2023年江蘇省普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試全真模擬數(shù)學試題及答案

2023年江蘇省普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試全真模擬數(shù)學（考試時間120分鐘，滿分150分）注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知復數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．某班有60名同學，一次數(shù)學考試（滿分150分）的成績服從正態(tài)分布，若，則本班在100分以上的人數(shù)約為（

）A．6 B．12 C．18 D．244．在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，AP=3，則（

）A．3 B．6 C．12 D．185．函數(shù)f（x）=2|x|﹣x2的圖象為（）A． B．C． D．6．某校從8名教師中選派4名教師去4個邊遠地區(qū)支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲與丙同去或者同不去，則不同的選派方案的種數(shù)是（

）A．240 B．360 C．540 D．6007．已知數(shù)列滿足，，且，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當x>0時，，則使成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分。9．已知為正實數(shù)，且，則（

）A．的最大值為8 B．的最小值為8C．的最小值為 D．的最小值為10．已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于點，且，.下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．△的面積為11．阿基米德是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家、天文學家，享有“數(shù)學之神”的稱號．若拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，則稱為“阿基米德三角形”．已知拋物線的焦點為F，過拋物線上兩點A，B的直線的方程為，弦的中點為C，則關(guān)于“阿基米德三角形”，下列結(jié)論正確的是（

