測(cè)量誤差與不確定度課件

第一章

測(cè)量誤差與實(shí)驗(yàn)不確定度第一章

測(cè)量誤差與實(shí)驗(yàn)不確定度1

第一節(jié)測(cè)量和測(cè)量誤差

一、測(cè)量及其分類

1測(cè)量在一定條件下使用具有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)單位的計(jì)量?jī)x器對(duì)被測(cè)物理量進(jìn)行比較，從而確定被測(cè)量的數(shù)值和單位。

2測(cè)量分類

1)直接測(cè)量與間接測(cè)量2)等精度測(cè)量與不等精度測(cè)量

3)單次測(cè)量與重復(fù)測(cè)量第一節(jié)測(cè)量和測(cè)量誤差一、測(cè)量及其分類2

直接測(cè)量直接測(cè)量:使用儀器或量具，直接測(cè)得被測(cè)量的量值的測(cè)量。由直接測(cè)量所得的物理量，稱為直接測(cè)量量。直接測(cè)量直接測(cè)量:3

間接測(cè)量

間接測(cè)量:通過直接測(cè)量量，再根據(jù)某一函數(shù)關(guān)系把待測(cè)量計(jì)算出來的測(cè)量。

間接測(cè)量間接測(cè)量:4間接測(cè)量用單擺測(cè)量某地的重力加速度g，是根據(jù)用米尺直接測(cè)得單擺的擺長(zhǎng)l和用秒表直接測(cè)得周期T，再通過單擺公式：g=（42l）/T2把重力加速度g計(jì)算出來。

l和T

是直接測(cè)量量，g稱為間接測(cè)量量。lT間接測(cè)量用單擺測(cè)量某地的重力加速度g，是根據(jù)用米尺5

等精度、不等精度測(cè)量等精度測(cè)量:對(duì)同一類物理量的測(cè)量都是在相同條件（包括測(cè)量方法、使用的儀器、外界環(huán)境條件和觀察者都不變）下進(jìn)行的測(cè)量。不等精度測(cè)量:不滿足上述條件的測(cè)量。

等精度、不等精度測(cè)量等精度測(cè)量:6重復(fù)測(cè)量與單次測(cè)量重復(fù)測(cè)量：在相同條件（包括測(cè)量方法、使用的儀器、外界環(huán)境條件和觀察者都不變）下對(duì)同一狀態(tài)的物理量進(jìn)行的多次測(cè)量。當(dāng)實(shí)際情況不能滿足重復(fù)測(cè)量所要求的條件或不需要多次重復(fù)測(cè)量（例如每次重復(fù)測(cè)量示值都完全一致）時(shí)，才采取單次測(cè)量的處理方式。重復(fù)測(cè)量與單次測(cè)量重復(fù)測(cè)量：7

二、測(cè)量誤差及其分類（一）誤差的定義

被測(cè)量的物理量在特定條件下客觀存在的真實(shí)量值稱為該物理量的真值，記作X0。

測(cè)量值X和真值X0的差定義為測(cè)量誤差，記為ΔX

即：

ΔX

=X–X0

它反映了測(cè)量值偏離真值的大小和方向。

（二）誤差的分類測(cè)量誤差與不確定度課件8

1系統(tǒng)誤差

1）系統(tǒng)誤差由于實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的原因，在測(cè)量過程中造成的誤差。

2）誤差來源儀器誤差、環(huán)境誤差、理論(方法)誤差、個(gè)人習(xí)慣誤差。3）誤差特點(diǎn)誤差的大小和符號(hào)總是保持恒定，或按一定規(guī)律以可約定的方式變化。4）誤差消除方法找出原因，在實(shí)驗(yàn)前或?qū)嶒?yàn)后加以修正。1系統(tǒng)誤差1）系統(tǒng)誤差9系統(tǒng)誤差的修正舉例儀器誤差如電表的零點(diǎn)誤差修正：接入電路前，先調(diào)機(jī)械零點(diǎn)。電表指針不在零點(diǎn)機(jī)械零點(diǎn)調(diào)節(jié)螺釘系統(tǒng)誤差的修正舉例儀器誤差電表指針不在零點(diǎn)機(jī)械零點(diǎn)調(diào)節(jié)螺釘10操作者偏視習(xí)慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線偏左操作者偏視習(xí)慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線偏左11操作者偏視習(xí)慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線正確操作者偏視習(xí)慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線正確122隨機(jī)誤差（偶然誤差）1）隨機(jī)誤差由某些偶然的或不確定的因素，在測(cè)量過程中造成的誤差。2）誤差來源環(huán)境和實(shí)驗(yàn)條件的無規(guī)則變化。3）誤差特點(diǎn)誤差的量值和符號(hào)以不可約定的方式變化著，對(duì)每次測(cè)量值來說，其變化是無規(guī)則的，但對(duì)大量測(cè)量值，其變化則服從確定的統(tǒng)計(jì)分布（正態(tài)分布）規(guī)律。2隨機(jī)誤差（偶然誤差）1）隨機(jī)誤差13隨機(jī)誤差服從的正態(tài)分布特點(diǎn)xP-3σ

-2σ

–σ0σ

2σ3σ隨機(jī)誤差服從的正態(tài)分布特點(diǎn)xP-3σ-2σ–σ14隨機(jī)誤差正態(tài)分布的特點(diǎn)

*單峰性

絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大，而絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率小。

*對(duì)稱性

絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率大致相等。

*有界性

絕對(duì)值非常大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零。

*抵償性誤差算術(shù)平均值隨測(cè)量次數(shù)增加而趨于零。測(cè)量誤差與不確定度課件15

標(biāo)準(zhǔn)誤差：標(biāo)準(zhǔn)誤差的統(tǒng)計(jì)意義系統(tǒng)誤差已消除的條件下，重復(fù)測(cè)量次數(shù)n足夠大時(shí)，任一次測(cè)量隨機(jī)誤差的絕對(duì)值小于σ的概率為68.3%，小于2σ的概率為95.4%，小于3σ的概率為99.7%標(biāo)準(zhǔn)誤差可描述偶然誤差的可能范圍與可信程度！式中：μ是測(cè)量列和算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)誤差的統(tǒng)計(jì)意義標(biāo)準(zhǔn)誤差可描述偶然誤差的164)減小隨機(jī)誤差的方法

