A(A)充分而不必要條件(C)充分必要條件(B)必要而不充分條件(D)既不充分也不必要條件7.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的四個(gè)面中，面積等于弋'3的有(A)17.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的四個(gè)面中，面積等于弋'3的有(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)心3^左視圖俯視圖8.過拋物線C：y2=2px(p〉0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線與拋物線C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B(點(diǎn)A(點(diǎn)A在x軸上方)，則的值為A)B)CA)B)C)D)3n9.將函數(shù)f(x)=sin?x(?>0)的圖象向左平移一個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，且g(0)=1,下列說2法錯(cuò)．誤．的是g(x)為偶函數(shù)g(-)=02n當(dāng)o=5時(shí)，g(x)在［0,—］上有3個(gè)零點(diǎn)2n若g(x)在［0，寸］上單調(diào)遞減，則o的最大值為9一「ex-1,x>0,一一一一10.已知函數(shù)f(x)=若存在非零實(shí)數(shù)x，使得f(-x)=f(x)成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是TOC\o"1-5"\h\z［kx,x<0.000(A)(―①―1)(B)(―卩―1］(C)(—1,0)(D)［—1,0)第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11?設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，a=2n—1，則S=.nnn5112?若x>1,則函數(shù)f(x)=x+的最小值為，此時(shí)x=.x一113?已知平面a和三條不同的直線m，n，l.給出下列六個(gè)論斷：①m丄a；②m"a:③m"l；④n丄a；⑤n"a；⑥n"l.以其中兩個(gè)論斷作為條件，使得m"n成立.這兩個(gè)論斷可以是.(填上你認(rèn)為正確的一組序號(hào))14．如果對(duì)某對(duì)象連續(xù)實(shí)施兩次變換后的結(jié)果就是變換前的對(duì)象，那么我們稱這種變換為“回歸”變換.如：對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)，變換：取其相反數(shù).因?yàn)橄喾磾?shù)的相反數(shù)是它本身，所以變換“取實(shí)數(shù)的相反數(shù)”是一種“回歸”變換.有下列3種變換：對(duì)A匸R，變換：求集合A的補(bǔ)集；對(duì)任意zeC，變換：求z的共軛復(fù)數(shù)；對(duì)任意xeR，變換：xTkx+b(k，b均為非零實(shí)數(shù)).其中是“回歸”變換的是.注：本題給出的結(jié)論中，有多個(gè)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，不選或有錯(cuò)選得0分，其他得3分.15.已知雙曲線M：x2—罟=1的漸近線是邊長為1的菱形OABC的邊OA,OC所在直線.若橢圓

