高中數(shù)學(xué)解題中圓系方程的應(yīng)用分析獲獎(jiǎng)科研報(bào)告

高中數(shù)學(xué)解題中圓系方程的應(yīng)用分析獲獎(jiǎng)科研報(bào)告摘要：高中數(shù)學(xué)具有較強(qiáng)的邏輯性要求，題目的綜合性比較明顯，將圓系方程運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，能夠在一定程度上降低數(shù)學(xué)題的難度，幫助理解和分析題干，進(jìn)而提升學(xué)生的解題正確率.本文主要探討圓系方程在實(shí)際數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的運(yùn)用，列舉了幾個(gè)高中數(shù)學(xué)的經(jīng)典題型，進(jìn)行詳細(xì)分析.關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)解題圓系方程應(yīng)用

圓系方程的主要運(yùn)用方式是將參數(shù)與圖像相結(jié)合，以便于加深學(xué)生對(duì)題干的理解.在幾何題解題過(guò)程中，適合既定條件的圓構(gòu)成了一個(gè)圓系，一個(gè)圓系的共同形式的方程稱(chēng)之為圓系方程.將圓系方程運(yùn)用于高中幾何題型中，能幫助有效解決幾何問(wèn)題，提高解題效率.因此，有必要對(duì)圓系方程在數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用進(jìn)行研究和探討.

一、借助圓系方程求圓的方程

高中數(shù)學(xué)具有一定的邏輯性和抽象性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中若不是全身心投入，則很容易將各項(xiàng)概念和性質(zhì)等混淆，導(dǎo)致教學(xué)效率不高.教材中關(guān)于求圓的方程式的內(nèi)容和經(jīng)典題型比較多，但一般的解題思路是通過(guò)已知條件求得圓的半徑和圓心標(biāo)之后，再得出圓的方程式.這種方法的操作比較麻煩，不利于學(xué)生在考試過(guò)程中使用.并且過(guò)長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間容易導(dǎo)致學(xué)生在解題過(guò)程中出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤或常識(shí)性失誤等.若借助圓系方程，則可首先假設(shè)適合已知條件的圓系方程，列出含有未知數(shù)l的相關(guān)參數(shù)，并依據(jù)題干給出的條件進(jìn)行運(yùn)算，求出直徑l的值，這樣，運(yùn)算量明顯減少.

在給出的解題參考中，先對(duì)兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解，再假設(shè)方程，將已知的點(diǎn)直接代入，借助待定系數(shù)法求得待定系數(shù)的值，最后得出圓的方程.相比之下，圓系方程的運(yùn)用，減少了解題耗費(fèi)的時(shí)間.需注意的是，實(shí)際解題過(guò)程中，學(xué)生切不可不認(rèn)真審題就直接采用圓系方程求解.使用圓系方程的基本前提是了解題干及潛在解題條件，充分分析完題干，再選擇求解方式.

二、求兩圓的公共弦或兩圓的公切線(xiàn)方程

針對(duì)這一類(lèi)型數(shù)學(xué)題，一般解題思路是將兩圓的方程看做F（x，y）+λG（x，y）=0，取λ的值為-1，則可解答方程，這種解題方式相對(duì)比較簡(jiǎn)單.由于教材中沒(méi)有涉及具體圓系方程的知識(shí)點(diǎn)，可將其轉(zhuǎn)換為一般式方程之后聯(lián)立，將兩個(gè)方程式相減，可得到兩圓的公切線(xiàn)方程.一般情況下，借助圓系方程解決此類(lèi)問(wèn)題，需首先確定兩圓的位置關(guān)系，再進(jìn)行下一步的計(jì)算.

例2：已知圓C：x+y+2x+8y-8=0，圓C：x+y-4x-4y-2=0，求兩圓的位置關(guān)系.

根據(jù)教材內(nèi)容可知，兩圓存在不止一個(gè)公共點(diǎn).此題的解題關(guān)鍵是確定兩圓的位置關(guān)系，在清楚了位置關(guān)系之后，即可借助圓系方程，求出兩圓的公共直線(xiàn)的方程式.此時(shí)可知公共弦的方程式為x+2y-1=0.