A)增加重復(fù)測(cè)量次數(shù)一般重復(fù)5～10次即可。測(cè)量值波動(dòng)范圍越大，則需重復(fù)次數(shù)越多。

B)以標(biāo)準(zhǔn)偏差代替標(biāo)準(zhǔn)誤差來評(píng)估隨機(jī)誤差的范圍與可信度。

C)用測(cè)量平均值作為測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)值。4)減小隨機(jī)誤差的方法A)增加重復(fù)測(cè)量次數(shù)17

3粗大誤差（過失誤差）

1)粗大誤差

測(cè)量值明顯偏離正常值的異常誤差。2)誤差來源儀器使用方法錯(cuò)誤、粗心大意、記錄出錯(cuò)等。3)誤差消除方法用3σ準(zhǔn)則（萊特準(zhǔn)則）鑒別并剔除。當(dāng)測(cè)量次數(shù)較多時(shí)，若某測(cè)量值與算術(shù)平均值的偏差絕對(duì)值大于3倍標(biāo)準(zhǔn)偏差時(shí)，可認(rèn)為該值是壞值而剔除。3粗大誤差（過失誤差）1)粗大誤差18一、測(cè)量結(jié)果的表達(dá)方式

測(cè)量的目的是要獲得被測(cè)物理量的真值！由于測(cè)量誤差不可避免，真值也就無法確定，也無法確定誤差的大小。只能通過科學(xué)的方法確定的最佳估計(jì)值及其不確定度，把測(cè)量結(jié)果表達(dá)為：

物理量最佳估計(jì)值不確定度第二節(jié)不確定度及其概念一、測(cè)量結(jié)果的表達(dá)方式測(cè)量的目的是要獲得19

測(cè)量結(jié)果

的含義

表示真值以一定的概率存在于范圍內(nèi)；

同一項(xiàng)測(cè)量結(jié)果對(duì)應(yīng)不同的置信概率要求，不確定度Δ的估算值也不同，通常要求的概率值越高，對(duì)應(yīng)的Δ值越大。

Δ值通常只保留最大一位非零數(shù)，尾數(shù)一般只進(jìn)不舍，例如計(jì)算結(jié)果是0.051，保留結(jié)果是0.06。

保留的末位數(shù)與Δ的非零數(shù)位同數(shù)量級(jí)，例：

L=3.566±0.007(mm)測(cè)量結(jié)果的含義

20二、不確定度基本概念1不確定度不確定度是表征測(cè)量結(jié)果具有離散性的一個(gè)參數(shù)。2不確定度分類根據(jù)估算方法將不確定度分量分為兩類：

A類不確定度用統(tǒng)計(jì)方法估算的分量，記為ΔA。

B類不確定度用其他方法估算的分量，記為ΔB。二、不確定度基本概念1不確定度21

3總不確定度總不確定度Δ是以上兩類所有分量的合成。若各ΔAi、ΔBi相互獨(dú)立，并具有相同置信概率，則測(cè)量誤差與不確定度課件22

第三節(jié)B類不確定度估算

一儀器誤差(限)

正確使用儀器時(shí)，儀器的示值與被測(cè)量真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差的絕對(duì)值被稱為儀器誤差(限)，用

Δ儀表示。

Δ儀的含義：在正常使用下儀器示值的最大可能誤差，置信概率通常為95%～99%。第三節(jié)B類不確定度估算一儀器誤差(限)23常用物理實(shí)驗(yàn)儀器的誤差限Δ儀名稱量程最小分度(精度等級(jí))Δ儀鋼尺300mm1mm0.5mm(最小分度的1/2)螺旋測(cè)微計(jì)20mm0.005mm最小分度的1/2游標(biāo)卡尺150mm0.02mm（50分度）0.02mm機(jī)械表12h1s最小分度值水銀溫度計(jì)100℃1℃最小分度值磁電式電表NmKA·K·%常用物理實(shí)驗(yàn)儀器的誤差限Δ儀名稱量程最小分度(精度等級(jí))Δ儀24

二

B類不確定度的估算評(píng)定△

B需結(jié)合誤差分布規(guī)律、參照標(biāo)準(zhǔn)、估算誤差限等因素，故△

B有多項(xiàng)分量，評(píng)定方法也有多種。常用評(píng)定方法有：根據(jù)測(cè)量條件估算誤差限；根據(jù)理論公式或?qū)嶒?yàn)推算誤差限；根據(jù)儀器誤差限評(píng)定△

B。我們約定：在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，近似使用儀器誤差限來確定△

B。即:

ΔB≈Δ儀二B類不確定度的估算25例題1

數(shù)字萬用表誤差限，Δ儀=讀數(shù)×A%+N，其中:A為精度等級(jí)，N為顯示末位上的字?jǐn)?shù)。某萬用表20kΩ量程的電阻檔A

=0.8，N

=0.03，用該檔測(cè)量某電阻，讀數(shù)為5.36kΩ，這次測(cè)量結(jié)果是多少？

解：

Δ=Δ儀=5.36×0.8%+0.03=0.073

(kΩ)

測(cè)量結(jié)果表示為：R=5.36±0.08（kΩ）測(cè)量誤差與不確定度課件26

例題2

檢定一塊1.5級(jí)，10mA的電流表，發(fā)現(xiàn)在5mA處它的誤差最大，為0.13mA，而在其它刻度處，誤差均小于0.13mA，試問，這塊電表是否合格？