N：：+竺=1(a〉b〉0)經(jīng)過A,C兩點(diǎn)，且點(diǎn)B是橢圓N的一個(gè)焦點(diǎn)，則a二a2b2三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.(本小題共14分)n在厶ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知c二4,A二一.3當(dāng)b二2時(shí)，求a；求sinB3cosC的取值范圍.17.(本小題共14分)如圖，在四棱錐M—ABCD中，ABHCD,ZADC=ZBMC=90°,MB二MC,AD=DC=-AB2，平面BCM丄平面ABCD.2求證：CDII平面ABM；求證：AC丄平面BCM；n(III)在棱AM上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BC-M的大小為4?AE若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.AM18.(本小題共14分)在抗擊新冠肺炎疫情期間，很多人積極參與了疫情防控的志愿者活動(dòng).各社區(qū)志愿者服務(wù)類型有：現(xiàn)場值班值守，社區(qū)消毒，遠(yuǎn)程教育宣傳，心理咨詢(每個(gè)志愿者僅參與一類服務(wù)).參與A，B，C三個(gè)社區(qū)的志愿者服務(wù)情況如下表：社區(qū)社區(qū)服務(wù)總?cè)藬?shù)服務(wù)類型現(xiàn)場值班值守社區(qū)消毒遠(yuǎn)程教育宣傳心理咨詢A10030302020B12040352025上表三個(gè)社區(qū)的志愿者中任取1人，求此人來自于A社區(qū)，并且參與社區(qū)消毒工作的概率；從上表三個(gè)社區(qū)的志愿者中各任取1人調(diào)查情況，以X表示負(fù)責(zé)現(xiàn)場值班值守的人數(shù)，求X的分布列；已知A社區(qū)心理咨詢滿意率為0.85,B社區(qū)心理咨詢滿意率為0.95,C社區(qū)心理咨詢滿意率為0.9,“EA=1,gB=1,EC=1”分別表示A,B,C社區(qū)的人們對(duì)心理咨詢滿意，“gA=0,gB=0,gC=0”ABCABC分別表示A,B,C社區(qū)的人們對(duì)心理咨詢不滿意，寫出方差D(EA),D(EB),D(EC)的大小關(guān)系.ABC(只需寫出結(jié)論)(本小題共15分)已知函數(shù)f(x)=(x+a)lnx一x+1.若曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線斜率為1,求實(shí)數(shù)a的值；當(dāng)a=0時(shí)，求證：f(x)>0；若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+Q上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(本小題共14分)y2x2V?已知橢圓C：：-+—=1(a〉b〉0)的離心率為——，點(diǎn)P(1,O)在橢圓C上，直線y=y與橢圓C交于a2b220不同的兩點(diǎn)A,B.求橢圓C的方程；兀直線PA,PB分別交y軸于M,N兩點(diǎn)，問：x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得ZOQN+ZOQM=—?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.21.(本小題共14分)已知有窮數(shù)列A:a,a丄，a丄，a(neN*且n>3).定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B:12knb1,b2,L,bk,L,bn，其中11,a豐a,b=\丘-1k+1(k=1,2,K,n)，規(guī)定a=a,a-a.k10,a=a0nn+11'k-1k+1(I)寫出下列數(shù)列的“伴生數(shù)列”：1,2,3,4,5；1,-1,1,-1,1.(II)已知數(shù)列B的“伴生數(shù)列”C:c,c丄，c丄，c,且滿足b+c=1(k=1,2,K,n).12knkk若數(shù)列B中存在相鄰兩項(xiàng)為1,求證：數(shù)列B中的每一項(xiàng)均為1；求數(shù)列C所有項(xiàng)的和.

參考答案及評(píng)分參考一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．題號(hào)12345678910答案CDBBCACDDA二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．2512.3；213.①④（或③⑥）14.①②3+115.2三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程16.（本小題共14分）解：（I）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a得a2=22+42一2x2x4-cos—=1236分n2n2n（II）由A=3可知，B+C=y，即B=§-CsinB-73cosC=sin（一C）-\3cosC3=-sinC—込cosC22n=sin（C——）.32n2nnnn因?yàn)锽+C=亍，所以C-（0行）.故C-3e（一亍3）.因此sin（C--）e（-V，遼）.2214分于是sinB-\3cosCe（-,）14分2217.（本小題共14分）

證明：(I)因?yàn)锳BHCD,ABu平面ABM,CDH平面ABM,所以CDH平面ABM.取AB的中點(diǎn)N，連接CN.在直角梯形ABCD中，易知AN=BN=CD=<2，且CN丄AB.在Rt△CNB中，由勾股定理得BC=2.在厶ACB中，由勾股定理逆定理可知AC丄BC.又因?yàn)槠矫鍮CM丄平面ABCD，且平面BCMI平面ABCD=BC，所以AC丄平面BCM.取BC的中點(diǎn)O，連接OM，ON.所以O(shè)NHAC，因?yàn)锳C丄平面BCM，所以O(shè)N丄平面BCM.因?yàn)锽M=MC，所以O(shè)M丄BC.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則M(0,0,1),B(0,l,0)，C(0,-l,0)，A(2,—1,0),uuuruuuruurAM=(—2,1,1)，BC=(0,—2,0)，BA=(2,—2,0).易知平面BCM的一個(gè)法向量為m=(1,0,0).-n假設(shè)在棱AM上存在一點(diǎn)E,使得二面角E-BC-M的大小為匚.4uuuruuur不妨設(shè)AE=九AM(0<X<1)，uuuruuruuur所以BE=BA+AE=(2—2九，九一2,九)，uuurn-BC=0,uuur

