四川省遂寧市2023屆高三零診考試數(shù)學(xué)（文科）試題（解析版）

第21頁(yè)/共21頁(yè)遂寧市高中2023屆零診考試數(shù)學(xué)（文科）試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．總分150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，滿分60分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上．并檢查條形碼粘貼是否正確．2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書(shū)寫在答題卡對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡收回．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．1.已知集合，，那么等于（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【詳解】，解得或，所以或，所以或.故選：B2.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算求解得，再求虛部即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，的虛部?故選：C3.設(shè)m，n為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性分別化簡(jiǎn)和，根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷兩者關(guān)系.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以“”是“”的充分條件，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，沒(méi)有對(duì)數(shù)值，所以“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件，A正確，故選：A.4.若為等差數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則等于（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，進(jìn)而建立方程組求解得，再計(jì)算即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，解得，所?故選：D5.已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，然后根據(jù)正切的和差公式求解即可．【詳解】解：，，．故選：D．6.若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）A.8 B.7 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由約束條件作出可行域，再結(jié)合圖象求出目標(biāo)函數(shù)的最值.【詳解】由約束條件作出可行域，如圖：聯(lián)立，解得由，得，為直線的縱截距.由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最大，且.故選：B.7.為公比大于1的正項(xiàng)等比數(shù)列，且和是方程的兩根，若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到，結(jié)合韋達(dá)定理，，得到，求出或4，結(jié)合公比，求出，得到，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值.【詳解】由題意得：，，因?yàn)闉楣却笥?的正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，故，，由得，將其代入得：，解得：或4，設(shè)公比為，則，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，解得：?dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，不合題意，舍去；所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：B8.已知滿足，且當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)奇偶性和x＜0時(shí)的解析式，求出f(x)在x＞0時(shí)的解析式，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】已知滿足，∴為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因此，則x＞0時(shí)，，曲線在點(diǎn)處的切線斜率，又，∴曲線在點(diǎn)，即(1，0)處的切線方程為，整理得﹒故選：C．9.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，對(duì)于上任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)和，都滿足，若，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題知函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而根據(jù)結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.【詳解】解：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以，即函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)閷?duì)于上任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)和，都滿足，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，因?yàn)?，所以，，?故選：A10.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.若，則B.若為銳角三角形，則C.若，則一定為直角三角形D.若，則可以是鈍角三角形【答案】D【解析】【分析】A.由正弦定理及三角形中大角對(duì)大邊即可判斷.B.通過(guò)內(nèi)角和為化簡(jiǎn)，再借助角為銳角得到角滿足的關(guān)系，在再取角的正弦值化簡(jiǎn)即可.C.邊化角，運(yùn)用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，得到角的關(guān)系，再借助內(nèi)角和為計(jì)算即可得到.D.通過(guò)內(nèi)角和為化簡(jiǎn)角，再利用兩角和正切公式化簡(jiǎn)即可得到，然后判斷即可.【詳解】A.因?yàn)?，所以由正弦定理知，又因?yàn)樵谌切沃写蠼菍?duì)大邊，所以.故選項(xiàng)A正確.B.因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，所以.故選項(xiàng)B正確.C.由正弦定理邊化角得,則或（舍），則,即，則一定為直角三角形.故選項(xiàng)C正確.D.又因?yàn)樽疃嘀挥幸粋€(gè)角為鈍角，所以，即三個(gè)角都為銳角,所以為銳角三角形.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：D.11.在中，，，為線段的中點(diǎn)，，為線段垂直平分線上任一異于的點(diǎn)，則（）A. B.4 C.7 D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意得為直角三角形，，進(jìn)而得，再根據(jù)，，得.【詳解】解：因?yàn)樵谥?，為線段的中點(diǎn)，所以，即，因?yàn)?，，，所以，即，因?yàn)?，所以，即，所以，，即，所以，因?yàn)椋?，即為直角三角形，所以因?yàn)闉榫€段垂直平分線上任一異于的點(diǎn)，所以，，，所以故選：C12.已知向量的夾角為60°，，若對(duì)任意的、，且，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義求得，于是由數(shù)量積的應(yīng)用可得，對(duì)任意的、，且，則將轉(zhuǎn)化為，即，則構(gòu)造函數(shù)得函數(shù)在上單調(diào)遞減，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，即可得的取值范圍.【詳解】解：已知向量夾角為60°，，則所以所以對(duì)任意的、，且，，則所以，即，設(shè)，即在上單調(diào)遞減又時(shí)，，解得，所以，，在上單調(diào)遞增；，，在上單調(diào)遞減，所以.故選：A.第Ⅱ卷（非選擇題，滿分90分）注意事項(xiàng)：1．請(qǐng)用藍(lán)黑鋼筆或圓珠筆在第Ⅱ卷答題卡上作答，不能答在此試卷上．2．試卷中橫線的地方，是需要你在第Ⅱ卷答題卡上作答．本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題至第21題為必考題，每個(gè)試題考生都作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，若與垂直，則實(shí)數(shù)等于____．【答案】0或4【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算的垂直關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】向量，，若與垂直，則，解得或，故答案：0或4.14.__【答案】6【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)等知識(shí)確定正確答案.【詳解】原式.故答案為：15.