解：該級(jí)別的電流表儀器誤差限為：

Δ儀=10（mA）×1.5%=0.15（mA）該電流表在所有刻度上，最大誤差為0.13mA，均小于儀器誤差，故這塊電表是合格產(chǎn)品。

27一單次直接測(cè)量的不確定度

實(shí)際情況不允許重復(fù)測(cè)量或不需要多次測(cè)量時(shí)，可采取單次測(cè)量的方式。若單次測(cè)量的主要誤差來源是儀器誤差時(shí)，以儀器誤差限Δ儀作為單次測(cè)量不確定度。

Δ=Δ儀

注意：這是一種很粗略很近似的估算。

第四節(jié)直接測(cè)量結(jié)果與不確定度的估算一單次直接測(cè)量的不確定度第四節(jié)直接測(cè)量結(jié)果與不確28二多次測(cè)量時(shí)隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)估計(jì)1、用算術(shù)平均值作為待測(cè)量X的最佳估計(jì)值設(shè)對(duì)某物理量X進(jìn)行n次等精度測(cè)量，得一列測(cè)量值：

x1、x2、xn，這一列測(cè)量值的算術(shù)平均值為：二多次測(cè)量時(shí)隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)估計(jì)1、用算術(shù)平均值作為待測(cè)量X29

2.多次測(cè)量時(shí)隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)估計(jì)

1）先計(jì)算殘差（偏差）：

2）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)偏差）：

3）計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：測(cè)量誤差與不確定度課件30*3.異常數(shù)據(jù)的剔除

1）萊特準(zhǔn)則（3σ準(zhǔn)則）

若第k次測(cè)量值xk滿足條件：

|xk-|＞3σ

則可判斷xk

是壞值。2）萊特準(zhǔn)則的適用范圍萊特準(zhǔn)則以測(cè)量次數(shù)較多（大樣本）為前提，一般適合于測(cè)量值呈正態(tài)分布（即高斯分布）的情況。

測(cè)量誤差與不確定度課件31例題3

（P18例1.4.1）對(duì)某物理量進(jìn)行了15次等精度的測(cè)量，測(cè)量值如表所示。設(shè)這些測(cè)量值已經(jīng)消除了系統(tǒng)誤差，試判斷在下列測(cè)量值中是否含有壞值？解:

由測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算算術(shù)平均值:測(cè)量誤差與不確定度課件32

由測(cè)量數(shù)據(jù)和算術(shù)平均值，可以計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差：由標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算出3σ：

3σ=3×0.033=0.099第八測(cè)量值的殘差：

由萊特準(zhǔn)則知：第八測(cè)量值是一個(gè)壞值，應(yīng)預(yù)以剔除。

由測(cè)量數(shù)據(jù)和算術(shù)平均值，可以計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差：33對(duì)剩余的14個(gè)數(shù)據(jù)重新計(jì)算：新的算術(shù)平均值（剔除了第八測(cè)量值）為：新的標(biāo)準(zhǔn)差為：

測(cè)量誤差與不確定度課件34

新的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算出3σ’：

3σ’=3×0.016=0.048再檢查各測(cè)量值的殘差，沒有再出現(xiàn)|xk–|＞3σ的情況，可認(rèn)為，剩余數(shù)據(jù)中，沒有壞值存在。測(cè)量誤差與不確定度課件354.多次測(cè)量時(shí)A類不確定度的估算

重復(fù)測(cè)量次數(shù)為5～10次，置信概率在95%左右時(shí)，A類不確定度ΔA可按下式近似估算。

σ叫標(biāo)準(zhǔn)偏差(或簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)差)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式叫貝塞爾公式.測(cè)量誤差與不確定度課件36

5多次測(cè)量的合成不確定度

在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)測(cè)量次數(shù)5≤n≤10時(shí)，合成不確定度可這樣近似計(jì)算:

A類分量:ΔA≈σ

，置信概率95%；B類分量:ΔB≈Δ儀，置信概率95%；測(cè)量結(jié)果的合成不確定度為:5多次測(cè)量的合成不確定度在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中37

例題4

用游標(biāo)卡尺對(duì)某物體長(zhǎng)度進(jìn)行等精度測(cè)量10次，測(cè)量數(shù)據(jù)如下表，設(shè)儀器誤差限為0.02mm。求不確定度并表示測(cè)量結(jié)果。

解:

1求出算平均值:

1234567891083.5483.5883.5283.5683.6083.6483.5483.5683.5883.501234567891083.5483.5883.5283.538

2求出標(biāo)準(zhǔn)偏差

利用科學(xué)計(jì)算器統(tǒng)計(jì)功能可快速得到上述結(jié)果！3計(jì)算合成不確定度取ΔB≈

Δ儀4測(cè)量結(jié)果為：X=83.56±0.05(mm)（P=0.95）測(cè)量誤差與不確定度課件39

第五節(jié)間接測(cè)量結(jié)果與不確定度的估算

一間接測(cè)量值的算術(shù)平均值

設(shè)間接測(cè)量量N是直接測(cè)量量x，y，z的函數(shù)，即：

各直接測(cè)量量的測(cè)量結(jié)果為：第五節(jié)間接測(cè)量結(jié)果與不確定度的估算一間接測(cè)量值的算術(shù)40間接測(cè)量量N

的算術(shù)平均值為:

例題5

測(cè)量出金屬圓環(huán)的外直徑D2=（3.600±0.004）cm；內(nèi)直徑D1=（2.880±0.004）cm；高度h=（2.575±0.004）cm；試求出這個(gè)金屬圓環(huán)體積V的平均值？

測(cè)量誤差與不確定度課件41

解：計(jì)算金屬圓環(huán)體積V的函數(shù)表達(dá)式為：則金屬圓環(huán)體積V平均值的函數(shù)表達(dá)式為：代入各直接測(cè)量量的平均值，可得圓環(huán)體積算術(shù)平均值：

