特殊四邊形的動(dòng)態(tài)探究題

特別四邊形的動(dòng)向研究題1.已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接ED，若ED＝EC.(1)求證：AB＝AC；(2)①若AB＝4，BC＝23，則CD＝________；②當(dāng)∠A＝________時(shí)，四邊形ODEB是菱形．第1題圖1．(1)證明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＋∠ADE＝180°，∠B＋∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B，∴∠B＝∠C，AB＝AC；3(2)解：①2；【解法提示】如解圖，連接BD，第1題解圖AB為⊙O的直徑，∴BD⊥AC，設(shè)CD＝a，由(1)知AC＝AB＝4，則AD＝4－a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD2＝AB2－AD2＝42(4－a)2，在Rt△CBD中，由勾股定理可得BD2＝BC2－CD2＝(23)2－a2，33∴42－(4－a)2＝(23)2－a2，解得a＝2，即CD＝2.②60°.【解法提示】如解圖，連接OD、OE，∵四邊形ODEB是菱形，∴OB＝BE，又∵OB＝OE，∴△OBE是等邊三角形，∴∠OBE＝60°，1∵OD∥BE，∴∠BOD＝120°，∴∠A＝2∠BOD＝60°.2.如圖，在?ABCD中，AD＝4，AB＝5，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，連接EC，過(guò)點(diǎn)B作BF∥CE交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.(1)求證：四邊形BCEF是平行四邊形；(2)①當(dāng)DF＝______時(shí)，四邊形BCEF是正方形；GF②當(dāng)GD＝________時(shí)，四邊形BCEF是菱形．第2題圖(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴EF∥BC.∵BF∥CE，∴四邊形BCEF是平行四邊形；(2)解：①1;【解法提示】∵四邊形BCEF是正方形，BF＝BC＝AD＝4，∠FBC＝∠AFB＝90°，AF＝AB2－BF2＝52－42＝3.AD＝4，∴DF＝AD－AF＝4－3＝1.4②5.【解法提示】∵四邊形BCEF是菱形，∴BF＝BC＝AD＝4.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，GDGFGFBF4∴AB＝BF，即GD＝AB＝5.3.如圖，AB是半圓O的直徑，射線AM⊥AB，點(diǎn)P在AM上，連接OP交半圓O于點(diǎn)D，PC切半圓O于點(diǎn)C，連接BC.(1)求證：BC∥OP；(2)若半圓O的半徑等于2，填空：①當(dāng)AP＝________時(shí)，四邊形OAPC是正方形；②當(dāng)AP＝________時(shí)，四邊形BODC是菱形．第3題圖3.解：(1)證明：連接OC，AC，如解圖所示，AB是直徑，AM⊥AB，BC⊥AC，AP是半⊙O的切線，又∵PC是半⊙O的切線，∴PA＝PC，又∵OA＝OC，∴OP⊥AC，BC∥OP；(2)①2；②23.【解法提示】①若四邊形OAPC是正方形，則OA＝AP，∵OA＝2，∴AP＝2；②若四邊形BODC是菱形，則CB＝BO＝OD＝DC，AB＝2OB，∠ACB＝90°，AB＝2BC，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∵BC∥OP，∴∠AOP＝∠ABC＝60°，又∵∠OAP＝90°，OA＝2，∴∠OPA＝30°，∴OP＝4，∴AP＝OP2OA24222＝23.第3題解圖4.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，線段BC的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上，AF＝CE且F不與E重合．(1)求證：△EFA≌△ACE；(2)填空：①當(dāng)∠B＝_________°時(shí)，四邊形ACEF是菱形；②當(dāng)∠B＝_________°時(shí)，線段AF與AB垂直．第4題圖4.(1)證明：如解圖，第4題解圖ED是BC的垂直均分線，∴EB＝EC，ED⊥BC，∴∠3＝∠4，∵∠ACB＝90°，∴FE∥AC，∴∠1＝∠5，∵∠2與∠4互余，∠1與∠3互余，∴∠1＝∠2＝∠5，∴AE＝CE.又∵AF＝CE，∴AE＝AF，∴∠5＝∠F，在△EFA和△ACE中，AF＝AE＝EC，∠1＝∠2＝∠5＝∠F，∴△EFA≌△ACE.(2)解：①30；②45.