）A．點 B．軸 C． D．12．已知正方體的棱長為2，M為的中點，平面過點且與垂直，則（

）A． B．平面C．平面平面 D．平面截正方體所得的截面面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．實數(shù)的值為___________．14．某班級原有一張周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，現(xiàn)將值日表進行調(diào)整，要求原周一和周五的兩人都不值這兩天，周二至周四的這三人都不值自己原來的日期，則不同的調(diào)整方法種數(shù)是_________________（用數(shù)字作答）.15．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，若，則不等式的解集為________16．若，則______.四、解答題：本題共6小題，共70分。17．設(shè)數(shù)列的前項和為，若對于任意的正整數(shù)都有.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）求數(shù)列的前項和.18．在中，，，直線，的斜率之積為．(1)求頂點的軌跡方程；(2)若，求面積大?。?9．在中，，AC，AB邊上的中線長之和等于9．（1）求重心M的軌跡方程；（2）求頂點A的軌跡方程.20．電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，其中女性有55名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖，將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性.(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷你是否有95％以上的把握認為“體育迷”與性別有關(guān)?非體育迷體育迷合計男女合計（參考公式，其中.）0.0500.0100.0013.8416.63510.828(2)將日均收看該體育項目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率．21．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，點M，N分別為線段PB，PC上的點，．（1）求證：當點M不與點P，B重合時，M，N，D，A四點共面．（2）當，二面角的大小為時，求PN的長．22．已知函數(shù).(1)當時，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)當時，若，且的極值在處取得，證明：.2023年江蘇省普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試全真模擬數(shù)學·參考答案1．C【分析】解不等式，求出的范圍，即可得到集合，求出函數(shù)的值域，即可得到集合，進而求出集合的并集即可.【詳解】由，可得，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得，解得或，所以集合.對于集合，令，則，所以，即集合.所以.故選：C.2．A【分析】根據(jù)復數(shù)的運算，求得，結(jié)合復數(shù)的概念，即可求解.【詳解】因為復數(shù)，可得，其虛部為.故選：A．3．B【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求出，即可估計人數(shù)；【詳解】解：因為，所以本班在100分以上的人數(shù)約為.故選：B4．D【分析】由平面向量的線性運算可得，再由向量垂直的條件以及平面向量數(shù)量積的運算即可得解.【詳解】解：設(shè)AC與BD相交于點O，則，，，，PB與BD共線，，故選：D.5．A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到AC其中一個是正確的，再代入特殊點x=0得到答案.【詳解】函數(shù)f（x）=2|x|﹣x2,故函數(shù)為偶函數(shù)，排除選項B，D，再代入特殊點x=0得到函數(shù)值為1，故排除C選項，得到A正確.故答案為A.【點睛】這個題目考查了已知函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖像的問題，一般先由函數(shù)解析式得到函數(shù)的定義域，進行選項的排除，之后可以考慮函數(shù)的對稱性，值域等進行排除，也可以代入函數(shù)的特殊點，考慮函數(shù)的極限進行排除，進而得到函數(shù)的解析式.6．D【分析】先從8名教師中選出4名，因為甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按選甲和不選甲分成兩類，兩類方法數(shù)相加，再把四名老師分配去4個邊遠地區(qū)支教，四名教師進行全排列即可，最后兩步方法數(shù)相乘即可．【詳解】解：依題意，分兩步，第一步，先選四名老師，又分兩類，第一類，甲去，則丙一定去，乙一定不去，有種不同選法；第二類，甲不去，則丙一定不去，乙可能去也可能不去，有種不同選法，不同的選法有種；第二步，四名老師去個邊遠地區(qū)支教，有種方法；最后，兩步方法數(shù)相乘，可得一共有種方法.故選：D.7．C【分析】利用遞推關(guān)系即求.【詳解】依題意有，則，由此得，，，．故選：C．8．B【分析】設(shè)，由導數(shù)結(jié)合條件得出單調(diào)性，再得出偶性，得出的函數(shù)值的符號情況，從而得出答案.【詳解】設(shè)，則當時，，即在上單調(diào)遞增.由于是奇函數(shù)，所以,是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.所以，所以當或時，；當或時，.所以當或時，.故選：B.9．ABD【分析】對條件進行變形，利用不等式的基本性質(zhì)對選項一一分析即可【詳解】解：因為，當且僅當時取等號，結(jié)合，解不等式得，即，故的最大值為8，A正確；由得，所以，當且僅當即時取等號，此時取得最小值8，B正確；，當且僅當時取等號，此時取得最小值，C錯誤；，當且僅當即時取等號，此時取得最小值，D正確；故選：ABD10．BCD【分析】選項A由拋物線的定義可得可判斷；選項B將點坐標代入拋物線方程可判斷；當時，直線的方程為：，可求出，從而可得，由，同理可得時的情況，從而可判斷C，D.【詳解】選項A.由拋物線的定義可得，解得，所以A不正確.選項B.所以，，拋物線方程為將點坐標代入拋物線方程，得，所以，所以B正確選項C.當時，則，則直線的方程為：則，得，解得或所以，則，同理當時，可得，所以C正確.選項D.由上可知當時，同理當時，，所以D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，過焦點的弦的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義可得，解得的值，由求解面積，屬于中檔題.11．