測(cè)量誤差與不確定度課件42二間接測(cè)量量的不確定度的合成如前述:各直接測(cè)量量表示為：每個(gè)直接測(cè)量量的誤差都會(huì)傳遞給N,若各直接測(cè)量量完全獨(dú)立，則ΔN對(duì)應(yīng)每個(gè)直接測(cè)量誤差來源都對(duì)應(yīng)有一個(gè)獨(dú)立分量，分別記為ΔNx，ΔNy，ΔNz。二間接測(cè)量量的不確定度的合成如前述:各直接測(cè)量43其中ΔNx∝Δx，比例系數(shù)是函數(shù)f(x,y,z)

對(duì)自變量x的偏導(dǎo)數(shù)，即:測(cè)量誤差與不確定度課件44

則間接測(cè)量量N的不確定度可以用下式合成：

稱為不確定度傳遞系數(shù)，它反映了各直接測(cè)量量的不確定度對(duì)間接測(cè)量量不確定度的貢獻(xiàn)（權(quán)重）。

測(cè)量誤差與不確定度課件45常用函數(shù)不確定度合成計(jì)算公式（一）測(cè)量誤差與不確定度課件46常用函數(shù)不確定度合成計(jì)算公式（二）測(cè)量誤差與不確定度課件47例題6

用單擺測(cè)量重力加速度。已知擺長(zhǎng)和周期的測(cè)量結(jié)果分別為：試求重力加速度的測(cè)量結(jié)果。

解：重力加速度的函數(shù)表達(dá)式為測(cè)量誤差與不確定度課件48

則重力加速度的平均值為：先求重力加速度相對(duì)不確定度測(cè)量誤差與不確定度課件49

重力加速度的合成不確定度為重力加速度的測(cè)量結(jié)果為測(cè)量誤差與不確定度課件50

實(shí)驗(yàn)中得到的測(cè)量值都是含有誤差的數(shù)值，這些數(shù)值的尾數(shù)不能任意取舍，應(yīng)反映出測(cè)量的準(zhǔn)確度。

一有效數(shù)字的概念

1有效數(shù)字的定義在測(cè)量結(jié)果中，所有可靠數(shù)字再加上末位的存疑數(shù)字，統(tǒng)稱為測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字。有效數(shù)字中所有位數(shù)的個(gè)數(shù)稱為有效數(shù)字的位數(shù)。

第六節(jié)有效數(shù)字與近似計(jì)算實(shí)驗(yàn)中得到的測(cè)量值都是含有誤差的數(shù)值，這些數(shù)值的尾51

2、有效數(shù)字的讀取規(guī)則

1）記錄測(cè)量?jī)x器的精度、級(jí)別、最小分度值（最小刻度值）；

2）估計(jì)測(cè)量?jī)x器的儀器誤差限；

3）記錄有效數(shù)字時(shí)要記錄到誤差所在位。

52

例題7

用300mm長(zhǎng)的毫米分度鋼尺測(cè)量長(zhǎng)度，應(yīng)如何讀取并記錄數(shù)據(jù)？

解：該鋼尺最小分度值為1mm，儀器誤差限取最小分度值的一半，即

正確記錄數(shù)據(jù)方法是：1）確切讀出鋼尺上有刻線的位數(shù)；2）應(yīng)估讀一位，即讀到0.1mm位。

如22.5mm。測(cè)量誤差與不確定度課件53

例題8伏安法測(cè)量電壓和電流值。若使用量程分別為10V和10mA的0.5級(jí)的電壓表和電流表，應(yīng)如何讀取并記錄數(shù)據(jù)？解：由儀器誤差限計(jì)算公式（表1-3-1），可得：因此讀取并記錄電壓和電流的有效數(shù)字時(shí)，應(yīng)分別記錄到0.01V和0.01mA位。

如：1.00V；2.00mA。測(cè)量誤差與不確定度課件54也有些儀器儀表一般不進(jìn)行估讀或不可能估讀。例如：數(shù)字顯示儀表，只能讀出其顯示器上所記錄的數(shù)字。當(dāng)該儀表對(duì)某穩(wěn)定的輸入信號(hào)表現(xiàn)出不穩(wěn)定的末位顯示時(shí)，表明該儀表的不確定度可能大于末位顯示的1，此時(shí)可記錄一段時(shí)間間隔內(nèi)的平均值。

測(cè)量誤差與不確定度課件55

3、有效數(shù)字在實(shí)際測(cè)量中的應(yīng)用

1）有效數(shù)字的位數(shù)與儀器精度（最小分度值）有關(guān)

2）有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位置無關(guān)。

3）關(guān)于“0”的處理數(shù)值中間和末尾的“0”均為有效數(shù)字，如：50.07，2.400。數(shù)值前的“0”不屬有效數(shù)字。如：0.012

56

4）科學(xué)記數(shù)法對(duì)數(shù)量級(jí)很大或較小的測(cè)量值，使用科學(xué)記數(shù)法，寫成的冪次形式，其中：a為1～9之間的實(shí)數(shù)，n為任意整數(shù)。例如地球半徑是6371km，用科學(xué)記數(shù)法表示為

6.371106m。氦－氖激光波長(zhǎng)為632.8nm，用科學(xué)記數(shù)法表示為6.32810－7m。測(cè)量誤差與不確定度課件575)尾數(shù)舍入規(guī)則(數(shù)字的截尾規(guī)則)為了使運(yùn)算過程簡(jiǎn)單或準(zhǔn)確地表示有效數(shù)字，需要對(duì)不應(yīng)保留的尾數(shù)進(jìn)行舍入。舍入規(guī)則是“四舍六入五湊偶”即：小于五舍去，大于五進(jìn)位，等于五時(shí)則把尾數(shù)湊成偶數(shù)。

測(cè)量誤差與不確定度課件58

例如:對(duì)以下數(shù)據(jù)保留4位有效位數(shù)字1.04346→1.0431.04368→1.0445.76453→5.764（舍5不進(jìn)位）5.76153→5.762（舍5進(jìn)位）