此時(shí)需注意的是，若無(wú)法準(zhǔn)確判斷兩圓的位置關(guān)系，經(jīng)過(guò)計(jì)算所得的直線(xiàn)方程，不能直接將其界定為公共弦，或者公切線(xiàn)方程.學(xué)生在實(shí)際解題過(guò)程中應(yīng)認(rèn)真理解題干和要求，有效利用已知條件及蘊(yùn)含條件進(jìn)行解題.

通過(guò)圓系方程的運(yùn)用，簡(jiǎn)化了原本需要聯(lián)立方程式和計(jì)算的過(guò)程，大大縮短了解題時(shí)間.同時(shí)，此題運(yùn)用圓系方程解題的正確率更高，學(xué)生不易由于數(shù)字特征而產(chǎn)生常識(shí)性失誤.

三、借助圓系方程判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

高中數(shù)學(xué)中，要求對(duì)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷，是比較常見(jiàn)的題型.教材中給出了代數(shù)解題法和幾何解題法兩種，代數(shù)法需要對(duì)方程進(jìn)行消元處理，繼而得到一元二次方程，這一方法的計(jì)算量比較大，學(xué)生容易在解題過(guò)程中發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤等問(wèn)題.因此，解題過(guò)程中可盡量不用代數(shù)法.幾何法相對(duì)更簡(jiǎn)單一些，首先求出圓心距直線(xiàn)的距離d，再將半徑r與直線(xiàn)d進(jìn)行大小判斷，通過(guò)兩者的關(guān)系確認(rèn)，進(jìn)而判斷圓與該直線(xiàn)的位置關(guān)系.但幾何法大多運(yùn)用于比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題.針對(duì)部分比較難的問(wèn)題，借助圓系方程進(jìn)行解答準(zhǔn)確性更高，也更簡(jiǎn)便.

例3：圓系方程x+y+2kx+（4k+10）y+10k+20=0（k∈R，k≠-1）中，求任意兩個(gè)圓的位置關(guān)系.

此題中的圓系方程可轉(zhuǎn)換為x+y+10y+20+k（2x+4y+10）=0；

由方程2x+4y+10=0，以及x+y+10y+20=0，可知該方程表示的直線(xiàn)與圓呈相切的關(guān)系.

因此，可得該圓系方程表示的兩個(gè)圓有一個(gè)公共點(diǎn).

四、借助圓系方程求最小面積的圓的方程

高中數(shù)學(xué)中，求最小面積或最大面積的圓的方程的題型比較常見(jiàn)，常規(guī)的解題方法也相似，即只要知道滿(mǎn)足圓的最小面積的半徑的方程式即可.而將圓系方程運(yùn)用于這類(lèi)題型中，解題過(guò)程則更加簡(jiǎn)單.

例4：求經(jīng)過(guò)兩圓x+y=5，（x-1）+（y-1）=16的交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程.

此題若采用常見(jiàn)的解題方法，需首先聯(lián)立方程，求得兩圓的交點(diǎn).再設(shè)所求的對(duì)象圓的方程，在其中發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)變量之間的關(guān)系，最終獲得半徑的最小值.這類(lèi)解題方法有一定的可行性，但解題所需時(shí)間較多.借助圓系方程則可減少運(yùn)算所需的時(shí)間，提高解題效率.

兩圓相交直線(xiàn)的方程式為2x+2y-11=0，則經(jīng)過(guò)直線(xiàn)2x+2y-11=0與圓x+y=5相交的點(diǎn)的圓系方程為x+y-25+l（2x+2y-11）=0，為了求得最小半徑，兩圓的相交直線(xiàn)須為所求的圓的直徑；

因此圓心坐標(biāo)為（-1，-1），在弦2x+2y-11=0上，所以l=-，所求的圓的方程表示為（x-）+（y-）=.

需注意的是，在高中數(shù)學(xué)題中，通常求最小面積的圓的方程與求最大面積的圓的方程的題型比較多，兩者有相似之處.

高中數(shù)學(xué)題一般具有較強(qiáng)的綜合性，對(duì)學(xué)生邏輯思考能力和解題思維都有所要求.將圓系方程運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，通過(guò)簡(jiǎn)化題干、設(shè)已知條件等方式，不僅能夠減少解題所耗費(fèi)的時(shí)間