【解法提示】①∵四邊形ACEF是菱形，∴AC＝CE，CE是Rt△ABC斜邊AB的中線，∴CE＝AE＝BE，∴AE＝AC＝CE，∴△ACE是等邊三角形,∴∠1＝60°，則∠B＝30°,∴當(dāng)∠B＝30°時(shí)，四邊形ACEF是菱形；②由(1)知△EFA≌△ACE，∴∠AEC＝∠EAF，∴AF∥CE，AF⊥AB，∴CE⊥AB，CE＝EB，∴∠3＝∠4＝45°，∴當(dāng)∠B＝45°時(shí)，線段AF與AB垂直．5.如圖，AB是⊙O的直徑，E是⊙O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作O的兩條切線ED，EB，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D，B.連接AD并延長(zhǎng)交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，連接OE.(1)試判斷OE與AC的關(guān)系，并說(shuō)明原由；(2)填空：①當(dāng)∠BAC＝_________°時(shí)，四邊形ODEB為正方形；②當(dāng)∠BAC＝30°時(shí)，AD的值為_(kāi)_______．DE第5題圖5.解：(1)OE∥AC，OE＝1AC.2原由：連接OD，如解圖，第5題解圖DE，BE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，AB⊥BC，∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∵OD＝OB，OE＝OE，∴RtODE≌Rt△OBE(HL)，∴∠1＝∠2.∵∠BOD＝∠A＋∠3，OA＝OD，∴∠A＝∠3，∴∠2＝∠A，∴OE∥AC；OA＝OB，∴EC＝EB，OE是△ABC的中位線，∴OE＝1AC.2(2)①45；②3.【解法提示】①要使四邊形ODEB是正方形，由ED＝EB，∠ODE＝∠ABC＝90°,只需∠DOB＝90°，∴∠A＝45°；②過(guò)O作OH⊥AD于H,∵∠A＝30°，OA＝OD,∴∠3＝∠A＝30°，∴OD＝3AD，∵∠ODE＝°，∠＝∠3901，∴AD＝3.3＝°，∴OD＝3∴3AD＝3DE30DE,3DE6.如圖，將⊙O的內(nèi)接矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，再把△ACD沿CA方向平移獲取△A1C1D1，連接BC1，∠ACB30°，AB＝1，CC1＝x.(1)若點(diǎn)O與點(diǎn)C1重合，求證：A1D1為⊙O的切線；(2)①當(dāng)x＝________時(shí)，四邊形ABC1D1是菱形；②當(dāng)x＝________時(shí)，△BDD1為等邊三角形．第6題圖(1)證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D＝90°，∵把△ACD沿CA方向平移獲取△A1C1D1，∴∠A1D1O＝∠D＝90°，∴A1D1⊥OD1，∴A1D1為⊙O的切線；(2)解：①1；②2.【解法提示】①如解圖①，連接AD1，當(dāng)x＝1時(shí)，四邊形ABC1D1是菱形；第6題解圖①原由：由平移得：AB＝D1C1，且AB∥D1C1，∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，∵∠ACB＝30°，∴∠CAB＝60°，AB＝1，∴AC＝2，x＝1，∴AC1＝1，∴AB＝AC1，∴△AC1B是等邊三角形，∴AB＝BC1，∴四邊形ABC1D1是菱形；②如解圖②所示，當(dāng)x＝2時(shí)，△BDD1為等邊三角形，第6題解圖②則可得BD＝DD1＝BD1＝2，即當(dāng)x＝2時(shí)，△BDD1為等邊三角形．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠BAC的均分線交圓弧于點(diǎn)D，半圓O在點(diǎn)D處的切線與直線AC交于點(diǎn)E.(1)求證：△ADE∽△ABD；(2)填空：①若ED∶DB＝3∶2，則AE∶AB＝________；②連接OC、CD，當(dāng)∠BAC的度數(shù)為_(kāi)_______時(shí)，四邊形BDCO是菱形．第7題圖7.(1)證明：如解圖①，連接OD，AD是∠BAC的均分線，∴∠EAD＝∠DAB，AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EAD＝∠ODA，∴OD∥AE，DE是半圓O的切線，∴OD⊥DE，∴∠E＝90°，AB是半圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD＝∠DAB，∠E＝∠ADB，∴△ADE∽△ABD；第7題解圖①(2)解：①3∶4；EDAE【解法提示】由(1)得△ADE∽△ABD，∴BD＝AD，ED∶DB＝3∶2，∴AE∶AD＝3∶2，∴∠EAD＝30°，∴∠DAB＝30°，∴AD∶AB＝3∶2，∴AE∶AB＝3∶4.60°.