測(cè)量誤差與不確定度課件59二有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則

1有效數(shù)字運(yùn)算的基本原則

1）準(zhǔn)確數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)運(yùn)算，結(jié)果為準(zhǔn)確數(shù)。2）可疑數(shù)與任何數(shù)運(yùn)算，結(jié)果為可疑數(shù)。3）運(yùn)算過程中可保留2位可疑數(shù)，最終結(jié)果一般只保留1位可疑數(shù)。測(cè)量誤差與不確定度課件602有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則1）加減法運(yùn)算

13.5＋1.625＝15.125，結(jié)果取15.171.3－0.753＝70.547，結(jié)果取70.52）乘除法運(yùn)算

23.12.2＝50.82，結(jié)果取51

3725.8÷136＝27.4

測(cè)量誤差與不確定度課件613)乘方、開方：一般與底的位數(shù)相同7652＝5.85105

4)函數(shù)運(yùn)算(簡(jiǎn)算法)三角函數(shù)、對(duì)數(shù)，由有效數(shù)字的位數(shù)確定

Sin30012’=0.50304)函數(shù)運(yùn)算(簡(jiǎn)算法)62

3測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字

不確定度的有效數(shù)字：一般只取一位有效數(shù)字，余數(shù)“只進(jìn)不舍”。間接測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字：測(cè)量結(jié)果的有效位數(shù)的末位，要與不確定度所在的位對(duì)齊，舍去其它多余的存疑數(shù)字。

63

例題9

用單擺測(cè)量重力加速度g。直接測(cè)量值為：周期T＝2.0090.002（s），擺長(zhǎng)L＝1.0000.001（m），試計(jì)算不確定度并表示測(cè)量結(jié)果。

解：重力加速度計(jì)算公式g=（42L）/T2，

重力加速度g的算術(shù)平均值:=(43.1421.000)/2.0092=9.771

64

計(jì)算g的相對(duì)不確定度計(jì)算g的不確定度測(cè)量誤差與不確定度課件65

只取一位有效數(shù)字，“只進(jìn)不舍”，

Δg＝0.03注意：測(cè)量結(jié)果值的有效位數(shù)的末位，與不確定度所在的位對(duì)齊。

重力加速度測(cè)量結(jié)果表示為：g＝9.770.03（m/s2)測(cè)量誤差與不確定度課件66第一章

測(cè)量誤差與實(shí)驗(yàn)不確定度第一章

測(cè)量誤差與實(shí)驗(yàn)不確定度67

第一節(jié)測(cè)量和測(cè)量誤差

一、測(cè)量及其分類

1測(cè)量在一定條件下使用具有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)單位的計(jì)量?jī)x器對(duì)被測(cè)物理量進(jìn)行比較，從而確定被測(cè)量的數(shù)值和單位。

2測(cè)量分類

1)直接測(cè)量與間接測(cè)量2)等精度測(cè)量與不等精度測(cè)量

3)單次測(cè)量與重復(fù)測(cè)量第一節(jié)測(cè)量和測(cè)量誤差一、測(cè)量及其分類68

直接測(cè)量直接測(cè)量:使用儀器或量具，直接測(cè)得被測(cè)量的量值的測(cè)量。由直接測(cè)量所得的物理量，稱為直接測(cè)量量。直接測(cè)量直接測(cè)量:69

間接測(cè)量

間接測(cè)量:通過直接測(cè)量量，再根據(jù)某一函數(shù)關(guān)系把待測(cè)量計(jì)算出來的測(cè)量。

間接測(cè)量間接測(cè)量:70間接測(cè)量用單擺測(cè)量某地的重力加速度g，是根據(jù)用米尺直接測(cè)得單擺的擺長(zhǎng)l和用秒表直接測(cè)得周期T，再通過單擺公式：g=（42l）/T2把重力加速度g計(jì)算出來。

l和T

是直接測(cè)量量，g稱為間接測(cè)量量。lT間接測(cè)量用單擺測(cè)量某地的重力加速度g，是根據(jù)用米尺71

等精度、不等精度測(cè)量等精度測(cè)量:對(duì)同一類物理量的測(cè)量都是在相同條件（包括測(cè)量方法、使用的儀器、外界環(huán)境條件和觀察者都不變）下進(jìn)行的測(cè)量。不等精度測(cè)量:不滿足上述條件的測(cè)量。

等精度、不等精度測(cè)量等精度測(cè)量:72重復(fù)測(cè)量與單次測(cè)量重復(fù)測(cè)量：在相同條件（包括測(cè)量方法、使用的儀器、外界環(huán)境條件和觀察者都不變）下對(duì)同一狀態(tài)的物理量進(jìn)行的多次測(cè)量。當(dāng)實(shí)際情況不能滿足重復(fù)測(cè)量所要求的條件或不需要多次重復(fù)測(cè)量（例如每次重復(fù)測(cè)量示值都完全一致）時(shí)，才采取單次測(cè)量的處理方式。重復(fù)測(cè)量與單次測(cè)量重復(fù)測(cè)量：73

二、測(cè)量誤差及其分類（一）誤差的定義

被測(cè)量的物理量在特定條件下客觀存在的真實(shí)量值稱為該物理量的真值，記作X0。

測(cè)量值X和真值X0的差定義為測(cè)量誤差，記為ΔX

即：

ΔX

=X–X0

它反映了測(cè)量值偏離真值的大小和方向。

（二）誤差的分類測(cè)量誤差與不確定度課件74

1系統(tǒng)誤差

1）系統(tǒng)誤差由于實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的原因，在測(cè)量過程中造成的誤差。

