羅爾中值定理課件

高等數(shù)學(xué)一、羅爾(Rolle)中值定理機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理

微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理,費馬定理是它的預(yù)備定理,羅爾定理是它的特例,柯西定理是它的推廣。中值定理且存在證:

設(shè)則費馬目錄上頁下頁返回結(jié)束一.預(yù)備定理——費馬(Fermat)定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)f(a)=f(b)使在(a,b)內(nèi)至少存在一點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束xO

yaABby=f(x)幾何解釋:

如果連續(xù)光滑的曲線y=f(x)在端點A、B處的縱坐標(biāo)相等。那么，在曲線弧上至少有一點C(x,f(x))，曲線在C點的切線平行于x軸。二.羅爾(Rolle)定理C機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明：f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),必有最大值M和最小值m(2)上述函數(shù)中，求滿足羅爾定理條件的機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1:(1)下面函數(shù)中，在[-1,1]上滿足羅爾定理條件的是注意:1)定理條件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2)定理條件非必要，只是充分的.(a)閉區(qū)間內(nèi)連續(xù).(b)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).(c)端點處函數(shù)值相等.8例2:不求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的導(dǎo)數(shù)有幾個零點，以及其所在范圍。解：

因為f(1)=f(2)=f(3)=0,f(x)在[1,2],[2,3]上滿足羅爾定理的三個條件，所以在(1,2)內(nèi)至少存在一點x1,使f

(x1)=0,x1是

f(x)的一個零點。同理，在(2,3)內(nèi)至少存在一點x2,使f

(x2)=0,x2也是f

(x)的一個零點。

f

(x)

是二次多項式,只能有兩個零點,分別在區(qū)間(1,2)及(2,3)內(nèi)?？蓪?dǎo)函數(shù)的兩個零點之間必有其導(dǎo)數(shù)的零點。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.填空題設(shè)有個根,它們分別在區(qū)間機動目錄上頁下頁返回結(jié)束上.方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.驗證羅爾定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性。有且僅有一個小于1的正實根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由零點定理知存在使即方程有小于1的正根設(shè)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束有且僅有一個小于1的正實根.2)唯一性.假設(shè)另有為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件,至少存在一點但矛盾,故假設(shè)不真!機動目錄上頁下頁返回結(jié)束且在內(nèi)可導(dǎo),