【解法提示】如解圖②，連接OC，CD，OD，當(dāng)四邊形BDCO是菱形時(shí)，OD＝BD，∴△ODB為等邊三角形，∴∠DOB＝60°，由(1)得，OD∥AC，∴∠BAC＝60°.第7題解圖②8.如圖，以△ABC一邊AB為直徑作⊙O，與別的兩邊分別交于點(diǎn)D、E，且點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接DE.(1)證明：△ABC是等腰三角形；(2)填空：①當(dāng)∠B＝________時(shí)，四邊形BDEO是菱形；②當(dāng)∠B＝________時(shí)，△AOE是直角三角形．第8題圖8.(1)證明：連接AD，如解圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BDA＝90°.D為BC的中點(diǎn),∴BD＝DC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；第8題解圖(2)解：①60°；②67.5°.【解法提示】①當(dāng)∠B＝60°時(shí)，四邊形BDEO是菱形．連接OD，如解圖，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，△OBD是等邊三角形，∴△AOE是等邊三角形，△DOE是等邊三角形，∴OB＝BD＝DE＝EO,∴四邊形BDEO是菱形；②若△AOE是直角三角形，只有一種情況，即∠AOE＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO＝45°，由(1)知△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C＝180°－45°＝67.5°.29.如圖，在△ABC中，AB＝BC＝8，O是AB的中點(diǎn)，以︵O為圓心，OA為半徑的圓交AC于D，E是AB上的一點(diǎn)，∠C＝45°，連接BE，DE.AF切圓O于點(diǎn)A，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：BC是圓O的切線；(2)填空：①當(dāng)BE＝________時(shí)，四邊形BDAE是正方形；②當(dāng)BF＝________時(shí)，四邊形ODAF是平行四邊形．第9題圖9.(1)證明：∵AB＝BC，∠C＝45°，∴∠BAC＝∠C＝45°，∵在△ABC中，∠ABC＝180°－∠BAC－∠C＝180°－45°－45°＝90°，又∵AB是過(guò)圓心O的直徑，OB⊥BC，∴BC是圓O的切線；(2)解：①42；②45.【解法提示】①當(dāng)DE經(jīng)過(guò)圓心時(shí)四邊形BDAE是正方形，連接BD，AE，如解圖①，∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB90°，又∵AB＝BC，∴BD⊥AC，AD＝DC＝BD，又∵∠ADB＝90°，AD＝BD，∴DO⊥AB，∴AB⊥ED，∵ABED，OA＝OB，OE＝OD，∴四邊形BDAE是正方形．∵AB＝8，∴EO＝OB＝4，∴BE＝EO2BO2＝16＋16＝2，∴當(dāng)BE＝42時(shí)，四邊形BDAE是正方形；②如解圖②，∵四邊形ODAF是平行四邊形，∴AF＝OD＝4，∴BF＝AF2AB2=4282＝45，∴當(dāng)BF＝45時(shí)，四邊形ODAF是平行四邊形．第9題解圖①第9題解圖②10.如圖，已知平行四邊形ABCD中，AD＝8cm，AB＝10cm，BD＝12cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以相同的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.(1)連接DP、BQ，求證：DP＝BQ；(2)填空：①當(dāng)t為_(kāi)_____s時(shí)，四邊形PBQD是矩形；②當(dāng)t為_(kāi)_____s時(shí)，四邊形PBQD是菱形．第10題圖10.解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AD＝BC.又∵AP＝CQ＝t，∴△APD≌△CQB(SAS)，DP＝BQ；(2)①1；②2.【解法提示】①如解圖①，∵△APD≌△CQB，∴DPBQ.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB－AP＝CD－CQ，即BP＝DQ，∴四邊形PBQD是平行四邊形．當(dāng)∠DPB＝90°時(shí)，