2）誤差來源儀器誤差、環(huán)境誤差、理論(方法)誤差、個(gè)人習(xí)慣誤差。3）誤差特點(diǎn)誤差的大小和符號(hào)總是保持恒定，或按一定規(guī)律以可約定的方式變化。4）誤差消除方法找出原因，在實(shí)驗(yàn)前或?qū)嶒?yàn)后加以修正。1系統(tǒng)誤差1）系統(tǒng)誤差75系統(tǒng)誤差的修正舉例儀器誤差如電表的零點(diǎn)誤差修正：接入電路前，先調(diào)機(jī)械零點(diǎn)。電表指針不在零點(diǎn)機(jī)械零點(diǎn)調(diào)節(jié)螺釘系統(tǒng)誤差的修正舉例儀器誤差電表指針不在零點(diǎn)機(jī)械零點(diǎn)調(diào)節(jié)螺釘76操作者偏視習(xí)慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線偏左操作者偏視習(xí)慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線偏左77操作者偏視習(xí)慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線正確操作者偏視習(xí)慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線正確782隨機(jī)誤差（偶然誤差）1）隨機(jī)誤差由某些偶然的或不確定的因素，在測(cè)量過程中造成的誤差。2）誤差來源環(huán)境和實(shí)驗(yàn)條件的無規(guī)則變化。3）誤差特點(diǎn)誤差的量值和符號(hào)以不可約定的方式變化著，對(duì)每次測(cè)量值來說，其變化是無規(guī)則的，但對(duì)大量測(cè)量值，其變化則服從確定的統(tǒng)計(jì)分布（正態(tài)分布）規(guī)律。2隨機(jī)誤差（偶然誤差）1）隨機(jī)誤差79隨機(jī)誤差服從的正態(tài)分布特點(diǎn)xP-3σ

-2σ

–σ0σ

2σ3σ隨機(jī)誤差服從的正態(tài)分布特點(diǎn)xP-3σ-2σ–σ80隨機(jī)誤差正態(tài)分布的特點(diǎn)

*單峰性

絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大，而絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率小。

*對(duì)稱性

絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率大致相等。

*有界性

絕對(duì)值非常大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零。

*抵償性誤差算術(shù)平均值隨測(cè)量次數(shù)增加而趨于零。測(cè)量誤差與不確定度課件81

標(biāo)準(zhǔn)誤差：標(biāo)準(zhǔn)誤差的統(tǒng)計(jì)意義系統(tǒng)誤差已消除的條件下，重復(fù)測(cè)量次數(shù)n足夠大時(shí)，任一次測(cè)量隨機(jī)誤差的絕對(duì)值小于σ的概率為68.3%，小于2σ的概率為95.4%，小于3σ的概率為99.7%標(biāo)準(zhǔn)誤差可描述偶然誤差的可能范圍與可信程度！式中：μ是測(cè)量列和算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)誤差的統(tǒng)計(jì)意義標(biāo)準(zhǔn)誤差可描述偶然誤差的824)減小隨機(jī)誤差的方法

A)增加重復(fù)測(cè)量次數(shù)一般重復(fù)5～10次即可。測(cè)量值波動(dòng)范圍越大，則需重復(fù)次數(shù)越多。

B)以標(biāo)準(zhǔn)偏差代替標(biāo)準(zhǔn)誤差來評(píng)估隨機(jī)誤差的范圍與可信度。

C)用測(cè)量平均值作為測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)值。4)減小隨機(jī)誤差的方法A)增加重復(fù)測(cè)量次數(shù)83

3粗大誤差（過失誤差）

1)粗大誤差

測(cè)量值明顯偏離正常值的異常誤差。2)誤差來源儀器使用方法錯(cuò)誤、粗心大意、記錄出錯(cuò)等。3)誤差消除方法用3σ準(zhǔn)則（萊特準(zhǔn)則）鑒別并剔除。當(dāng)測(cè)量次數(shù)較多時(shí)，若某測(cè)量值與算術(shù)平均值的偏差絕對(duì)值大于3倍標(biāo)準(zhǔn)偏差時(shí)，可認(rèn)為該值是壞值而剔除。3粗大誤差（過失誤差）1)粗大誤差84一、測(cè)量結(jié)果的表達(dá)方式

測(cè)量的目的是要獲得被測(cè)物理量的真值！由于測(cè)量誤差不可避免，真值也就無法確定，也無法確定誤差的大小。只能通過科學(xué)的方法確定的最佳估計(jì)值及其不確定度，把測(cè)量結(jié)果表達(dá)為：

物理量最佳估計(jì)值不確定度第二節(jié)不確定度及其概念一、測(cè)量結(jié)果的表達(dá)方式測(cè)量的目的是要獲得85

測(cè)量結(jié)果

的含義

表示真值以一定的概率存在于范圍內(nèi)；

同一項(xiàng)測(cè)量結(jié)果對(duì)應(yīng)不同的置信概率要求，不確定度Δ的估算值也不同，通常要求的概率值越高，對(duì)應(yīng)的Δ值越大。

Δ值通常只保留最大一位非零數(shù)，尾數(shù)一般只進(jìn)不舍，例如計(jì)算結(jié)果是0.051，保留結(jié)果是0.06。

保留的末位數(shù)與Δ的非零數(shù)位同數(shù)量級(jí)，例：

L=3.566±0.007(mm)測(cè)量結(jié)果的含義

86二、不確定度基本概念1不確定度不確定度是表征測(cè)量結(jié)果具有離散性的一個(gè)參數(shù)。2不確定度分類根據(jù)估算方法將不確定度分量分為兩類：

A類不確定度用統(tǒng)計(jì)方法估算的分量，記為ΔA。

B類不確定度用其他方法估算的分量，記為ΔB。二、不確定度基本概念1不確定度87

3總不確定度總不確定度Δ是以上兩類所有分量的合成。若各ΔAi、ΔBi相互獨(dú)立，并具有相同置信概率，則測(cè)量誤差與不確定度課件88

第三節(jié)B類不確定度估算

一儀器誤差(限)

正確使用儀器時(shí)，儀器的示值與被測(cè)量真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差的絕對(duì)值被稱為儀器誤差(限)，用