BCD【分析】設(shè)，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消元后利用韋達定理結(jié)合導數(shù)逐項計算后可得正確的選項.【詳解】由消y可得令，，，解得，，A錯．，∴軸，B對．，∴，D對．，∴，C對，故選：BCD．12．ABD【分析】分析出面，可判斷選項A；取AD的中點，由平面幾何知識可知，，從而判斷出面，即平面截正方體所得的截面為梯形，從而可判斷剩余的三個選項.【詳解】連接，則，又因為，,所以面，又因為面，所以，故選項A正確；取AD的中點，的中點，連接，，，，,在正方形中，由平面幾何知識可知，，又因為，，所以面，所以,又因為，所以，又因為,所以面，即平面截正方體所得的截面為梯形，所以顯然平面，選項B正確；平面與平面不平行，選項C錯誤；在梯形中，，，,所以梯形的高為，所以梯形的面積為，即平面截正方體所得的截面面積為，故選項D正確.故選：ABD.13．20【分析】把27寫成，對數(shù)式的真數(shù)寫為，然后運用指數(shù)式和對數(shù)式的運算性質(zhì)化簡求值．【詳解】．故答案為：20．14．【詳解】先安排周一和周五的兩人，有種方法，然后再安排中間三天剩下的那天的人值日，有周一和周五兩天選擇，最后安排最后兩個人，有種方法，所以共有種方法.15．【解析】是定義在上的偶函數(shù)，說明奇函數(shù)，若時，，可得為增函數(shù)，若，為增函數(shù)，根據(jù)，求出不等式的解集；構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及函數(shù)的奇偶性即可求得不等式的解集．【詳解】解：由題意，令，時，．在遞增，，，則是奇函數(shù)，且在遞增，又，當時，，當時，；根據(jù)函數(shù)的奇偶性，可得當時，，當時，．不等式的解集為或．故答案為：．【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應用，考查函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．16．【分析】利用余弦的二倍角公式，然后結(jié)合角的范圍即可得出答案.【詳解】因為，所以，所以，所以.故答案為：.17．（1）；（2）【分析】（1）利用an+1＝Sn+1﹣Sn即可得到an+1＝2an+3，轉(zhuǎn)化為an+1+3＝2（an+3），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出其通項；（2）由，利用錯位相減法求的和即可求解【詳解】（1）∵，∴兩式相減，得∴，即，∴，即對一切正整數(shù)都成立.由已知得即，∴∴首項，公比.∴（2）∵，∴，，，∴.【點睛】本題綜合考查了遞推關(guān)系求等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、“分組求和”、等差數(shù)列求和，準確計算是關(guān)鍵，屬于中檔題．18．(1)，；(2).【分析】（1）設(shè)出點坐標，利用直線，的斜率乘積列方程，化簡求得的軌跡方程.（2）由及確定點A的軌跡與（1）的軌跡結(jié)合，求出點A的縱坐標的絕對值即可計算作答．【詳解】（1）設(shè)，則直線AB的斜率，直線AC的斜率，，依題意有，化簡得，，所以頂點的軌跡方程為得，.（2）因，，則點A的軌跡是以線段BC為弦，所含圓周角為的兩段圓?。ǔ它c外），圓弧所在圓的圓心在線段BC的中垂線上，即y軸上，半徑，由對稱性不妨令圓心在y軸正半軸上，設(shè)為，則有，解得，因此點A的軌跡方程為，而點A在雙曲線上，由消去x得：，而，解得，因此，所以面積為.19．（1）1（y≠0）；（2）1（y≠0）【分析】（1）由已知得△ABC重心M在以B、C為兩個焦點的橢圓，由此能求出△ABC重心M的軌跡方程．（2）利用代入法，即可求頂點A的軌跡方程．【詳解】（1）如圖所示，以線段BC所在直線為x軸、線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標系設(shè)M為△ABC的重心，BD是AC邊上的中線，CE是AB邊上的中線，由重心的性質(zhì)知|BM||BD|，|CM||CE|，于是|MB|+|MC||BD||CE|＝6根據(jù)橢圓的定義知，點M的軌跡是以B、C為焦點的橢圓．2a＝6，2c＝4，∴a＝3，b，故所求的橢圓方程為1（y≠0）（2）設(shè)A（x，y），則M（x，），代入1（y≠0），可得出頂點A的軌跡方程為1（y≠0）【點睛】本題考查點的軌跡方程的求法，考查代入法，解題時要認真審題，注意橢圓定義的合理運用．20．(1)列聯(lián)表見解析，沒有95%的把握認為“體育迷”與性別有關(guān)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定的頻率分布直方圖求出“體育迷”人數(shù)，完善列聯(lián)表，再計算的觀測值即可作答.（2）由頻率分布直方圖求出“超級體育迷”人數(shù)，再用列舉法結(jié)合古典概率計算作答.（1）由頻率分布直方圖得：“體育迷”共計名，其中女性名，則非體育迷有名，其中女性有名，所以列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100的觀測值為，所以沒有95%的把握認為“體育迷”與性別有關(guān).（2）由頻率分布直方圖知，“超級體育迷”人數(shù)為人，其中3名男性記為，2名女性記為，任意選2人的所有結(jié)果為：，，，，，，，，，，共10個，其中至少有1人是女性的事件所含結(jié)果為：，，，，，，，共7個，所以至少有1名女性觀眾的概率.21．（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）易證平面PAB，得到，，平面PBC，平面PBC，得到，再結(jié)合四邊形ABCD為正方形，利用平面的基本性質(zhì)證明；（2）以A為原點，分別以AB，AD,AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設(shè)平面AND的一個法向量為，平面ANC的一個法向量為，，根據(jù)二面角的大小為，由求解.【詳解】（1）因為平面ABCD，所以，又因為，所以平面PAB，所以，又因為，平面PBC，平面PBC，所以，又因為四邊形ABCD為正方形，所以，所以，所以當點M不與點P，B重合時，M，N，D，A四點共面．（2）以A為原點，分別以AB，AD,AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則，設(shè)平面AND的一個法向量為，設(shè)平面ANC的一個法向量為，設(shè)，因為，則，又，則，即，令，得，又，則，即，令，得，因為二面角的大小為，所以，解得，因為，所以.22．(1)