【技巧歸納+能力拓展】專項突破二 數(shù)列（考點2 數(shù)列中的開放題）(原卷版)

專項二數(shù)列考點2數(shù)列中的開放題大題拆解技巧【母題】(2021年全國甲卷)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列;②數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列;③a2=3a1【拆解1】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項和,數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列,求證:a2=3a1【拆解2】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項和,數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a2=3a1,求證:數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列【拆解3】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項和,數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列,a2=3a1.求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列小做變式訓練在①a1+a3-2a2=0;②a2-a1=2;③S3=3a2這三個條件中任選一個,補充在下面問題中并作答.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),其前n項和為Sn,且滿足4Sn=anan+1+1,________.(1)證明:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=1anan+1,其前n項和為Tn,且Tn<a2對任意n∈N*恒成立,求【拆解1】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),其前n項和為Sn,且滿足4Sn=anan+1+1,a1+a3-2a2=0.證明:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.【拆解2】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),其前n項和為Sn,且滿足4Sn=anan+1+1,a2-a1=2.證明:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.【拆解3】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),其前n項和為Sn,且滿足4Sn=anan+1+1,S3=3a2.證明:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.【拆解4】已知數(shù)列{an}是以2為公差的等差數(shù)列,若數(shù)列{bn}滿足bn=1anan+1,其前n項和為Tn,且Tn<a2對任意n∈N*恒成立,求通法技巧歸納1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法:(1)定義法:對于n≥2的任意自然數(shù),驗證an-an-1為同一常數(shù).(2)等差中項法:驗證2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*2.判定一個數(shù)列是等差數(shù)列常用到的結(jié)論:(1)通項公式:an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.(2)前n項和公式:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.是否是等差數(shù)列的最終判定還是利用定義.3.證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法,其他方法只用于選擇題、填空題中的判定;若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.4.在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時,要注意對n=1的情形進行驗證.突破實戰(zhàn)訓練<基礎(chǔ)過關(guān)>1.在①a2=16,an+1+4an=32an-1(n≥2,n∈N*);②Tn=4n+1-43;③Tn=4在等比數(shù)列{an}中,an>0,其前n項和為Tn,且__________,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,且bn=log2an.

(1)求bn;(2)若1S1+1S2+1S3+…+2.在①a1,a3的等差中項是3;②a2,a4的等比中項是a12;③a1+a3+a5=14這三個條件中任選兩個,補充在下面的問題中,已知正項等比數(shù)列{an}滿足_________,_________.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)記數(shù)列{an}的前n項積為Tn,求數(shù)列1log2Tn的前n3.在①Sn=nan+1-n2-n;②anan+1-(2n+1)an+1+2nan-2n(2n+1)=0;③an+12-an2=8(n+1)這三個條件中任選一個,問題:設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,an>0,a1=3,且______,bn=1(an-1)(an+1),4.在①Sn=2an-1;②an+1an=2n-12n+1,a2=13;③Sn=2n已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,________,數(shù)列{bn}滿足bn=anan+1,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.<能力拔高>5.已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1,數(shù)列{bn}滿足2b1=a1,bn+1-b(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;(2)設(shè)cn=2n+3anbnbn+1,求數(shù)列{cn}6.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2,an,Sn成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=n·an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;(3)對于(2)中的Tn,設(shè)cn=Tn-2a2n+1,求數(shù)列{<拓展延伸>7.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3=6,a7=14.(1)求數(shù)列{an}的通項公式及Sn;(2)若________,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

在①bn=2an·an;②bn=an2+an+12Sn;③bn8.在①b1=-a1,b4=a2+4,②b1=a1,3b2=a2,③b1=a1+1,b2=a2-3這三個