若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】由題意，命題的否定為真命題，分別討論和兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】因?yàn)槊}“”是假命題，所以命題的否定：為真命題，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意，當(dāng)時(shí)，由題意得：，解得.綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：16.正割（Secant，sec）是三角函數(shù)的一種，正割的數(shù)學(xué)符號(hào)為sec，出自英文secant．該符號(hào)最早由數(shù)學(xué)家吉拉德在他的著作《三角學(xué)》中所用，正割與余弦互為倒數(shù)，即．若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有__①函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；②函數(shù)圖像在處的切線與軸平行，且與軸的距離為；③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；④為奇函數(shù)，且有最大值，無(wú)最小值．【答案】②③【解析】【分析】根據(jù)判斷①；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程判斷②；根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性判斷③；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷④.【詳解】解：對(duì)于①，由題知，，顯然，故函數(shù)的圖像不關(guān)于直線對(duì)稱，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，，所以，，所以，函數(shù)圖像在處的切線方程為，所以，函數(shù)圖像在處的切線與軸平行，且與軸的距離為，故正確；對(duì)于③，因?yàn)?，令，則恒成立，所以，在上單調(diào)遞增，因，所以，時(shí)，；時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故正確；對(duì)于④，函數(shù)的定義域?yàn)?，，故函?shù)為奇函數(shù)；由③知，當(dāng)和時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，所以，當(dāng)從趨近于時(shí)，函數(shù)值趨近于，故函數(shù)無(wú)最大值，當(dāng)從趨近于時(shí)，函數(shù)值趨近于，故函數(shù)無(wú)最小值，故④錯(cuò)誤.所以，正確的結(jié)論有：②③故答案為：②③三、解答題：本大題共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知集合，函數(shù)的定義域?yàn)榧希?）當(dāng)時(shí)，求；（2）設(shè)命題p：，命題q：，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得或，再求交集運(yùn)算即可；（2）由題知或，，再根據(jù)集合關(guān)系求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，由題意，解得或，所以或，又，所以.【小問(wèn)2詳解】解：由題意，即，解得：或，所以或，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以，集合是集合的真子集，所以或，解得或故實(shí)數(shù)的取值范圍．18.已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)條件，求出等比數(shù)列的公比，由此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)由(1)可得，利用裂項(xiàng)相消法和組合求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由，，可得，即得，解得或（舍去），故，所以的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)2詳解】若，則，故，即，即所以.19.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若時(shí)，函數(shù)的圖象與拋物線恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論求解不等式即可作答.（2）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，求出三次函數(shù)的極值，列出不等式求解作答.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)定義域R，求導(dǎo)得，若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；若，恒有．即在上單調(diào)遞增；若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是和；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是和.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，令，因函數(shù)的圖象與拋物線恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，則函數(shù)圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)，而，由，解得或，由，解得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是得在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值，依題意，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．20.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心及在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，求的值．【答案】（1）對(duì)稱中心為；單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）【解析】【分析】（1）由三角恒等變換得，再根據(jù)整體代換求解即可；

（2）結(jié)合（1）得，進(jìn)而得，再根據(jù)余弦定理和已知條件得，，進(jìn)而結(jié)合正弦定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：函數(shù)．由，，解得，故所求對(duì)稱中心為．由，，解得，令，有，令，有又，所以所求的單調(diào)遞增區(qū)間為，【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，所以，即又在中，所以，即，由余弦定理知，，又所以，解得，，由正弦定理知，，所?1.已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）令，求證：對(duì)，有成立；（3）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，利用基本不等式求的最大值，由此證明；（3）由已知可得在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，可求的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為2，故切線方程為，即；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，所以，又，因?yàn)?，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，，由于的最小值等于的最大值，且不是在同一點(diǎn)取得，故有成立【小問(wèn)3詳解】由不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，得在上恒成立，令，由(2)在上單調(diào)遞增，所以，則在上恒成立，在上恒成立，令，則在遞減，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)恒成立?；(2)恒成立?.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］22.平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線與交于M，N兩點(diǎn)，求與直線MN平行且過(guò)原點(diǎn)的直線l的極坐標(biāo)方程及的值．【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）求曲線的普通方程只需把平方即可，求曲線的方程只需極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式化簡(jiǎn)即可.（2）兩圓方程聯(lián)立即可求相交弦方程，即直線MN的方程，再根據(jù)平行求出直線l的方程，進(jìn)而可求直線l的極坐標(biāo)方程，再利用圓的弦長(zhǎng)與圓心到直線的距離，半徑之間的關(guān)系即可求出的值．【小問(wèn)1詳解】由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），可得，即曲線的普通方程為；曲線的極坐標(biāo)方程為.故曲線的直角坐標(biāo)方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得即直線的方程為，則與直線平行且過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為，其傾斜角為所以直線的極坐標(biāo)方程為；設(shè)曲