線性代數(shù)-第三章習(xí)題課

換法變對調(diào)矩陣的兩行列),記作rirj(cic 倍法變以數(shù)k0乘某一行(列記rik(cik消法變把某一行(列)k(列對應(yīng)的元素上去,記作r krj(cikcj rirj(ci cjrirj(ci cjrik(cik rik(cikrikrj(cikcjri(k)rj(ci(k)cjA經(jīng)有限次初等變B就A與B等價記作A~B反身性A~傳遞

若A~B,則B~若 B,B~C,則A~C由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱三種初等變換對應(yīng)著三種E(i,j．用mEm(i,j)左乘A(aij)mn相A施行第一種初等行變換:把A的第ij行對調(diào)(rirj).類似地用nEn(i,j)A,相當于對矩A施行第一種初等列變:把A的第i列與j列對調(diào)(cicj).（２）倍法變換：以k（非零）乘某行（列），得初等矩陣E(i(k))．Em(i(k))左乘矩A相當于以k乘A的第i行(rik);En(i(k))右乘A相當于以k乘A的第i列(cik).（３）消法變換：以k乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩陣E(ij(k))．Em(ij(k))AA的第j行乘以k加到第i行上(rikrj);En(ij(k))AA的第i列乘以k加到第j列上(cjkci).陣，其特點是可畫出一條階梯線，線的下方全行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為行后面的第個元素為非零元，也就是非零行的第例 1 3 3 0步化為行最簡形矩陣，其特點是非零行的第例 1 0對行階梯形矩陣再進行初等列矩陣的標準形，其特點是：左陣，其余元素都為例

個單位

4 c

4 00100100 0010010000 3c

3c0 0

任何一個mn矩陣總可以經(jīng)過初等變換(換和列變換),F

O Om此標準形由mnr三個數(shù)完全確定其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).個等價類，標準形F是這個等價類中形狀最簡單定義在mnA中kk列位于這行列交叉處的k2不改變它們在A中所處的位置次序而得到的k階行列式稱為矩陣A的k階子式定義設(shè)在矩A中有一個不等于r1(如果存在的話

0的r階子式DD稱為矩陣A的最高階非零子式數(shù)r稱為矩陣的秩,記作R(A).并規(guī)定零矩陣的秩等 0.如果A中有一個非零的r階子式,則R(A)r;如果A中所有r1階子式都為零,則RA)rRAT)RA;若A~B,則RAR(B);行階梯形矩陣的秩等非零行的行若A為n階可逆矩陣,A的最高階非零子式A(2)R(A)(3)AE;(4)A~E定理n元齊次線性方程組Amnx 有非零解充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩RA)定理 齊次線性方程組Amnxb有解的ABAb的非齊次線性方程組把增廣矩陣化成行階梯定理A是一個mn矩陣對A施行一次初等行變換Am階初等矩陣;對AA的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣設(shè)A為可逆矩陣則存在有限個初等P1P2,Pl使AP1P2Pl推論mn矩陣A~B存在P及nQ使得PAQ、求矩陣二、求解求矩陣的秩有下列基本第法當矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時，計例１求下列矩陣200162436A 解A施行初等行變換化為階梯形 1A1

10 16 ~

3435 ~ 010020150 000因此RA)R(B)注意在求矩陣的秩時，初等行、列變換可法和法則．例２求非齊次線性方程組的x12x23x3x43x12x2x3x42x13x2x3x4

2x12x22x3x4x15x22 解對方程組的增B進行初等行變換，使 1 1

r1

r3

2B 1r2r3 1 ~ 1 1

r00r5r200

2 2 0

2

r12

0 0r1r2

r22r3 ~

1

1r4r200

0r4r100

0 r

01 1r32r13r2

1 000 00r(1)r3

5 r(1)r 22~r3

600

5 16000000000000由此可知RAR(B)3，而方程組(1)中未知量的個數(shù)是n4，故有一個自由未知量.令自由未知x4k可得方程組(1)x1

16 56 xx216k76,x3 16 56 x4 0 k取任意常數(shù)例３a取何值時，下述齊次線性方程組有非 x1x2x3x4 x12x2x32x4

a

3x12x23x3ax4解法一系數(shù)矩陣A的行1a01a0a23a050a1111111220101111010100a111010100a0000a當a1或者a2時,A0,方程組有非零解當a1時,把系數(shù)矩陣A 1

2~ 0

0

1 x1 1 程組

xx2k0, 1 x4 0

k為任意常數(shù)當a2時,

A之變換可把A 1 1

~ 1

0

2 0~

0 0 10 0 0從而得到方程組的通解x1 0x

x2k

1,x 0x x4 1k為任意常數(shù)解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣A化為 1A

2 a ~ a 2 a3 ~ 0 a 0 a2當a1或者a2時RA4此時方程組有非零解可仿照解法一求出它的解.要求可逆矩陣A的逆矩陣AE)施行初等行變換,當把A變成E時,原來的E就變成A1.或者對分塊矩陣A施行初等列變換,當把E變成E時,原來的E就變成了A1例４求下述矩陣的逆矩陣 A 2 解作分塊矩陣AE),施行初等行變換22100r 011201 100000

11r

1

r

1

1 3~ ~

r

1 3

11 1r11 22~

1 1

101 01rr1~

r2r

1 3 51 1 12

1 3

5A11 1 12. 注意用初等行變換求逆矩陣時，必須始終AX(AB

初等行~(EA1B)XA1~XAA

初等列變換

X

或B

1 (

初等行BT (

(AT

BT)

XT

(AT)1BTXBA例５A(chǔ)

0,且AXA2X,求矩陣X041 041 解AXA2X(A2E)X1 0 1又A2E 0021 021 由于A

A

0 001 01 2初等行變換

2

2,33X 2.3 3一、填空題(每小題4分，共24若n元線性方程組有解，且其系數(shù)矩陣的秩為，則 時，方程組有唯一解；當 時，程組有無窮多解x1kx2x3 2x kx23x3只有零解，則k應(yīng)滿足的條件 1設(shè)A

1,則AX0 線性方程x1x2xx

x3x4

x5x1有解的設(shè)A為4階方陣,且秩RA3,則RA 12矩陣A2

1的秩 1 0(1816分；第小題分，共1分；第312．討論值的范圍,確定矩陣的秩 2 5

1求解下列線性方程

33x1x26x34x42x5112x2 3 5x3 1 x15x26x38x46x5x13x23x32x4x5 2x16x2x33x4x 22 3x2 x x 2 3x19x24x35x4x5ab取何值時x1ax2x3x 12ax2x3xx1x2bx3三、利用矩陣的初等變換，求下列方陣的逆(每小題7分，共14

1 0

10 10

1四、證明題(每小題8分，共16AB為兩個n階方陣,ABAB1證明:秩EAB秩EABn.設(shè)A為mn實矩陣,證明秩ATA秩1rnr

2.k3 3零解5 a3a4a5 5. 6 (2)當0時秩為4;當0時秩為9434

3 147 5 2.(1)Xk1 k20k3 1 001 001 35