n-BE=0uuurn-BC=0,uuur

n-BE=0,|—2y=0,|(2—2九)x+九z=0,

令x=九,z=2九一2，所以n=(k,0,2k-2).irr從而|cos<m,n>\=-n解得九=或九=2.3因?yàn)閺亩鴟cos<m,n>\=-n解得九=或九=2.3因?yàn)?<X<1，所以九=-.3由題知二面角E-BC-M為銳二面角.n所以在棱AM上存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BC-M的大小為-，此時(shí)竺AM14分18．(本小題共14分)解：(I)記“從上表三個(gè)社區(qū)的志愿者中任取1人，此人來自于A社區(qū)，并且參與社區(qū)消毒工作”為事件D，3P(D)==?100+120+15037所以從上表三個(gè)社區(qū)的志愿者中任取1人，此人來自于A社區(qū)，并且參與社區(qū)消毒工作的概率為丄.37(II)從上表三個(gè)社區(qū)的志愿者中各任取1人，由表可知：A，B，C三個(gè)社區(qū)負(fù)責(zé)現(xiàn)場值班值守311的概率分別為丄，-，-?1033X的所有可能取值為0，1，2，3.7222814322712721404P(X=0)=x—x—==,P(X=1)=x—x—+x—x—+x—x—==—,10339045103310331033909304分31232171119P(X==2)=—x—x——i-x—x—+-—x_x—:1033103310339031131P(X==3)=—x—x—=—10339030x的分布列為：x0123144191P————459903011分(III)D(gA)>D%)>D(gB)14分19.(本小題共15分)解：(I)因?yàn)閒(x)=(x+a)lnx一x+1,所以f'(x)=lnx+—.由題知f'(e)=lne+-=1,解得a=0.4分(II)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=xlnx一x+1,所以f'(x)=lnx.當(dāng)xe(0,1)時(shí)，f'(x)<0,f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)xe(1,+s)時(shí)，f'(x)>0，f(x)在區(qū)間(1,+a)上單調(diào)遞增；所以f⑴=0是f(x)在區(qū)間(0,+s)上的最小值.所以f(x)>0.8分axlnx+a(III)由(I)知，f(x)=lnx+=-xx若a>0，則當(dāng)xe(1,+s)時(shí)，f'(x)>0，f(x)在區(qū)間(1,+s)上單調(diào)遞增,此時(shí)無極值.若a<0，令g(x)=f'(x)，1a貝yg'(x)=—-.因?yàn)楫?dāng)xe(1,+s)時(shí)，g'(x)>0，所以g(x)在(1,+s)上單調(diào)遞增.因?yàn)間(1)=a<0，而g(e-a)=-a+aea=a(ea一1)>0，所以存在x°e(l,e-a)，使得g(x°)=0.f'(x)和f(x)的情況如下:X(LX(L和/V)/(a)\0+極小值因此，當(dāng)x=x°時(shí)，f(x)有極小值f(x0).綜上，a的取值范圍是(-s,0).15分20．(本小題共14分)

呂=1解:(解:(I)由題意＜a2'a2_b2+c2.解得a2=2,b2=1.y25分所以橢圓C的方程為二+x2=15分2兀(ID假設(shè)存在點(diǎn)Q使得ZOQN+ZOQM飛?設(shè)Q(m，。),因?yàn)?OQN+ZOQM=-,2所以ZOQN=ZOMQ.則tan上OQN=tanZOMQ.即將=，所以O(shè)Q|2二°N||OM|-因?yàn)橹本€y=y°交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，則A,B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱.設(shè)A(x0,y0)，B(-xo，y0)(x0工土1)，因?yàn)镻(10),則直線PA的方程為：y二七(兀-1)-0—y令x_0，得y_0Mx一10直線PB的方程為：令X令X=0，得yN二y0-x+10因?yàn)閨OQ|2=|ON||OM|,所以因?yàn)閨OQ|2=|ON||OM|,所以m2=y2——0—x2一10又因?yàn)辄c(diǎn)A(x,y)在橢圓C上,00所以y0_2(1-x2).所以m2所以m2=2(1—x2)0—1—x2014分所以存在點(diǎn)如2，°）使得ZOQN+z14分21．(本小題共14分)解：(I)①1,1,1,1,1；②1，0，0，0，1.…………4分(II)(i)由題意，存在kwfl,2,K,n—1｝,使得b=b=1.TOC\o"1-5"\h\zkk+1若k=1，艮卩b=b=1時(shí)，c=c=0.1212于是b=b=1,b=b=1.n213所以c=c=0，所以b=b=1.即b=b=b=1.n342234依次類推可得b=b=1(k=2,3,L,n—1)?kk+1所以b=1(k=1,2,K,n).k若2<k<n—1，由b=b=1得c=c=0.kk+1kk+1于是b=b=b=1.所以c=c=0.k—1k+1kk—1k依次類推可得b=b=1.12所以b=1(k=1,2,K,n).kTOC\o"1-