Δ儀表示。

Δ儀的含義：在正常使用下儀器示值的最大可能誤差，置信概率通常為95%～99%。第三節(jié)B類不確定度估算一儀器誤差(限)89常用物理實(shí)驗(yàn)儀器的誤差限Δ儀名稱量程最小分度(精度等級(jí))Δ儀鋼尺300mm1mm0.5mm(最小分度的1/2)螺旋測(cè)微計(jì)20mm0.005mm最小分度的1/2游標(biāo)卡尺150mm0.02mm（50分度）0.02mm機(jī)械表12h1s最小分度值水銀溫度計(jì)100℃1℃最小分度值磁電式電表NmKA·K·%常用物理實(shí)驗(yàn)儀器的誤差限Δ儀名稱量程最小分度(精度等級(jí))Δ儀90

二

B類不確定度的估算評(píng)定△

B需結(jié)合誤差分布規(guī)律、參照標(biāo)準(zhǔn)、估算誤差限等因素，故△

B有多項(xiàng)分量，評(píng)定方法也有多種。常用評(píng)定方法有：根據(jù)測(cè)量條件估算誤差限；根據(jù)理論公式或?qū)嶒?yàn)推算誤差限；根據(jù)儀器誤差限評(píng)定△

B。我們約定：在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，近似使用儀器誤差限來確定△

B。即:

ΔB≈Δ儀二B類不確定度的估算91例題1

數(shù)字萬用表誤差限，Δ儀=讀數(shù)×A%+N，其中:A為精度等級(jí)，N為顯示末位上的字?jǐn)?shù)。某萬用表20kΩ量程的電阻檔A

=0.8，N

=0.03，用該檔測(cè)量某電阻，讀數(shù)為5.36kΩ，這次測(cè)量結(jié)果是多少？

解：

Δ=Δ儀=5.36×0.8%+0.03=0.073

(kΩ)

測(cè)量結(jié)果表示為：R=5.36±0.08（kΩ）測(cè)量誤差與不確定度課件92

例題2

檢定一塊1.5級(jí)，10mA的電流表，發(fā)現(xiàn)在5mA處它的誤差最大，為0.13mA，而在其它刻度處，誤差均小于0.13mA，試問，這塊電表是否合格？

解：該級(jí)別的電流表儀器誤差限為：

Δ儀=10（mA）×1.5%=0.15（mA）該電流表在所有刻度上，最大誤差為0.13mA，均小于儀器誤差，故這塊電表是合格產(chǎn)品。

93一單次直接測(cè)量的不確定度

實(shí)際情況不允許重復(fù)測(cè)量或不需要多次測(cè)量時(shí)，可采取單次測(cè)量的方式。若單次測(cè)量的主要誤差來源是儀器誤差時(shí)，以儀器誤差限Δ儀作為單次測(cè)量不確定度。

Δ=Δ儀

注意：這是一種很粗略很近似的估算。

第四節(jié)直接測(cè)量結(jié)果與不確定度的估算一單次直接測(cè)量的不確定度第四節(jié)直接測(cè)量結(jié)果與不確94二多次測(cè)量時(shí)隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)估計(jì)1、用算術(shù)平均值作為待測(cè)量X的最佳估計(jì)值設(shè)對(duì)某物理量X進(jìn)行n次等精度測(cè)量，得一列測(cè)量值：

x1、x2、xn，這一列測(cè)量值的算術(shù)平均值為：二多次測(cè)量時(shí)隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)估計(jì)1、用算術(shù)平均值作為待測(cè)量X95

2.多次測(cè)量時(shí)隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)估計(jì)

1）先計(jì)算殘差（偏差）：

2）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)偏差）：

3）計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：測(cè)量誤差與不確定度課件96*3.異常數(shù)據(jù)的剔除

1）萊特準(zhǔn)則（3σ準(zhǔn)則）

若第k次測(cè)量值xk滿足條件：

|xk-|＞3σ

則可判斷xk

是壞值。2）萊特準(zhǔn)則的適用范圍萊特準(zhǔn)則以測(cè)量次數(shù)較多（大樣本）為前提，一般適合于測(cè)量值呈正態(tài)分布（即高斯分布）的情況。

測(cè)量誤差與不確定度課件97例題3

（P18例1.4.1）對(duì)某物理量進(jìn)行了15次等精度的測(cè)量，測(cè)量值如表所示。設(shè)這些測(cè)量值已經(jīng)消除了系統(tǒng)誤差，試判斷在下列測(cè)量值中是否含有壞值？解:

由測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算算術(shù)平均值:測(cè)量誤差與不確定度課件98

由測(cè)量數(shù)據(jù)和算術(shù)平均值，可以計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差：由標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算出3σ：

3σ=3×0.033=0.099第八測(cè)量值的殘差：

由萊特準(zhǔn)則知：第八測(cè)量值是一個(gè)壞值，應(yīng)預(yù)以剔除。

由測(cè)量數(shù)據(jù)和算術(shù)平均值，可以計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差：99對(duì)剩余的14個(gè)數(shù)據(jù)重新計(jì)算：新的算術(shù)平均值（剔除了第八測(cè)量值）為：新的標(biāo)準(zhǔn)差為：

測(cè)量誤差與不確定度課件100

新的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算出3σ’：

3σ’=3×0.016=0.048再檢查各測(cè)量值的殘差，沒有再出現(xiàn)|xk–|＞3σ的情況，可認(rèn)為，剩余數(shù)據(jù)中，沒有壞值存在。測(cè)量誤差與不確定度課件1014.多次測(cè)量時(shí)A類不確定度的估算

重復(fù)測(cè)量次數(shù)為5～10次，置信概率在95%左右時(shí)，A類不確定度ΔA可按下式近似估算。

σ叫標(biāo)準(zhǔn)偏差(或簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)差)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式叫貝塞爾公式.測(cè)量誤差與不確定度課件102

5多次測(cè)量的合成不確定度

在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)測(cè)量次數(shù)5≤n≤10時(shí)，合成不確定度可這樣近似計(jì)算:

A類分量:ΔA≈σ

，置信概率95%；B類分量:ΔB≈Δ儀，置信概率95%；測(cè)量結(jié)果的合成不確定度為:5多次測(cè)量的合成不確定度在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中103

例題4

用游標(biāo)卡尺對(duì)某物體長(zhǎng)度進(jìn)行等精度測(cè)量10次，測(cè)量數(shù)據(jù)如下表，設(shè)儀器誤差限為0.02mm。求不確定度并表示測(cè)量結(jié)果。

解:

1求出算平均值:

1234567891083.5483.5883.5283.5683.6083.6483.5483.5683.5883.501234567891083.5483.5883.5283.5104

2求出標(biāo)準(zhǔn)偏差

利用科學(xué)計(jì)算器統(tǒng)計(jì)功能可快速得到上述結(jié)果！3計(jì)算合成不確定度取ΔB≈

Δ儀4測(cè)量結(jié)果為：X=83.56±0.05(mm)（P=0.95）測(cè)量誤差與不確定度課件105

第五節(jié)間接測(cè)量結(jié)果與不確定度的估算

一間接測(cè)量值的算術(shù)平均值

設(shè)間接測(cè)量量N是直接測(cè)量量x，y，z的函數(shù)，即：

各直接測(cè)量量的測(cè)量結(jié)果為：第五節(jié)間接測(cè)量結(jié)果與不確定度的估算一間接測(cè)量值的算術(shù)106間接測(cè)量量N

的算術(shù)平均值為:

例題5

測(cè)量出金屬圓環(huán)的外直徑D2=（3.600±0.004）cm；內(nèi)直徑D1=（2.880±0.004）cm；高度h=（2.575±0.004）cm；試求出這個(gè)金屬圓環(huán)體積V的平均值？

測(cè)量誤差與不確定度課件107

解：計(jì)算金屬圓環(huán)體積V的函數(shù)表達(dá)式為：則金屬圓環(huán)體積V平均值的函數(shù)表達(dá)式為：代入各直接測(cè)量量的平均值，可得圓環(huán)體積算術(shù)平均值：

測(cè)量誤差與不確定度課件108二間接測(cè)量量的不確定度的合成如前述:各直接測(cè)量量表示為：每個(gè)直接測(cè)量量的誤差都會(huì)傳遞給N,若各直接測(cè)量量完全獨(dú)立，則ΔN對(duì)應(yīng)每個(gè)直接測(cè)量誤差來源都對(duì)應(yīng)有一個(gè)獨(dú)立分量，分別記為ΔNx，ΔNy，ΔNz。二間接測(cè)量量的不確定度的合成如前述:各直接測(cè)量109其中ΔNx∝Δx，比例系數(shù)是函數(shù)f(x,y,z)

對(duì)自變量x的偏導(dǎo)數(shù)，即:測(cè)量誤差與不確定度課件110

則間接測(cè)量量N的不確定度可以用下式合成：

稱為不確定度傳遞系數(shù)，它反映了各直接測(cè)量量的不確定度對(duì)間接測(cè)量量不確定度的貢獻(xiàn)（權(quán)重）。

測(cè)量誤差與不確定度課件111常用函數(shù)不確定度合成計(jì)算公式（一）測(cè)量誤差與不確定度課件112常用函數(shù)不確定度合成計(jì)算公式（二）測(cè)量誤差與不確定度課件113例題6

用單擺測(cè)量重力加速度。已知擺長(zhǎng)和周期的測(cè)量結(jié)果分別為：試求重力加速度的測(cè)量結(jié)果。

解：重力加速度的函數(shù)表達(dá)式為測(cè)量誤差與不確定度課件114

則重力加速度的平均值為：先求重力加速度相對(duì)不確定度測(cè)量誤差與不確定度課件115

重力加速度的合成不確定度為重力加速度的測(cè)量結(jié)果為測(cè)量誤差與不確定度課件116

實(shí)驗(yàn)中得到的測(cè)量值都是含有誤差的數(shù)值，這些數(shù)值的尾數(shù)不能任意取舍，應(yīng)反映出測(cè)量的準(zhǔn)確度。

一有效數(shù)字的概念

1有效數(shù)字的定義在測(cè)量結(jié)果中，所有可靠數(shù)字再加上末位的存疑數(shù)字，統(tǒng)稱為測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字。有效數(shù)字中所有位數(shù)的個(gè)數(shù)稱為有效數(shù)字的位數(shù)。

第六節(jié)有效數(shù)字與近似計(jì)算實(shí)驗(yàn)中得到的測(cè)量值都是含有誤差的數(shù)值，這些數(shù)值的尾117

2、有效數(shù)字的讀取規(guī)則

1）記錄測(cè)量?jī)x器的精度、級(jí)別、最小分度值（最小刻度值）；

2）估計(jì)測(cè)量?jī)x器的儀器誤差限；

3）記錄有效數(shù)字時(shí)要記錄到誤差所在位。

118

例題7

用300mm長(zhǎng)的毫米分度鋼尺測(cè)量長(zhǎng)度，應(yīng)如何讀取并記錄數(shù)據(jù)？

解：該鋼尺最小分度值為1mm，儀器誤差限取最小分度值的一半，即

正確記錄數(shù)據(jù)方法是：1）確切讀出鋼尺上有刻線的位數(shù)；2）應(yīng)估讀一位，即讀到0.1mm位。

如22.5mm。測(cè)量誤差與不確定度課件119

例題8伏安法測(cè)量電壓和電流值。若使用量程分別為10V和10mA的0.5級(jí)的電壓表和電流表，應(yīng)如何讀取并記錄數(shù)據(jù)？解：由儀器誤差限計(jì)算公式（表1-3-1），可得：因此讀取并記錄電壓和電流的有效數(shù)字時(shí)，應(yīng)分別記錄到0.01V和0.01mA位。

如